Принцип действия и математическая модель генератора Ван де Граафа Опции

[Менде]

Хотя генератора Ван де Граафа изобретён почти сто лет назад физический принцип его работы до сих пор окончательно не выяснен, а имеется лишь техническая схема такого генератора. Нет и расчётных соотношений, которые дают возможность рассчитать параметры такого генератора. Генератор Ван де Граафа это генератор высокого напряжения, принцип действия которого основан на электризации движущейся диэлектрической ленты. Первый генератор был разработан американским физиком Робертом Ван де Граафом в 1929 году и позволял получать разность потенциалов до 80 киловольт. В 1931 и 1933 им же были построены более мощные генераторы, позволившие достичь напряжения в 1 миллион и 7 миллионов вольт соответственно [1].
Генератор Ван де Граафа состоит из диэлектрической (шёлковой или резиновой) ленты 4, вращающейся на роликах 3 и 6, причём верхний ролик диэлектрический, а нижний металлический и соединён с землёй. Один из концов ленты заключён в металлическую сферу 1. Два электрода 2 и 5 в форме щёток находятся на небольшом расстоянии от ленты сверху и снизу, причём электрод 2 соединён с внутренней поверхностью сферы 1. Через щетку 5 воздух ионизируется от источника высоковольтного напряжения 7, образующиеся положительные ионы под действием силы Кулона движутся к заземлённому ролику 6 и оседают на ленте. Движущаяся лента переносит заряд внутрь сферы 1, где он снимается щёткой 2, под действием силы Кулона заряды выталкиваются на поверхность сферы и поле внутри сферы создается только дополнительным зарядом на ленте. Таким образом, на внешней поверхности сферы накапливается электрический заряд. Возможность получения высокого напряжения ограничена коронным разрядом, возникающим при ионизации воздуха вокруг сферы.
Современные генераторы Ван де Граафа вместо лент используют цепи, состоящие из чередующихся металлических и пластиковых звеньев, которые называются пеллетронами.
К сожалению, приведенная схема генератора является лишь работоспособной технической схемой, а физический принцип её действия до сих пор не выяснены. Например, непонятно, какие причины вызывают увеличение потенциала зарядов, расположенных на ленте, при её движение вдоль определённого направления. Неясно также будет ли функционировать генератор, если движущуюся ленту расположить горизонтально земной поверхности. Непонятно также, каким способом может быть изменена полярность генератора. А поскольку ни физическая, ни математическая модель генератора до конца не разработана, то его совершенствование может проводиться только методом проб и ошибок. С этим и связано то обстоятельство, что со времён изобретения генератора Ван де Граафа его конструкция практически не изменилась.

Математическая модель генератора Ван де Граафа

Если имеется конденсатор, емкость которого [imath]C[/imath], и этот конденсатор заряжен до разности потенциалов [imath]U[/imath] , то энергия, накопленная в нём, определяется соотношением
[dmath]{W_C} = \frac{1}{2}C{U^2} [/dmath] (1)
Заряд [imath]Q[/imath] , накопленный в емкости, равен
[dmath]{Q_{C,U}} = CU[/dmath] (2)
Из соотношения (2) видно, что если в уединённой ёмкости заряд оставить неизменным, то напряжение на ней можно изменять путем изменения самой ёмкости. В этом случае выполняется соотношение
[dmath]{Q_{C,U}} = CU = {C_0}{U_0} = const[/dmath]
где [imath]C[/imath] , [imath]U[/imath] - текущие значения, а [imath]{C_0}[/imath] , [imath]{U_0}[/imath] - начальные значения этих параметров.
Полученное соотношение представляет закон параметрической самоиндукции [3-6].
Напряжение на емкости и энергия, накопленная в ней, будут при этом определяться соотношениями:
[dmath]U = \frac{{{C_0}{U_0}}}{C} = K{U_0}[/dmath] (3)
[dmath]{W_C} = {\frac{1}{2}_{}}\frac{{{{\left( {{C_0}{U_0}} \right)}^2}}}{C}[/dmath] (4)
Коэффициент
[dmath]K = \frac{{{C_0}}}{C}[/dmath] (5)
назовём коэффициентом трансформации постоянного напряжения. Этот коэффициент легко регулировать путём изменения отношения ёмкостей.
Приращение напряжения, которое может обеспечить такой трансформатор, определяется из соотношения
[dmath]\Delta {U_C} = \left( {\frac{{{C_0}}}{C} - 1} \right){U_0}[/dmath] (6)
Как следует из соотношений (3) и (4) при уменьшении ёмкости конденсатора на нём увеличивается не только напряжение, но и энергия, запасённая в нём. Эта энергия отбирается у механического источника энергии, обеспечивающего изменение ёмкости. Поэтому рассматриваемый трансформатор можно рассматривать, и как преобразователь механической энергии в электрическую.
Приращение энергии, накопленной в конденсаторе, при изменении его ёмкости определяется из соотношения
[dmath]\Delta {W_C} = \frac{1}{2}{\left( {{C_0}{U_0}} \right)^2}\left( {\frac{1}{C} - \frac{1}{{{C_0}}}} \right)[/dmath] (7)
Соотношения (3-7) и определяют физику работы генератора Ван де Граафа. Движущиеся металлические пеллетроны имеют относительно земли ёмкость, которая при движении этих участков изменяется относительно земли по определённому закону. У основания генератора эти участки следует зарядить до заданного потенциала определённого знака. Если ёмкость этих участков будет меняться относительно земли, то будет изменяться и потенциал зарядов, расположенных на них. В верхней части генератора эти участки предают накопленный потенциал сфере, заряжая её до высокого потенциала.
Для расчёта генератора необходимо знать первоначальный потенциал пеллетрон и закон изменения их ёмкости по отношению к земле при движении ленты. Следует также знать величину их перемещения от нижней части генератора, где они заряжаются, к верхней его части, где они отдают свой заряд сфере. Поэтому в данном случае главной математической задачей расчёта генератора является нахождение зависимости ёмкости пеллетрон в зависимости от расстояния до земли. При вертикальном положении генератора это будет одна зависимость, при горизонтальном положении - другая. Если лента движется параллельно земле, то такая зависимость будет отсутствовать, и генератор работать не будет.
Точный расчёт ёмкости пеллетрона относительно земли выполнить трудно, но хорошим приближением является предположение о том, что пеллетрон представляют проводящие сферы, диаметр которых равен её размеру. При этом необходимо вычислить ёмкость сферы заданного размера относительно плоской проводящей поверхности, которой является земля. Такая зависимость известна и определяется формулой [2,7]
[dmath]\eqalign{
4\pi \varepsilon a\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\sinh \left[ {\ln \left( {D + \sqrt {{D^2} - 1} } \right)} \right]}}{{\sinh \left[ {n\ln \left( {D + \sqrt {{D^2} - 1} } \right)} \right]}}} = 4\pi \varepsilon a\left( {1 + \frac{1}{{2D}} + \frac{1}{{4{D^2}}} + \frac{1}{{8{D^3}}} + \frac{1}{{32{D^5}}} + _{}^{}......} \right) \cr}[/dmath]
[dmath]C = 4\pi \varepsilon a\left( {1 + \frac{1}{{2D}} + \frac{1}{{4{D^2}}} + \frac{1}{{8{D^3}}} + \frac{1}{{32{D^5}}} + _{}^{}......} \right)[/dmath] (8)
где [imath]D = \frac{d}{{2a}}[/imath] , [imath]a[/imath] - радиус сферы, [imath]d[/imath] - расстояние от нижней части генератора до её верхней части.
Первый член в разложении (8) представляет ёмкость уединённой сферы и не зависит от расстояния до земли. Нас будут интересовать только та ёмкость, которая зависит от расстояния.
В случае, когда [imath]d[/imath] значительно больше, чем [imath]a[/imath] в соотношении (8) достаточно взять только второй член разложения. При этом зависимость ёмкости пеллетрона от расстояния определиться соотношением
[dmath]C = 4\pi \varepsilon \frac{{{a^2}}}{d}[/dmath] (9)
В нижнем положении пеллетрона его ёмкость относительно земли составляет
[dmath]{C_0} = 4\pi \varepsilon \frac{{{a^2}}}{{{d_0}}}[/dmath] (10)
где [imath]{d_0}[/imath] расстояние пеллетрона до земли в нижнем положении.
Следовательно, коэффициент трансформации потенциала может быть найден из соотношения (5)
[dmath]K = \frac{d}{{{d_0}}}[/dmath]
Таким образом, получены все необходимые данные для проектирования генератора.
Более рациональной является конструкция генератора, когда верхний и нижний ролик выполнены из диэлектрика, а нижняя и верхняя щётки скользят по ремню с пелетронами. Каждый пелетрон, двигаясь вокруг нижнего ролика, посредством щётки заряжается от источника напряжения [imath]{U_0}[/imath] . От полярности этого источника зависит и полярность напряжения, вырабатываемого генератором.
Чтобы увеличить коэффициент трансформации, следует уменьшать [imath]{d_0}[/imath] . С этой цель нижний ролик можно сделать составным. Внутреннюю его часть следует выполнить из металла и заземлить, а снаружи одеть манжет из резины или цилиндр из диэлектрика. В этом случае толщина манжета или цилиндра и будет размером [imath]{d_0}[/imath] . Можно поступить и по-другому. Ролик сделать полностью из металла и заземлить, а на резиновой ленте пелетроны нанести путём металлизации. Тогда размером [imath]{d_0}[/imath] будет служить толщина ленты.
Ранее у нас отсутствовала возможность рассчитать напряжение и мощность генератора Ван де Граафа, теперь такая возможность имеется. Для этого следует воспользоваться соотношениями (2.3) и (2.7).
Приведём конкретный пример. В нашем распоряжении имеется металлизированная резиновая лента толщиной [imath]{d_0}[/imath] равной 0.01 м и шириной 0.1 м, что соответствует радиусу [imath]a[/imath] эквивалентной сферы 0.05 м. На этой ленте имеются металлизированные квадратные участки (пелетроны), которые чередуются с такими же не металлизированными участками. Выберем скорость ленты равную 50 м/с; расстояние между нижней и верхней щётками [imath]d[/imath] составляет 5 м, напряжение источника напряжения [imath]{U_0}[/imath] равно 10 кВ.
При указанных параметрах напряжение, генерируемое генератором, составит
[dmath]U = \frac{d}{{{d_0}}}{U_0} = 5_{}^{}MV[/dmath]
При скорости ленты 50 м/с за одну секунду заряд верхней щётке будет отдавать 250 пелетрон. Каждый пелетрон будет отдавать энергию, определяемую соотношением (2.4). Воспользовавшись соотношениями (2.9) и (2.10) получаем генерируемую мощность
[dmath]P = 500\pi \varepsilon \frac{{{a^2}d}}{{d_0^2}}U_0^2[/dmath]
Расчёт по этой формуле с учётом приведенных параметров даёт мощность 174 Вт.
Пользуясь соотношениями (2.1) и (2.4) можно вычислить КПД генератора, который равен отношению вырабатываемой энергии к энергии, расходуемой источником напряжения. В данном случае КПД будет равен [imath]\frac{{{d^2}}}{{d_0^2}}[/imath] .
При указанных параметрах КПД составляет величину 2.5х104. Такой высокий КПД означает, что практически вся механическая энергия (если не учитывать расходы энергии на привод движения ленты) тратится на выработку электрической энергии. Таким высоким КПД не обладает ни один из существующих генераторов электроэнергии. Естественно возникает вопрос о создание конкурентно способного генератора по сравнению с существующими генераторами. Конструкция такого генератора описана в работе [8].

Литература

1. Darryl J. Leiter. Van de Graaff, Robert Jemison // A to Z of Physicists, 2003, р. 312.
2. Maxwell J. C. A Treatise on Electricity and Magnetism. — Dover, 1873. — P. 266 ff.
3. Ф. Ф. Менде, А. С. Дубровин. Особые свойства реактивных элементов и потоков заряженных частиц. Инжененрная физика, №11, 2016, с. 13-21.
4. F. F. Mende, New Properties of Reactive Elements and the Problem of Propagation of Electrical Signals in Long Lines, American Journal of Electrical and Electronic Engineering, Vol. 2, No. 5, (2014), р.141-145.
5. F. F. Mende. Induction and Parametric Properties of Radio-Technical Elements and Lines and Property of Charges and Their Flows, AASCIT Journal of Physics
Vol.1 , No. 3, Publication Date: May 21, 2015, р. 124-134
6. Ф. Ф. Менде, А. С. Дубровин. Альтернативная идеология электродинамики. М.: Перо, 2016. - 198 с.
7. A. D. Rawlins. Note on the Capacitance of Two Closely Separated Spheres. IMA Journal of Applied Mathematics v. 34 (1): 1985 p. 119–120.
8. Ф. Ф. Менде, А. С. Дубровин. Высоковольтный генератор постоянного тока Менде-Дубровина. Инжененрная физика, №5, 2017, с. 34-39.

Статья опубликована в журнале Инженeрная физика по ссылкам:
http://fmnauka.narod.ru/generator_van_de_graafa.pdf
http://infiz.tgizd.ru/ru/arhiv/16436

Сообщение отредактировал Менде - 28.10.2017, 19:39