Полная производная по времени от сложной функции вида F{r(t);t}, (силовое взаимодействие электрических зарядов с магнитным полем) Опции

[Зиновий]

Хорошо. Вот поле [imath]\vec F=\nabla \times \vec A+\nabla \phi[/imath]
Полная производная [imath]\frac {d}{d t} \vec F=\dot {\vec F}+( \vec v \cdot \nabla) \vec F= \nabla \times {\dot {\vec A}}+\nabla \dot \phi+( \vec v \cdot \nabla) {\nabla \times \vec A}+( \vec v \cdot \nabla) \nabla \phi [/imath]
Не вижу, что здесь можно сделать сверх этого.

Тождественный, последовательный вывод полной производной по времени для физических полей изложен мной в сообщении #6 от 18.3.2018, 12:50
Что там неправильно?

Сообщение отредактировал Зиновий - 20.3.2018, 12:55

[vps137]

Тождественный, последовательный вывод полной производной по времени для физических полей изложен мной в сообщении #6 от 18.3.2018, 12:50
Что там неправильно?

На мой взгляд, там неверна запись первого уравнения, где в правой части скалярно умножается вектор на градиент вектора, про который мы уже много друг другу сказали.

[Зиновий]

На мой взгляд, там неверна запись первого уравнения, где в правой части скалярно умножается вектор на градиент вектора, про который мы уже много друг другу сказали.

Где Вы увидели "градиент вектора"?
Там фигурирует "градиент скалярной функции".
По поводу "градиента вектора" мы уже ранее пришли к выводу, что такой операции в векторном анализе не существует.

Тождественная роспись полной производной по времени:
d()/dt ≡ ∂П()/∂r П v + ∂()/∂t ≡ ∇П() П v + ∂()/∂t.
Где:
П - вид произведения дающий результат отличный от тождественно нулевого и сохраняющий результат производной как вектор или скаляр в зависимости от вида дифференцируемой функции.
() - дифференцируемая функция.

Сообщение отредактировал Зиновий - 20.3.2018, 18:17

[vps137]

Где Вы увидели "градиент вектора"?
Там фигурирует "градиент скалярной функции".
По поводу "градиента вектора" мы уже ранее пришли к выводу, что такой операции в векторном анализе не существует.

Тождественная роспись полной производной по времени:
d()/dt ≡ ∂П()/∂r П v + ∂()/∂t ≡ ∇П() П v + ∂()/∂t.
Где:
П - вид произведения дающий результат отличный от тождественно нулевого и сохраняющий результат производной как вектор или скаляр в зависимости от вида дифференцируемой функции.
() - дифференцируемая функция.

Ладно с первым уравнением.
Возьмем второе Ваше уравнение, где рассматривается полная производная от вектора

dA{r(t);t}/dt ≡ ∇A{r(t);t}*v + ∂A{r(t);t}/(∂t)

. Разве ∇A{r(t);t} не градиент вектора?

Вообще, Зиновий, было бы проще, если Вы тоже пользовались латехом, благо он тут появился. Тогда бы было меньше недоразумений, потому что Ваши записи трудно понять.

[Зиновий]

Ладно с первым уравнением.
Возьмем второе Ваше уравнение, где рассматривается полная производная от вектора . Разве ∇A{r(t);t} не градиент вектора?

Вообще, Зиновий, было бы проще, если Вы тоже пользовались латехом, благо он тут появился. Тогда бы было меньше недоразумений, потому что Ваши записи трудно понять.

Мы с Вами ранее уже определились, что такой операции "градиент вектора" нет в векторном анализе.
(Проба пера с редактором)
И так, в самом общем виде, согласно правилу взятия полной производной от сложной функции по параметру имеем:
 CodeCogsEqn.gif ( 1.59 килобайт ) Кол-во скачиваний: 2

Определимся в виде имеющихся произведений П.
Т.к. Вектор А имеет тождественно вихревой характер, т.е.  CodeCogsEqn_1_.gif ( 392 байт ) Кол-во скачиваний: 0

След. действие оператора набла на него дающее отличный от тождественного нуля результат есть только векторное произведение, т.е. "rot".
Тогда, с учётом этого замечания, а также то, что полная производная радиус вектора по времени есть скорость v перемещения объекта в поле вектора А, перепишем:
 CodeCogsEqn_1_.gif ( 843 байт ) Кол-во скачиваний: 0
.
Но так-как полная производная вектора А по скаляру t есть вектор, то оставшееся произведение может быть только векторным.
Откуда окончательно имеем:
 CodeCogsEqn_2_.gif ( 810 байт ) Кол-во скачиваний: 0
.

Прикладное значение полученного выражения полной производной векторного потенциала магнитного поля по времени.
Домножив полученное выражение на величину движущегося в поле вектора А электрического заряда с знаком минус, получим самое общее, в векторной форме выражение силы F_м действующей на электрические заряды в магнитном поле векторного потенциала А:
F_м ≡  CodeCogsEqn_3_.gif ( 1.1 килобайт ) Кол-во скачиваний: 0
.
Или, что тоже самое:
F_м ≡  CodeCogsEqn_4_.gif ( 1.03 килобайт ) Кол-во скачиваний: 0
.
Где:
 CodeCogsEqn_5_.gif ( 349 байт ) Кол-во скачиваний: 0
- всем известная сила Лоренца;
 CodeCogsEqn_6_.gif ( 359 байт ) Кол-во скачиваний: 0
- сила индукции, которую Максвелл ошибочно принял за напряжённость вихревого электрического поля.

P.S.
Прошу обратить внимание на то, что все преобразования тождественны и не имеют никаких ограничивающих допущений кроме фундаментальных положений векторного анализа.

Сообщение отредактировал Зиновий - 25.3.2018, 11:56