Градиент вектора, что это?, (математическая корректность операции!?) Опции

[SBK]

Это ваше личное мнение, или научное, что другие умели писать формулы, а Фарадей был неуч?

Об этом говорил и Карцев. И я не говорил, что он был неуч, хотя, действительно не учился в школе. Он был превосходный экспериментатор. Гениальный экспериментатор. И популяризатор. Его лекции - образец и на уровне с Р.В. Полем.

Ну насчет, что первично ЭДС, или ток, спорить не буду.
Как скажите, так и будет

Ну, как посчитаете... Я из тех, кто может строго доказывать.

[Paraligon]

А тут нечего определяться, уважаемый Paraligon. символ sup действительно из высшей математики (и без кавычек), но в приведенном Вами тексте целая совокупность других символов с понтом дела изрекающим что-то новое. Вот я и спрашиваю, что действительно нового дало введение этих симолов?

По сравнению с "высшей" математикой, там написано, что неравенство Ки Фаня эквивалентно теореме Брауэра о неподвижной точке. Традиционно, теорема Брауэра не входит (не входила) в курс "высшей" математики, хотя её отдельные эквивалентные варианты и могут быть получены методами той самой "высшей" математики, например, из интегральной формулы Гаусса-Остроградского (формулы Сокса) ... а новые результаты, да почти вся математика XX века может быть отсюда выведена ... конкретно, вот например, существование равновесия по Нэшу для двух и более лиц в теории игр - здесь напрямую нагляднее использовать неравенство Ки Фаня, не прибегая к топологической терминологии ... этот результат настолько поразил экономистов, что последние даже вручили Нэшу нобелевскую премию за это его элементарное наблюдение молодости, хотя Джон фон Нейман и выразил ему некоторый скепсис, ибо первый решил этим методом задачу для двух игроков ... на следующей странице книги Обэна и Экланда вы найдёте и массу других примеров ... замечательный пример из естествознания, который получается этим методом это решение астрофизиком Чандрасекаром задачи об устойчивости белых карликов и тоже нобелевка ... хотя рогатый Нобель и не любил математиков ...
Да, и ваш скрытый спор об операторе набла, тоже легко разрешается с помощью ... формулы Стокса, которая тоже эквивалентна теореме Брауэра, а значит и неравенству Ки Фаня ... и я не шучу!

Сообщение отредактировал Paraligon - 14.2.2018, 16:39

[SBK]

а новые результаты, да почти вся математика XX века может быть отсюда выведена ... конкретно, вот например, существование равновесия по Нэшу для двух и более лиц в теории игр

Говорите, доказал?

набор стратегий в игре для двух и более игроков, в котором ни один участник не может увеличить выигрыш, изменив свою стратегию, если другие участники своих стратегий не меняют

Равновесие Нэша
Вот и посмотрим, насколько это соответствует реальности в экономике
Взяли случай Генри Форда. Он принципиально изменил стратегию, сделав ставку на высокие зарплаты и механизацию. Никто из "игроков" до него не платил столько и так не организовывал труд рабочих. Что ему только ни делали: и по судам таскали, и в антисемиты записывали, и фабрики жгли. Сейчас массовое производство, пооперационный расчёт труда являются базой мирового производства. Никто не хотел, но все пошли именно в русле начинаний Форда, а он смог преодолеть сопротивление.
Взяли пример из игр. В играх заранее заложена определённая стратегия. Если ты её придерживаешься, как минимум, не проигрываешь, а выигрываешь тогда, когда знаешь наперёд эту стратегию и в определённые моменты отходишь от неё, когда программа или другой игрок пытаются тебя подставить на стандарте, имеющем второе решение, которое программа/игрок не учитывают вследствие своей ограниченности/заданности. Этим ты нарушаешь баланс и только от тебя зависит насколько правильно ты просчитал встречную сторону. "Кто не рискует, тот не пьёт шампанского"...
"Прошиб меня холодный пот
До косточки,
И я прошелся чуть вперед
По досточке.
Гляжу - размыли край ручьи
Весенние,
Там выезд есть из колеи -
Спасение!

Я грязью из-под шин плюю
В чужую эту колею.

Эй, вы, задние! Делай, как я.
Это значит - не надо за мной.
Колея эта - только моя!
Выбирайтесь своей колеей.
(В. Высоцкий Чужая колея)

Так что, как известно, Нобеля дают не за успехи и знания, а за принадлежность к определённому клану. Нарушение баланса вопреки желанию других игроков - это основа победы в игре. И если победы реальность, то равновесие Нэша туфта.
А о Чандрасекаре вообще говорить нечего. Если он своим умом не допёр до элементарных ошибок в ОТО, его из школы выпускать не стоило, не то что нобелевские давать. Обычная безмозглая тасовка заданными корявыми кубиками. И то, что Нобелевский комитет этого не увидел, ещё раз говорит о его "уровне". К природе это не относится. Обычные игры чистого разума...

[Paraligon]

Математика, а тем более экономика, даёт нам множество различных состояний равновесия (Парето, Вальрас, Нэш и т.п.), но все они есть неподвижные точки, даже если они седловые как у Нэша.

Тайна присвоения нобелевок остаётся закрытой в течение 50 лет после их присвоения. Нэш получил свою за удачную модель для конечного числа игроков, даже не подозревая, что подобное равновесие может быть и в игре с бесконечным числом игроков ... в то время как в 50-е годы прошлого века для этого случая были получены только отрицательные результаты см. например В.Кли ...

Чандрасекар, конечно, получил свой результат о белых карликах исходя чисто из физических соображений ... лишь позднее было указано, что можно постооить модель, в которой равновесие белого карлика будет неподвижной точкой подходящего интегрального оператора ...

Настоящий оператор "набла" есть многозначный дифференциальный оператор (например, конус Кларка, субдифференциал и т.п.) ... на практике мы всегда имеем не одну касательную, а целый конус (пучок) касательных в тех точках, где нет привычной нам гладкости ... для выпуклого случая поведение такого дифференциала описывается в виде неравенстаа Ки Фаня ... которое по сути своей заменяет традиционное необходимое условие равенства нулю производной f'(x)=0

Сообщение отредактировал Paraligon - 14.2.2018, 20:23

[SBK]

Я же Вам привёл абсурдность доказанного на двух примерах. Стоит ли гулять по всей физике, чтобы показать эти игры чистого разума в каждом случае.
Вот о белых карликах, предел массы которых якобы установил Чандрасекар.
"массы белых карликов составляют порядка солнечной, но размеры составляют лишь сотую (и даже меньше) часть солнечного радиуса, то есть плотность вещества в белых карликах чрезвычайно высока и составляет ρ~ 10⁵ - 10⁹ г/см³. При таких плотностях электронные оболочки атомов разрушаются, и вещество представляет собой электронно-ядерную плазму, причём её электронная составляющая представляет собой вырожденный электронный газ"
Физика и свойства белых карликов
Простой вопрос по школьной физике: если масса белых карликов сравнима с массой Солнца, почему само Солнца не белый карлик?
Второй не менее простой вопрос: как известно, давление к центру гравитирующего тела возрастает на несколько порядков? О какой средней плотности может идти речь? Тем более, о какой электронно-ядерной плазме, если у ангретого тела электроны уходят в оболочку, заряжая тело положительно, и это давно проверенный факт. Ещё и вырожденная электронная плазма там... Суют что зря в своих фантазиях...
Так что на этой базе считал Чандрасекар? То же, что и в своём двухтомнике по ЧД. А Вы всё за чистую монету принимаете. Тут физикой и не пахнет. Нет сил, которые могли бы сжать Солнце до белого карлика и Солнце тому прямое доказательство, а значит и любые пределы, посчитанные на этой основе тривиальная туфтица.
И пусть Нобелевский комитет скрывает свои тайны. По результату виден его уровень и без тайн.

[Зиновий]

Назначение темы чётко обозначено в названии темы.
Всё лишнее буду удалять.

[Paraligon]

Зиновий, градиент вектора это субдифференциал Кларка ...

[Зиновий]

Зиновий, градиент вектора это субдифференциал Кларка ...

Мне от этого не холодно и не жарко.
Покажите как должен в этом случае действовать оператор набла на вектор, при условии, что результат вектор?

[Paraligon]

Зиновий, ссылка в посте #2 темы, приведённая vps137 вполне удовлетворительная ... там прямо написана формула градиента для трёхмерного векторного поля (не скалярного!) ...

Упоминая субдифференциал Кларка, я лишь хотел сказать, что это понятие градиента можно написать даже для недифференцируемых полей ... конечно он становится многозначным отображением, но тем не менее сохраняет свои основные свойства в той форме, как они формулируются для таких отображений. В содержательной форме нашего дискурса следует остановиться на варианте приведённом vps137 ... это для того, чтобы я не вздумал объявлять градиент кограничным оператором, действующим на нульмерные дифференциальные формы (скаляры) и переводящим их в одномерные дифференциальные формы некоторого коцепного комплекса ...

Так что скажите, чем вас не устроила формула vps137 (или я уже это пропустил?)?

[Зиновий]

Зиновий, ссылка в посте #2 темы, приведённая vps137 вполне удовлетворительная ... там прямо написана формула градиента для трёхмерного векторного поля (не скалярного!) ...

Упоминая субдифференциал Кларка, я лишь хотел сказать, что это понятие градиента можно написать даже для недифференцируемых полей ... конечно он становится многозначным отображением, но тем не менее сохраняет свои основные свойства в той форме, как они формулируются для таких отображений. В содержательной форме нашего дискурса следует остановиться на варианте приведённом vps137 ... это для того, чтобы я не вздумал объявлять градиент кограничным оператором, действующим на нульмерные дифференциальные формы (скаляры) и переводящим их в одномерные дифференциальные формы некоторого коцепного комплекса ...

Так что скажите, чем вас не устроила формула vps137 (или я уже это пропустил?)?

В связи с ответом vps137 я задал вопрос математикам.
Хотелось бы получить Ваш ответ.
Уточняю, речь идёт о реальных физических полях в физическом пространстве.

[vps137]

В связи с ответом vps137 я задал вопрос математикам.
Хотелось бы получить Ваш ответ.
Уточняю, речь идёт о реальных физических полях в физическом пространстве.

Мне кажется, там теорему разложения Гельмгольца можно выразить более кратко с помощью якобиана.

Как-то так. [dmath] \vec F= \delta \cdot \partial A[/dmath], где [imath]d A=0[/imath], а дельта нужна, чтобы выделить из якобиана вектор.
Док-во за Paraligonom.

Сообщение отредактировал vps137 - 16.2.2018, 5:26

[SBK]

Мне кажется, там теорему разложения Гельмгольца можно выразить более кратко с помощью якобиана.

Как-то так. [dmath] \vec F= \delta \cdot \partial A[/dmath], где [imath]d A=0[/imath], а дельта нужна, чтобы выделить из якобиана вектор.
Док-во за Paraligonom.

Это вот это Вы считаете якобианом, vps137 (№ 4)?
[dmath]\partial \vec A=\frac {\partial (A_1, A_2, A_3)}{\partial (x_1, x_2, x_3)}= \begin{pmatrix}
\partial_1 A_1 & \partial_1 A_2 & \partial_1 A_3 \\
\partial_2 A_1 & \partial_2 A_2 & \partial_2 A_3 \\
\partial_3 A_1 & \partial_3 A_2 & \partial_3 A_3
\end{pmatrix}[/dmath]
А Вы раскрывали этот определитель, чтобы там записать: "След его является дивергенцией вектора А, а недиагональные члены можно представить как ротор вектора А"?
Вот это и есть та самая абстрактная алгебра, основанная на извращении высшей математики.
Я уже не говорю, что у Вас слева стоит частный дифференциал, который равен частной производной.Так можно что угодно с формулами накрутить по внешней похожести в отдельных компонентах.
Тем более, что строгий вывод динамического градиента показывает совсем иную зависимость, а не то, что Вы нафантазировали. А потом ещё и в Гельмгольца суёте... Вот к чему приводит птичий язык.

[vps137]

Это вот это Вы считаете якобианом, vps137 (№ 4)?
[dmath]\partial \vec A=\frac {\partial (A_1, A_2, A_3)}{\partial (x_1, x_2, x_3)}= \begin{pmatrix}
\partial_1 A_1 & \partial_1 A_2 & \partial_1 A_3 \\
\partial_2 A_1 & \partial_2 A_2 & \partial_2 A_3 \\
\partial_3 A_1 & \partial_3 A_2 & \partial_3 A_3
\end{pmatrix}[/dmath]
А Вы раскрывали этот определитель, чтобы там записать: "След его является дивергенцией вектора А, а недиагональные члены можно представить как ротор вектора А"?
Вот это и есть та самая абстрактная алгебра, основанная на извращении высшей математики.
Я уже не говорю, что у Вас слева стоит частный дифференциал, который равен частной производной.Так можно что угодно с формулами накрутить по внешней похожести в отдельных компонентах.
Тем более, что строгий вывод динамического градиента показывает совсем иную зависимость, а не то, что Вы нафантазировали. А потом ещё и в Гельмгольца суёте... Вот к чему приводит птичий язык.

Нет, слева стоит градиент вектора, из-за которого весь сыр-бор, а справа - матрица Якоби, которую я ошибочно называл якобианом (точнее, так в англоязычной литературе называют и матрицу и детерминант).

Динамический градиент - как я уже отвечал, это, по-видимому, то, что называется полной производной.

[Paraligon]

vps137, самое время высказаться Академику ...

[Dachnik]

Так что же такое градиент вектора?
Направление вектора уже задано, расти в другую сторону он не может.
Например имеем вектор [imath]m\vec v [/imath]

Производная [imath]m\vec a = F [/imath]

Скорость изменения вектора [imath]m\vec v [/imath] пропорционально силе, но причем тут градиент. Или это направление и называть градиентом. Почему и нет.

А вот векторное гравитационное поле.
[dmath]\frac {G_1Mm}{4\pi R^2}[/dmath]
В знаменателе площадь сферы.

Производная [dmath]-\frac {G_1Mm}{2\pi R^3}[/dmath] Размерность плотности
Гравитационная постоянная будет в размерности другой.

[Зиновий]

Нет, слева стоит градиент вектора, из-за которого весь сыр-бор, а справа - матрица Якоби, которую я ошибочно называл якобианом (точнее, так в англоязычной литературе называют и матрицу и детерминант).

Динамический градиент - как я уже отвечал, это, по-видимому, то, что называется полной производной.

Не надо гадать, есть точное определение:
Градиентом называется действие оператора набла на скалярную функцию координат.
Что такое "градиент вектора"?
Как должен действовать оператор набла на вектор, чтобы получился градиент вектора?

[vps137]

Не надо гадать, есть точное определение:
Градиентом называется действие оператора набла на скалярную функцию координат.
Что такое "градиент вектора"?
Как должен действовать оператор набла на вектор, чтобы получился градиент вектора?

Конечно, не надо. В векторном анализе нет такого понятия, как градиент вектора. Если Вы замкнулись на векторах, то тех операций с наблой, которые Вы привели в стартовом посту, более чем достаточно. Однако, если потребуется иметь дело с тензорами, как напр. с тензором электромагнитного поля, то этих операций станет недостаточно, они видоизменятся и их станет значительно больше.

Компоненты тензора электромагнитного поля, правда, можно разбить на две группы и получить классические электрическое и магнитное поля в отдельности, но по своему физическому смыслу это один объект, одно единое тензорное поле.

[Зиновий]

Конечно, не надо. В векторном анализе нет такого понятия, как градиент вектора. Если Вы замкнулись на векторах, то тех операций с наблой, которые Вы привели в стартовом посту, более чем достаточно. Однако, если потребуется иметь дело с тензорами, как напр. с тензором электромагнитного поля, то этих операций станет недостаточно, они видоизменятся и их станет значительно больше.

Компоненты тензора электромагнитного поля, правда, можно разбить на две группы и получить классические электрическое и магнитное поля в отдельности, но по своему физическому смыслу это один объект, одно единое тензорное поле.

Покажите каких операций с вектором набла не хватает для описания векторных и скалярных величин электрических и магнитных полей?

[vps137]

vps137, самое время высказаться Академику ...

Он смотрит и лишь посмеивается над нашими потугами.
Я тут вместо него попробую дать определение.
Градиент каждой компоненты вектора - это вектор. [imath] \nabla A_i=\vec B^i[/imath]. Верхний индекс не означает возведение в степень и контравариантность. Объединение всех компонент и дает Градиент вектора [imath] (Grad \vec A)_{ij}=\vec B^{ij}[/imath].
Таким образом, это тензор второго ранга, который можно представить матрицей Якоби, как это было сделано выше.

Сообщение отредактировал vps137 - 16.2.2018, 14:50

[Зиновий]

Он смотрит и лишь посмеивается над нашими потугами.
Я тут вместо него попробую дать определение.
Градиент каждой компоненты вектора - это вектор. [imath] nabla A_i=\vec B^i[/imath]. Верхний индекс не означает возведение в степень и контравариантность. Объединение всех компонент и дает Градиент вектора [imath] (Grad \vec A)_{ij}=\vec ^{ij}[/imath].
Таким образом, это тензор второго ранга, который можно представить матрицей Якоби, как это было сделано выше.

А "градиент компоненты" это как?
Компонента имеет направление и сама является вектором.
Вы объясняете градиент вектора градиентом вектора.