Полная производная по времени от сложной функции вида F{r(t);t}, (силовое взаимодействие электрических зарядов с магнитным полем) Опции

[Зиновий]

Дана сложная функция F{r(t);t}, в дальнейшем F
Согласно правилам взятия полной производной сложной функции по параметру t имеем:

 CodeCogsEqn.gif ( 1.52 килобайт ) Кол-во скачиваний: 0


Для выяснения вида (векторное или скалярное) имеющихся произведений П рассмотрим полную производную по времени от векторных полей по определению классической теории поля, согласно теореме единственности векторного анализа - теореме Гельмгольца.

Теорема Гельмгольца
Всякое однозначное и непрерывное векторное поле F, обращающееся в нуль в бесконечности, может быть представлено, и притом единственным образом, в виде суммы градиента некоторой скалярной функции φ и и ротора некоторой векторной функции А, дивергенция которой равна нулю.
F = gradφ + rotA, divA ≡ 0.
Функция φ называется скалярным потенциалом поля F, а функция А - векторным потенциалом этого поля.

В силу аддитивности операции "производная" рассмотрим случай чисто градиентного поля.
Т.е. F = gradφ.
Тогда  CodeCogsEqn_2_.gif ( 1.16 килобайт ) Кол-во скачиваний: 0
.
Но т.к. векторное произведение векторного оператора набла на градиент φ есть ротор градиента, что тождественно равно нулю, то не тождественно нулевое решение будет только от скалярного произведения векторного оператора набла на градиент φ.
Как следствие определилось и второе произведение, как скаляр на вектор.
Окончательно получаем:
 CodeCogsEqn_3_.gif ( 1011 байт ) Кол-во скачиваний: 0
.

Продолжение следует.

Сообщение отредактировал Зиновий - 25.3.2018, 12:02

[Klark]

Согласно правилам дифференцирования сложной функции имеем:
dF{r(t); t}/dt ≡ δF{r(t); t}/δr * dr/dt + δF{r(t); t}/δt ≡ δF{r(t); t}/δr * V + δF{r(t); t}/δt.
Но т.к. мы уже знаем, что δ/δr ≡ ∇,
то dF/dt ≡ ∇F{r(t); t} * V + δF{r(t); t}/δt.

Желательно за основу взять учебник со "стандартной" терминологией и обозначением математических операций. Когда-то в школе преподаватель посоветовал купить трёхтомник Фихтенгольца по ВМ. Все лекции читались с использованием "стандартных" обозначений из этого учебника. Кроме того, настоятельно рекомендовалось записывать изучаемое в конспекты. Весьма полезная и даже необходимая методика. Строки собственноручно записанных выражений служат "реперными" метками для зрительной памяти и позволяют сохранить в памяти информацию практически навсегда.

[Зиновий]

Желательно за основу взять учебник со "стандартной" терминологией и обозначением математических операций. Когда-то в школе преподаватель посоветовал купить трёхтомник Фихтенгольца по ВМ. Все лекции читались с использованием "стандартных" обозначений из этого учебника. Кроме того, настоятельно рекомендовалось записывать изучаемое в конспекты. Весьма полезная и даже необходимая методика. Строки собственноручно записанных выражений служат "реперными" метками для зрительной памяти и позволяют сохранить в памяти информацию практически навсегда.

В данном цикле тем не идёт простое изложение учебника, а устраняются ляпы и фальшивки изложенного в научной и учебной литературе по данным вопросам.

[Klark]

В данном цикле тем не идёт простое изложение учебника, а устраняются ляпы и фальшивки изложенного в научной и учебной литературе по данным вопросам.

В этом случае необходимо указывать область применения информации из Вашего сообщения.

[Зиновий]

В этом случае необходимо указывать область применения информации из Вашего сообщения.

Область применения очевидна, векторный анализ основа классической теории физических полей независимо от их физической природы.

[Зиновий]

Продолжение темы.
Выше мы получили тождественную роспись полной производной по времени от от сложной функции вида F = F{r(t);t}.
А именно:  CodeCogsEqn.gif ( 1.52 килобайт ) Кол-во скачиваний: 0


Это выражение имеет огромное прикладное значение, но именно по нему огромное количество разночтений, как в математической, так и в физической литературе.
Рассмотрим полную производную по времени от векторного потенциала магнитного поля - вектора A = A{r(t);t}:
 CodeCogsEqn.gif ( 1.59 килобайт ) Кол-во скачиваний: 0

Действие векторного дифференциального оператора ∇ на вектор A{r(t);t} может быть скалярным и/или векторным.
Но т.к. нам задано, что вектор магнитной индукции B есть ротор А, а мы ищем величину векторного потенциала A характеризующую именно магнитное поле, то мы должны положить, что скалярное произведение оператора набла на векторный потенциал магнитного поля тождественно равно нулю.
С учётом этого получаем тождественное выражение для отличной от тождественного нуля полной производной по времени от векторного потенциала магнитного поля A{r(t);t}:
 CodeCogsEqn_4_.gif ( 1022 байт ) Кол-во скачиваний: 0


Но учитывая то, что векторное произведение векторного дифференциального оператора набла на вектор есть тождественно ротор вектора, а производная вектора по параметру есть вектор, то получаем окончательное выражение для полной производной векторного потенциала магнитного поля по времени.
 CodeCogsEqn_2_.gif ( 810 байт ) Кол-во скачиваний: 0


Далее.
Прикладное значение полученного выражения.
Продолжение следует.

Сообщение отредактировал Зиновий - 25.3.2018, 11:22

[vps137]

Продолжение темы.
Выше мы получили тождественную роспись полной производной по времени от от сложной функции вида F = F{r(t);t}.
А именно:
dF{r(t);t}/(dt)≡∂F{r(t);t}/(∂r) * v+∂F{r(t);t}/(∂t) ≡ ∇F{r(t);t}*v + ∂F{r(t);t}/(∂t).

Это выражение имеет огромное прикладное значение, но именно по нему огромное количество разночтений, как в математической, так и в физической литературе.

Чтобы было меньше разночтений, Ваше выражение лучше переписать так.
[dmath]\frac {d \textbf{F}}{dt}=( \textbf v \cdot \nabla) \textbf F+\frac {\partial \textbf F} {\partial t}[/dmath]

В такой записи видно, что набла не действует на вектор непосредственно, что привело бы к матрице Якоби, а вместе с вектором v. Первый член в компонентах запишется поэтому так [imath] \sum_k v_k \partial_k F_i[/imath] или [imath] \sum_{k=1}^3 v_k \frac {\partial F_i} {\partial r_k}[/imath]для i-той компоненты.

Сообщение отредактировал vps137 - 18.3.2018, 17:49

[Зиновий]

Чтобы было меньше разночтений, Ваше выражение лучше переписать так.
[dmath]\frac {d \textbf{F}}{dt}=( \textbf v \cdot \nabla) \textbf F+\frac {\partial \textbf F} {\partial t}[/dmath]

В такой записи видно, что набла не действует на вектор непосредственно, что привело бы к матрице Якоби, а вместе с вектором v. Первый член в компонентах запишется поэтому так [imath] \sum_k v_k \partial_k F_i[/imath] или [imath] \sum_{k=1}^3 v_k \frac {\partial F_i} {\partial r_k}[/imath]для i-той компоненты.

Я Вам очень признателен за то, что Вы отобразили ту путаницу, что имеет место в официальной научной и учебной литературе при росписи полной производной по времени сложной функции.
Набла именно действует на вектор согласно правилу взятия полной производной по времени от сложной функции.
А то, что Вы написали противоречит правилу и является широко распространённой ошибкой, целью которой было замазать возникшую неопределённость действия оператора набла на неопределённый вектор.
Тогда как вектор строго определён теоремой единственности векторного анализа - теоремой Гельмгольца.

Сообщение отредактировал Зиновий - 18.3.2018, 18:53

[vps137]

Я Вам очень признателен за то, что Вы отобразили ту путаницу, что имеет место в официальной научной и учебной литературе при росписи полной производной по времени сложной функции.
Набла именно действует на вектор согласно правилу взятия полной производной по времени от сложной функции.
А то, что Вы написали противоречит правилу и является широко распространённой ошибкой, целью которой было замазать возникшую неопределённость действия оператора набла на неопределённый вектор.
Тогда как вектор строго определён теоремой единственности векторного анализа - теоремой Гельмгольца.

Я не вижу противоречия. Ведь тот член мы можем записать и так [imath] \sum_{k=1}^3 \frac {\partial F_i} {\partial r_k} v_k [/imath], где [imath]v_k=\frac {\partial x_k}{\partial t}[/imath].
В Вашей записи, конечно, тоже можно, но тогда надо иметь в виду, что эти производные [imath]\frac {\partial F_i} {\partial r_k} [/imath] образуют матрицу Якоби 3х3, которая по правилам для матриц умножается на вектор-столбец {v_i}.

Сообщение отредактировал vps137 - 18.3.2018, 19:35

[Зиновий]

Я не вижу противоречия. Ведь тот член мы можем записать и так [imath] \sum_{k=1}^3 \frac {\partial F_i} {\partial r_k} v_k [/imath], где [imath]v_k=\frac {\partial x_k}{\partial t}[/imath].
В Вашей записи, конечно, тоже можно, но тогда надо иметь в виду, что эти производные [imath]\frac {\partial F_i} {\partial r_k} [/imath] образуют матрицу Якоби 3х3, которая по правилам для матриц умножается на вектор-столбец {v_i}.

Я специально в начальном выражении не указывал вид функции скалярная или векторная.
Чтобы много не писать несущественного по обсуждаемому вопросу рассмотрим функцию Ф[r(t)]
Так для скалярной функции имеем:
dФ[r(t)]/(dt) ≡ (∂Φ/(∂r) ⋅ dr/(dt)) ≡ (∂Φ/(∂r) ⋅ v) ≡ (gradΦ⋅v).
Для векторной функции имеем:
а) пусть функция будет градиентом некоего скалярного потенциала и назовём её "gradФ[r(t)]".
Тогда
d{gradФ[r(t)]}/dt ≡ ∂{gradФ[r(t)]}/∂r ⋅ dr/dt ≡ divgradФ[r(t)] ⋅ v,
т.к. rotgrad ≡ 0.
b)Пусть функция будет ротором некоего векторного потенциала и назовём её "rotP[r(t)]".
Тогда
d[rotP[r(t)]/dt ≡ [rotrotP[r(t)] × v],
т.к. divrot ≡ 0.
Все преобразования тождественны, инвариантны (не зависят от выбора системы координат), строго соответствуют фундаментальным положениям векторного анализа, не допускают разночтения и геометрически очевидны.

Сообщение отредактировал Зиновий - 19.3.2018, 0:11

[vps137]

Я специально в начальном выражении не указывал вид функции скалярная или векторная.
Чтобы много не писать несущественного по обсуждаемому вопросу рассмотрим функцию Ф[r(t)]
Так для скалярной функции имеем:
dФ[r(t)]/(dt) ≡ (∂Φ/(∂r) ⋅ dr/(dt)) ≡ (∂Φ/(∂r) ⋅ v) ≡ (gradΦ⋅v).

Это так, если Ф не зависит явно от t. Иначе будет слагаемое [imath]\frac {\partial Ф}[\partial t}[/imath]

Для векторной функции имеем:
а) пусть функция будет градиентом некоего скалярного потенциала и назовём её "gradФ[r(t)]".
Тогда
d{gradФ[r(t)]}/dt ≡ ∂{gradФ[r(t)]}/∂r ⋅ dr/dt ≡ divgradФ[r(t)] ⋅ v,
т.к. rotgrad ≡ 0.

Для проверки распишем в компонентах. [imath]\frac {d}{d t} \frac {\partial Ф}{\partial_i x}=\frac {\partial}{\partial t} \frac {\partial Ф}{\partial_i x}+\frac {\partial^2 Ф}{\partial_{ik} x} v_k[/imath]. Т.е. в общем виде имеем[imath]\frac {d} {d t} \nabla Ф=\nabla \dot Ф+(\vec v \cdot \nabla) \nabla Ф[/imath]
Точка над символом означает частную производную по времени.

b)Пусть функция будет ротором некоего векторного потенциала и назовём её "rotP[r(t)]".
Тогда
d[rotP[r(t)]/dt ≡ [rotrotP[r(t)] Ч v],
т.к. divrot ≡ 0.

Для ротора получим аналогично - [imath]\frac {d} {d t} rot \vec P=rot \dot {\vec P}+(\vec v \cdot grad) rot \vec P[/imath]
(Не отображается почему-то. Не пойму где тут ошибка. Анатолий помоги!)

Все преобразования тождественны, инвариантны (не зависят от выбора системы координат), строго соответствуют фундаментальным положениям векторного анализа, не допускают разночтения и геометрически очевидны.

Сообщение отредактировал vps137 - 19.3.2018, 13:48

[Anatoliy_]

Это так, если Ф не зависит явно от t. Иначе будет слагаемое [imath]\frac {\partial Ф}{\partial t}[/imath]
...
[imath]\frac {d} {d t} rot \vec P=rot \dot {\vec P}+(\vec v \cdot grad) rot \vec P[/imath]

В посте две ошибки.

[Зиновий]

Это так, если Ф не зависит явно от t. Иначе будет слагаемое [imath]\frac {\partial Ф}[\partial t}[/imath]

Внимательней читайте моё предыдущее сообщение.

Чтобы много не писать несущественного по обсуждаемому вопросу рассмотрим функцию Ф[r(t)]

Для проверки распишем в компонентах. [imath]\frac {d}{d t} \frac {\partial Ф}{\partial_i x}=\frac {\partial}{\partial t} \frac {\partial Ф}{\partial_i x}+\frac {\partial^2 Ф}{\partial_{ik} x} v_k[/imath]. Т.е. в общем виде имеем[imath]\frac {d} {d t} \nabla Ф=\nabla \dot Ф+(\vec v \cdot \nabla) \nabla Ф[/imath]
Точка над символом означает частную производную по времени.

Для ротора получим аналогично - [imath]\frac {d} {d t} rot \vec P=rot \dot \vec P+(\vec v \cdot grad) rot \vec P[/imath]
................................................................................

Вы ошибаетесь в росписи компонент допуская несуществующую операцию.

[vps137]

В посте две ошибки.

Большое спасибо!_{Оказывается, если на формулу нажать правой кнопкой мыши, то можно вывести tex-код. Я, гладишь, смогу тут и руку набить на этих формулах. Сам я пишу в либреофисе, где удобная прога для написания формул и возможность экспорта в пдф-файл. Всё что в принципе нужно. Но серьёзные журналы часто требуют статьи в tex-формате.}

Вы ошибаетесь в росписи компонент допуская несуществующую операцию.

Мне думается, это у Вас ошибка, когда Вы вводите дивергенцию

d{gradФ[r(t)]}/dt ≡ ∂{gradФ[r(t)]}/∂r ⋅ dr/dt ≡ divgradФ[r(t)] ⋅ v,

[Зиновий]

................................................................................
......
Мне думается, это у Вас ошибка, когда Вы вводите дивергенцию

Выбор не велик.
Либо ротор, либо дивергенция.
Третьего не дано правилами произведения векторов.
Но ротор градиента тождественный ноль, следовательно остаётся только дивергенция.
Другого векторный анализ для физических полей, определённых теоремой единственности - теоремой Гельмгольца, не допускает.

Сообщение отредактировал Зиновий - 19.3.2018, 18:32

[vps137]

Выбор не велик.
Либо ротор, либо дивергенция.
Третьего не дано правилами произведения векторов.
Но ротор градиента тождественный ноль, следовательно остаётся только дивергенция.
Другого векторный анализ для физических полей, определённых теоремой единственности - теоремой Гельмгольца, не допускает.

Вы сами писали, что есть третий, смешанный тип.
Теорема Гельмгольца - это теорема о представлении вектора. Но здесь другой случай, который обозначен в названии темы, и надо пользоваться лишь правилом дифференцирования сложной функции - как Вы и говорили.
Дивергенция при этом никак не может возникнуть - достаточно расписать по компонентам.

[Зиновий]

Вы сами писали, что есть третий, смешанный тип.
Теорема Гельмгольца - это теорема о представлении вектора. Но здесь другой случай, который обозначен в названии темы, и надо пользоваться лишь правилом дифференцирования сложной функции - как Вы и говорили.
Дивергенция при этом никак не может возникнуть - достаточно расписать по компонентам.

Теорема единственности векторного анализа определяет самый общий вид физических полей.
Это смешанное поле - сумма вихревого и градиентного полей.
Других физических полей быть не может ( по аналогии с механикой - поступательное и вращательное).
Вот и распишите по компонентам не произвольный вектор, а вихревой плюс градиент.
Именно это я Вам и расписал ранее, но раздельно.
Если вектор градиент, то получится дивергенция вектора умноженная на скорость.
Если вектор ротор, то получится ротор вектора векторно умноженный на скорость.
Результирующий вектор смешанного поля будет векторной суммой этих двух.
Надеюсь Вы не откажете полной производной по времени в свойстве аддитивности.

Сообщение отредактировал Зиновий - 25.3.2018, 11:26

[vps137]

Теорема единственности векторного анализа определяет самый общий вид физических полей.
Это смешанное поле - сумма вихревого и градиентного полей.
Других физических полей быть не может ( по аналогии с механикой - поступательное и вращательное).
Вот и распишите по компонентам не произвольный вектор, а вихревой плюс градиент.
Именно это я Вам и расписал ранее, но раздельно.
Если вектор градиент, то получится дивергенция вектора умноженная на скорость.
Если вектор ротор, то получится ротор ротора векторно умноженный на скорость.
Результирующий вектор смешанного поля будет векторной суммой этих двух.
Надеюсь Вы не откажете полной производной по времени в свойстве аддитивности.

Иначе говоря, Вы утверждаете, что, напр. для скалярной функции Ф [imath]\frac {d} {d t} \nabla Ф=\nabla \dot Ф+(\vec v \cdot \nabla) \nabla Ф=\nabla \times {\vec A}+\nabla \phi[/imath]. Но отсюда следует лишь, что [imath]\nabla \times {\vec A} \equiv 0[/imath] и что [imath] \vec A = \nabla \psi[/imath]. В результате не видно никакой дивергенции.
Произведение вектора на дивергенцию по формулам векторного анализа можно выразить лишь так
[dmath]\vec v \nabla \cdot \vec B=\vec B \nabla \cdot \vec v +\nabla \times (\vec v \times \vec B)+(\vec v \cdot \nabla) \vec B-(\vec B \cdot \nabla) \vec v[/dmath]

Сообщение отредактировал vps137 - 20.3.2018, 4:08

[Зиновий]

Иначе говоря, Вы утверждаете, что, напр. для скалярной функции Ф [imath]\frac {d} {d t} \nabla Ф=\nabla \dot Ф+(\vec v \cdot \nabla) \nabla Ф=\nabla \times {\vec A}+\nabla \phi[/imath]. Но отсюда следует лишь, что [imath]\nabla \times {\vec A} \equiv 0[/imath] и что [imath] \vec A = \nabla \psi[/imath]. В результате не видно никакой дивергенции.
Произведение вектора на дивергенцию по формулам векторного анализа можно выразить лишь так
[dmath]\vec v \nabla \cdot \vec B=\vec B \nabla \cdot \vec v +\nabla \times (\vec v \times \vec B)+(\vec v \cdot \nabla) \vec B-(\vec B \cdot \nabla) \vec v[/dmath]

Ничего подобного я не утверждаю.
Вы мне приписываете ошибочное утверждение получившее широкое распространение с чьей-то "лёгкой руки".
Запишите произвольное векторное поле в явном виде согласно теореме единственности - теореме Гельмгольца и возьмите от него полную производную по времени согласно правилам взятия полной производной по времени от сложной функции.
Произведение вектора на дивергенцию есть просто произведение скалярной функции на вектор.
Не надо чудить.

Сообщение отредактировал Зиновий - 20.3.2018, 7:47

[vps137]

Ничего подобного я не утверждаю.
Вы мне приписываете ошибочное утверждение получившее широкое распространение с чьей-то "лёгкой руки".
Запишите произвольное векторное поле в явном виде согласно теореме единственности - теореме Гельмгольца и возьмите от него полную производную по времени согласно правилам взятия полной производной по времени от сложной функции.
Произведение вектора на дивергенцию есть просто произведение скалярной функции на вектор.
Не надо чудить.

Хорошо. Вот поле [imath]\vec F=\nabla \times \vec A+\nabla \phi[/imath]
Полная производная [imath]\frac {d}{d t} \vec F=\dot {\vec F}+( \vec v \cdot \nabla) \vec F= \nabla \times {\dot {\vec A}}+\nabla \dot \phi+( \vec v \cdot \nabla) {\nabla \times \vec A}+( \vec v \cdot \nabla) \nabla \phi [/imath]
Не вижу, что здесь можно сделать сверх этого.