Градиент вектора, что это?, (математическая корректность операции!?) Опции

[vps137]

Покажите каких операций с вектором набла не хватает для описания векторных и скалярных величин электрических и магнитных полей?

Набла - это дифференциальный оператор. Я не говорил, что операций из поста #1 не хватает для действий с векторными полями, коими являются электрическое и магнитное поля. Этот оператор набла из векторного анализа.

Если же вместо их рассматривать тензор электромагнитного поля [imath]F_{ij}[/imath], то тогда понадобится, напр. операция свертки этого тензора с вектором скорости. Никакой наблы к тензору, мне кажется, применять нельзя, хотя используется обозначение с наблой для обозначения ковариантных производных.

(Даже Осипов, быв. президент АН и мой учитель по матану, поставил бы мне четвертак))

А "градиент компоненты" это как?
Компонента имеет направление и сама является вектором.
Вы объясняете градиент вектора градиентом вектора.

Нет. Компоненту вектора можно рассматривать как скаляр. Одна она никакого направления не имеет. Вектором станет действие на её операции градиент. См. исправленный пост.

Градиент вектора, как я, видимо, безуспешно пытался показать выше, - это не вектор, а тензор.

(Вы слишком строгий экзаменатор. Ставьте мне двойку(((

Сообщение отредактировал vps137 - 16.2.2018, 15:23

[SBK]

Нет, слева стоит градиент вектора, из-за которого весь сыр-бор, а справа - матрица Якоби, которую я ошибочно называл якобианом (точнее, так в англоязычной литературе называют и матрицу и детерминант).

Динамический градиент - как я уже отвечал, это, по-видимому, то, что называется полной производной.

Во-первых,
"В частном случае m=n матрица Якоби становится квадратной и тогда ее определитель называется якобианом или определителем Якоби или функциональным определителем системы из n функций {f₁(x₁, ..., x_n) ... f_n(x₁, ..., x_n)} по переменным x₁, ..., x_n

В этом же случае след матрицы Якоби называется дивергенцией вектора (f₁,f₂,...,f_n):"
"В частном случае m_{}=1 матрица Якоби состоит из одной строки: этот вектор в Rⁿ или Cⁿ называется градиентом функции f (в точке (x₁, ..., x_n):

"
Матрица Якоби и якобиан
Во-вторых, я уже Вам показывал, что в общем случае динамический градиент не сводится к Вашей записи. Не появляется там Ваших псевдо роторов и проч. Там другие зависимости.
Так всегда бывает, когда вместо решения задач начинают абстрактную формализацию частных решений.

[vps137]

Во-первых,
"В частном случае m=n матрица Якоби становится квадратной и тогда ее определитель называется якобианом или определителем Якоби или функциональным определителем системы из n функций {f₁(x₁, ..., x_n) ... f_n(x₁, ..., x_n)} по переменным x₁, ..., x_n

В этом же случае след матрицы Якоби называется дивергенцией вектора (f₁,f₂,...,f_n):"
Матрица Якоби и якобиан
Во-вторых, я уже Вам показывал, что в общем случае динамический градиент не сводится к Вашей записи. Не появляется там Ваших псевдо роторов и проч. Там другие зависимости.
Так всегда бывает, когда вместо решения задач начинают абстрактную формализацию частных решений.

По первому замечанию уже было. По сторому - тоже.

[SBK]

По первому замечанию уже было. По сторому - тоже.

И по первому Вы так и не поняли, что есть что и куда совать, и по второму было показано, что не сводится ни к Вашему, ни к ковариантной производной. Более того, показанные диаграммы динамических полей демонстрируют, что там вообще в общем случае нельзя записать подобные уравнения из-за трансцендентных выражений.
Я же говорю, у Вас примитивная формализация частного решения, характерная для ревизионистов. Развитие только при физическом моделировании. Подобная формализация не способна учесть нюансы оригинальных моделей.
Впрочем, это Ваше дело перебирать старые кубики... :-)

[vps137]

И по первому Вы так и не поняли, что есть что и куда совать, и по второму было показано, что не сводится ни к Вашему, ни к ковариантной производной. Более того, показанные диаграммы динамических полей демонстрируют, что там вообще в общем случае нельзя записать подобные уравнения из-за трансцендентных выражений.
Я же говорю, у Вас примитивная формализация частного решения, характерная для ревизионистов. Развитие только при физическом моделировании. Подобная формализация не способна учесть нюансы оригинальных моделей.
Впрочем, это Ваше дело перебирать старые кубики... :-)

Согласен на то, чтобы Вы тоже поставили двойку за мои ответы.

[SBK]

Согласен на то, чтобы Вы тоже поставили двойку за мои ответы.

Я не оценивал Ваш ответ по баллам. То, что делаете Вы, слишком распространено, чтобы выделять в этом Вас.
Я просто сказал и показал, что этот путь тупиковый, но
"Каждый, право, имеет право
На то, что слева и то, что справа.
На черное поле, на белое поле
На вольную волю и на неволю.
В этом мире случайностей нет,
Каждый шаг оставляет след"
(Макаревич)

[vps137]

Я не оценивал Ваш ответ по баллам. То, что делаете Вы, слишком распространено, чтобы выделять в этом Вас.
Я просто сказал и показал, что этот путь тупиковый, но
"Каждый, право, имеет право
На то, что слева и то, что справа.
На черное поле, на белое поле
На вольную волю и на неволю.
В этом мире случайностей нет,
Каждый шаг оставляет след"
(Макаревич)

Поэты всегда в чем-то правы.

Эта тема началась из этого поста. Похоже, здесь мне не удалось никого убедить, поэтому я попытаюсь, наверное, сделать заметку о том, как предполагается брать ротор 4-вектора и т.п.

[Зиновий]

Набла - это дифференциальный оператор. Я не говорил, что операций из поста #1 не хватает для действий с векторными полями, коими являются электрическое и магнитное поля. Этот оператор набла из векторного анализа.

Если же вместо их рассматривать тензор электромагнитного поля [imath]F_{ij}[/imath], то тогда понадобится, напр. операция свертки этого тензора с вектором скорости. Никакой наблы к тензору, мне кажется, применять нельзя, хотя используется обозначение с наблой для обозначения ковариантных производных.

(Даже Осипов, быв. президент АН и мой учитель по матану, поставил бы мне четвертак))

Т.е. Вы допускаете, что одни и те же физические поля записанные в векторноскалярной форме и тензорной форме могут давать различные правильные результаты?
Или, если оператора набла достаточно для полного описания электрических и магнитных полей, то применение тензорного аппарата даёт избыточную и недостоверную информацию.

Нет. Компоненту вектора можно рассматривать как скаляр. Одна она никакого направления не имеет..................................................................

Тогда, что Вы подразумеваете под "компонента вектора" если она лишена направления?

Сообщение отредактировал Зиновий - 16.2.2018, 22:05

[SBK]

Поэты всегда в чем-то правы.

Эта тема началась из этого поста. Похоже, здесь мне не удалось никого убедить, поэтому я попытаюсь, наверное, сделать заметку о том, как предполагается брать ротор 4-вектора и т.п.

Смысл продавливать то, что не лезет? ВЫ в трёхмерии не сводите концы с концами, а лезете в четырхмерие.

[vps137]

Смысл продавливать то, что не лезет? ВЫ в трёхмерии не сводите концы с концами, а лезете в четырхмерие.

Это Ваше замечание не по теме.

Т.е. Вы допускаете, что одни и те же физические поля записанные в векторноскалярной форме и тензорной форме могут давать различные правильные результаты?
Или, если оператора набла достаточно для полного описания электрических и магнитных полей, то применение тензорного аппарата даёт избыточную и недостоверную информацию.

Это не верно. Когда на ЭМП смотрим как на единую сущность, может получиться более полное описание каждого поля.

Тогда, что Вы подразумеваете под "компонента вектора" если она лишена направления?

Это буквоедство.

Направлением обладает вектор. Компонента - нет. Она относится к одному направлению какой-нибудь оси координат, но сама по себе имеем смысл скаляра. Напр. вектор А=(1,2.3). Каждое число здесь -это компонента вектора А, скаляр.

[SBK]

Это Ваше замечание не по теме.

Всё по теме. Не Вы ли выше сетовали, что ротор в четырёхмерии не получается? А Вам показали, что и втрёхмерии ВАш якобиан не соответствует динамическому градиенту, полученному в физическом моделировании.

Это буквоедство.

Направлением обладает вектор. Компонента - нет. Она относится к одному направлению какой-нибудь оси координат, но сама по себе имеем смысл скаляра. Напр. вектор А=(1,2.3). Каждое число здесь -это компонента вектора А, скаляр.

Да, нет, не буквоедство а то самое извращение математического формализма. Да, вектор записывается тремя числами, но это просто сокращённая запись математического выражения
A = 1*i+2*j+3*k
И компонентой считается каждое слагаемое, а не только число.

А по мне так в этом вопросе математика ставит себя впереди физики.
Составят себе дифференцирую функцию математической модели и думают,
что в физической модели будет то же самое.

Вот-вот...

Матрица, вроде бы система линейных уравнений, но в физических моделях тензоры не линейные. Их изучает наука Теория упругости,.
Я замерял тензоры тензометрами, точной линейности не наблюдал.

При растяжении упругого стержня, поперечное сечение стержня уменьшается и тензор (напряжение) по оси растяжения не пропорционален силе растяжения.

Правильно, и физическое моделирование показывает, что в динамике поверхностные волны на стержне, возникающие при продольной волне внутри, несинусоидальные:

Особенности распространения продольных волн сжатия в однородном упругом стержне конечного сечения (линейное моделирование)

[vps137]

Всё по теме. Не Вы ли выше сетовали, что ротор в четырёхмерии не получается? А Вам показали, что и втрёхмерии ВАш якобиан не соответствует динамическому градиенту, полученному в физическом моделировании.

Вы не так поняли. Я не сетовал.
Я в постах #4 и #25 показал, что соответствует.

Да, нет, не буквоедство а то самое извращение математического формализма. Да, вектор записывается тремя числами, но это просто сокращённая запись математического выражения
A = 1*i+2*j+3*k
И компонентой считается каждое слагаемое, а не только число.

Это верно, но подразумевалась координата компоненты, поскольку про базис умалчивалось. Эта координат - скаляр.

Сообщение отредактировал vps137 - 17.2.2018, 11:49

[SBK]

Вы не так поняли. Я не сетовал.
Я в постах #4 и #25 показал, что соответствует.

Соответствует физическому моделированию динамического градиента? Это я Вам показал, что в общем случае нет. Физическое моделирование способно учитывать нюанс динамики. Абстрактно математическое - нет.

Это верно, но подразумевалась координата компоненты, поскольку про базис умалчивалось. Эта координат - скаляр.

А какой разговор о компоненте без базиса? Разные базисы, разные компоненты...

[Зиновий]

................................................................................
Это буквоедство.

Направлением обладает вектор. Компонента - нет. Она относится к одному направлению какой-нибудь оси координат, но сама по себе имеем смысл скаляра. Напр. вектор А=(1,2.3). Каждое число здесь -это компонента вектора А, скаляр.

Вектор - понятие инвариантное и не зависит от поворота и переноса системы координат.
Его проекции, их численные значения каждой компоненты в отдельности инвариантами не являются.
То, что Вам написал по этому поводу SBK правильно, но недостаточно жёстко.
То, что Вы написали грубая геометрическая ошибка.
Но именно эта ошибка основанная на непонимании геометрического смысла координатного отображения породила в том числе и ваше четырёхмерие.

[SBK]

но недостаточно жёстко.

А можно жёстче?

Но именно эта ошибка основанная на непонимании геометрического смысла координатного отображения породила в том числе и ваше четырёхмерие.

Просто есть два пути решения задач. Первый путь основан на углублённом моделировании с учётом нюансов модели. Второй путь - "размножения" существующего представления на многомерие. Второй путь значительно проще. Потому по нему и пошли релятивисты, теория струн, теорфизическое представление ЭМ процессов, как и вся абстрактная алгебра. Кстати, и догматы классической физики не отстают, пытаясь всунуть динамику в прокрустово ложе существующих закономерностей.

[Зиновий]

А можно жёстче?

Я изложил:

То, что Вы (vps137) написали грубая геометрическая ошибка.

Просто есть два пути решения задач. Первый путь основан на углублённом моделировании с учётом нюансов модели. Второй путь - "размножения" существующего представления на многомерие. Второй путь значительно проще. Потому по нему и пошли релятивисты, теория струн, теорфизическое представление ЭМ процессов, как и вся абстрактная алгебра. Кстати, и догматы классической физики не отстают, пытаясь всунуть динамику в прокрустово ложе существующих закономерностей.

В процессе поиска решения конкретной задачи можно идти любым путём, но нельзя нарушать правила используемого математического аппарата.
В данном случае правила векторного анализа.

Сообщение отредактировал Зиновий - 17.2.2018, 13:12

[vps137]

Соответствует физическому моделированию динамического градиента? Это я Вам показал, что в общем случае нет. Физическое моделирование способно учитывать нюанс динамики. Абстрактно математическое - нет.

Ни в физике, ни к математике нет понятия динамического градиента. Есть полная производная, которая содержит те же компоненты, что и в Вашем изобретении велосипеда.

А какой разговор о компоненте без базиса? Разные базисы, разные компоненты...

А что интересного в басисе системы координат? Конечно, по смыслу подразумевалось, что он никак не меняется. Мы же не релятивсты

[SBK]

В процессе поиска решения конкретной задачи можно идти любым путём, но нельзя нарушать правила используемого математического аппарата.
В данном случае правила векторного анализа.

Правильно, но нельзя и догматизировано смотреть на полученные векторным анализом формулы без учёта особенности моделирования.

[vps137]

Вектор - понятие инвариантное и не зависит от поворота и переноса системы координат.
Его проекции, их численные значения каждой компоненты в отдельности инвариантами не являются.
То, что Вам написал по этому поводу SBK правильно, но недостаточно жёстко.
То, что Вы написали грубая геометрическая ошибка.
Но именно эта ошибка основанная на непонимании геометрического смысла координатного отображения породила в том числе и ваше четырёхмерие.

Эту ошибку Вы выдумали сами. Её у меня нет. Есть, может быть, недостаточная математическая строгость, так это же не матфорум конце концов.

[SBK]

Ни в физике, ни к математике нет понятия динамического градиента. Есть полная производная, которая содержит те же компоненты, что и в Вашем изобретении велосипеда.

Когда-то и понятия вектора тоже не было. Так что? Нужно же в суть смотреть. Динамика привносит в векторный анализ свои особенности, которые и были вскрыты мной. Получите наши решения своим якобианом для движущегося источника? Обоснуйте продольную ЭМ волну в рамках существующего формализма Максвелла. Только изменив эти уравения с учётом динамики. А то, что результат оказывается простым - это моё достоинство, а не велосипед. До меня это было? Нет. И весь сказ.

А что интересного в базисе системы координат? Конечно, по смыслу И подразумевалось, что он никак не меняется. Мы же не релятивисты

Не обязательно быть релятивистом. Вы же и без меня знаете, что, например, есть сферическая, цилиндрическая, декартова системы координат, как и много других. Тут релятивизма нет, а проекции одного и того же вектора будут разными как по величине, так и по направлению. И ориентация этих координатных систем может быть разная. Это тоже изменяет проекции.