Что такое число, Нумерология от Пифагора до наших дней Опции

[Academic]

Любопытная работа, я когда-то интересовался моделированием динамики ледников (мат.модель вязко-пластических деформаций в динамике):

https://link.springer.com/article/10.1007/s...p;utm_campaign=

[alal]

Math

It is claimed that an ex-editor of Mathematical Reviews once said that over half of the new theorems published these days are essentially true though the published proofs are false.

[Paraligon]

Коллеги, пришло время на Форуме от слов переходить к делу, ибо, единственный способ изучать и понимать математику это решение задач и ничего иного ...
Вот одна из задач, формулировка которой понятна любому студенту и предлагаю её решить ... чтобы была интрига, я сообщаю что решения я не знаю ...

Будем обозначать через J метризуемый ёж со счётным числом колючек: подробнее здесь

https://ru.m.wikipedia.org/wiki/Ёж_(топология)

Через R обозначим обычную числовую прямую с топологией задаваемой обычной метрикой (модуль разности между числами). Заметим, что RxR это обычная плоскость. Квадрат ежа это JxJ.

Задача: Доказать, что плоскость нельзя вложить как замкнутое множество в квадрат ежа.

P.S. Под вложением плоскости понимается произвольный гомеоморфизм плоскости на свой образ, т.е. взимно-однозначное и взаимно-непрерывное отображение плоскости на свой образ.

Дерзайте!

Картинки можно посмотреть здесь

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Hedgehog_space

P.P.S. Чтобы ощутить интригу задачи: Я знаю как вложить плоскость RxR, в качестве замкнутого подмножества, в четвёртую степень ежа JxJxJxJ ... но не знаю можно ли сделать подобное для куба ежа JxJxJ и для квадрата ежа JxJ, что я и сформулировал в виде задачи ...

Сообщение отредактировал Paraligon - 13.6.2018, 9:52

[Academic]

Коллеги, пришло время на Форуме от слов переходить к делу, ибо, единственный способ изучать и понимать математику это решение задач и ничего иного ...
Вот одна из задач, формулировка которой понятна любому студенту и предлагаю её решить ... чтобы была интрига, я сообщаю что решения я не знаю ...

Будем обозначать через J метризуемый ёж со счётным числом колючек: подробнее здесь

https://ru.m.wikipedia.org/wiki/Ёж_(топология)

Через R обозначим обычную числовую прямую с топологией задаваемой обычной метрикой (модуль разности между числами). Заметим, что RxR это обычная плоскость. Квадрат ежа это JxJ.

Задача: Доказать, что плоскость нельзя вложить как замкнутое множество в квадрат ежа.

P.S. Под вложением плоскости понимается произвольный гомеоморфизм плоскости на свой образ, т.е. взимно-однозначное и взаимно-непрерывное отображение плоскости на свой образ.

Дерзайте!

Картинки можно посмотреть здесь

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Hedgehog_space

P.P.S. Чтобы ощутить интригу задачи: Я знаю как вложить плоскость RxR, в качестве замкнутого подмножества, в четвёртую степень ежа JxJxJxJ ... но не знаю можно ли сделать подобное для куба ежа JxJxJ и для квадрата ежа JxJ, что я и сформулировал в виде задачи ...

- Паралигон, вложение не будет взаимно-однозначным, если сопоставить с четвёртой степенью ежа и двумя квадратами ежа операцию, обратную квадрату (квадрата ежа) - т.е. извлечение корня. Подобное сопоставление нельзя произвести единственным образом.

Иначе можно было бы указать ещё 1 интеграл в задаче о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки, который полностью разрешал бы эту задачу. Об этом написано ещё в книге Арнольда, Козлова, Нейштадта (там отождествляются кинематические проекции развертывания на плоскость при вращении твёрдого тела, ассоциируемые с задачей Пуансо, по-моему). А именно, там возникают ветвления, бифуркации решения (неоднозначности), которые и портят всё дело ...

Сообщение отредактировал Academic - 13.6.2018, 10:47

[Krasotka]

Если подумать и придаться философии, то число - это есть то, что отражает действительность. Иными словами - с помощью чисел можно подвести итог, статистику, высказать вероятность того или иного и тд и тп

[Paraligon]

Krasotka, как говорил мой знакомый академик Павел Сергеевич Александров (лучший друг академика Андрея Николаевича Колмогорова - создателя современной теории вероятности) теория вероятности - это теория неприятности ... шутейно, но очень глубокомысленно, однако ... в ещё большей степени это относится к статистике ...

Теперь Академику (уважаемому слушателю) - ничего не понял в вашем рассуждении, хотя предложенные теоремы о вложении классических эвклидовых пространств в произведение неклассических ежей могут играть существенную роль в новой модели квантовой механики и/или квантовой теории поля ... о пространствах Нёбелинга, как конечномерных аналогах бесконечномерного пространства Гильберта, я помолчу ... вся тема только об этом и говорит ...

Krasotka, действительность отражает Форма, но не Число! Число есть абстракция человеческая от Формы ... ;-)

Сообщение отредактировал Paraligon - 13.6.2018, 19:24

[Anatoliy_]

Math

It is claimed that an ex-editor of Mathematical Reviews once said that over half of the new theorems published these days are essentially true though the published proofs are false.

Отуда же:

Conclusion. From all of this I am forced to conclude both that mathematics is unreasonably effective and that all of the explanations I have given when added together simply are not enough to explain what I set out to account for. I think that we-meaning you, mainly-must continue to try to explain why the logical side of science-meaning mathematics, mainly-is the proper tool for exploring the universe as we perceive it at present. I suspect that my explanations are hardly as good as those of the early Greeks, who said for the material side of the question that the nature of the universe is earth, fire, water, and air. The logical side of the nature of the universe requires further exploration.

Жирный курсив мой.

[Academic]

Paraligon, если коротко: - предложенный Вами способ вложения не будет взаимно-однозначным, это достаточно очевидно (по причинам, указанным выше - см. также контр-пример из области механики).

Сообщение отредактировал Academic - 14.6.2018, 1:18

[vps137]

Коллеги, пришло время на Форуме от слов переходить к делу, ибо, единственный способ изучать и понимать математику это решение задач и ничего иного ...
Вот одна из задач, формулировка которой понятна любому студенту и предлагаю её решить ... чтобы была интрига, я сообщаю что решения я не знаю ...

Будем обозначать через J метризуемый ёж со счётным числом колючек: подробнее здесь

https://ru.m.wikipedia.org/wiki/Ёж_(топология)

Через R обозначим обычную числовую прямую с топологией задаваемой обычной метрикой (модуль разности между числами). Заметим, что RxR это обычная плоскость. Квадрат ежа это JxJ.

Задача: Доказать, что плоскость нельзя вложить как замкнутое множество в квадрат ежа.

P.S. Под вложением плоскости понимается произвольный гомеоморфизм плоскости на свой образ, т.е. взимно-однозначное и взаимно-непрерывное отображение плоскости на свой образ.

Дерзайте!

Картинки можно посмотреть здесь

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Hedgehog_space

P.P.S. Чтобы ощутить интригу задачи: Я знаю как вложить плоскость RxR, в качестве замкнутого подмножества, в четвёртую степень ежа JxJxJxJ ... но не знаю можно ли сделать подобное для куба ежа JxJxJ и для квадрата ежа JxJ, что я и сформулировал в виде задачи ...

Для ежа J(2), как мне кажется, такое вложение возможно.
На картинке радиус-вектор r, принадлежащий RxR, взаимно-однозначно отображается на радиус-вектор а, приндлежащий квадрату ежа J(2), если в качестве меры для него взять [imath]arctan(\alpha)[/imath]

[Paraligon]

Paraligon, если коротко: - предложенный Вами способ вложения не будет взаимно-однозначным, это достаточно очевидно (по причинам, указанным выше - см. также контр-пример из области механики).

О каком вложении вы говорите? Вложение RxR в JxJxJxJ ?

Для ежа J(2), как мне кажется, такое вложение возможно.
На картинке радиус-вектор r, принадлежащий RxR, взаимно-однозначно отображается на радиус-вектор а, приндлежащий квадрату ежа J(2), если в качестве меры для него взять [imath]arctan(\alpha)[/imath]

Валера, J(2) это ёж с двумя иголками? Я правильно понял?

[Academic]

Уточнение. Я говорю о поставленной Вами задаче:

Задача: Доказать, что плоскость нельзя вложить как замкнутое множество в квадрат ежа.

- поэтому Ваш вопрос можно переадресовать обратно - о каком вложении Вы говорите в поставленной Вами задаче?

И, кстати, где Вы пропадали так долго? (я уж грешным делом подумал что Аллах призвал Вас к себе ... заниматься вопросами Числа, преподавать гуриям в их свободное от основной работы время ... ш-ш-ш ... )

[vps137]

О каком вложении вы говорите? Вложение RxR в JxJxJxJ ?


Валера, J(2) это ёж с двумя иголками? Я правильно понял?

Да. Я старался пользоваться определениями, которые Вы дали. Там сказано, что J(2) - это отрезок. Колючесть такого плешивого ёжика равна 2. Вложение RxR в квадрат ежа JxJ.

И, кстати, где Вы пропадали так долго? (я уж грешным делом подумал что Аллах призвал Вас к себе ... заниматься вопросами Числа, преподавать гуриям в их свободное от основной работы время ... ш-ш-ш ... )

Попробую угадать. Прежде чем отправиться к праотцам, правоверный обязан совершить шадж. Как раз месяц рамадан. Так что, думаю, Предпоследний (так кажется переводится паралигон) был в интересном путешествии.

[Anatoliy_]

Academic, Вы случайно не знакомы с Вашим тёзкой Нефедовым С.Н., он тоже в МГУ? Меня заинтересовало его исследование полоидально-тороидального звездного динамо и дело в том, что в Нантском университете (Франция) работают над подобной полоидально-тороидальной теорией геодинамо жидкого внешнего ядра Земли.

[Academic]

Academic, Вы случайно не знакомы с Вашим тёзкой Нефедовым С.Н., он тоже в МГУ? Меня заинтересовало его исследование полоидально-тороидального звездного динамо и дело в том, что в Нантском университете (Франция) работают над подобной полоидально-тороидальной теорией геодинамо жидкого внешнего ядра Земли.

- к сожалению, не знаком. Но думаю что структура магнитного поля во многих двойных звёздах (впрочем, и в одиночных также) значительно сложнее чем примитивная модель деления на полоидальную и тороидальную составляющие. Которая работает, кстати, также лишь в определенных пределах (о чем специалисты, работающие с данной моделью, должны знать ... а не просто в это свято верить, как и в существование неких "магнитных линий").

[Paraligon]

Отвечаю
каждому последовательно ...

Валере - да RxR вкладывается в обычный квадрат [0, 1]х[0, 1], например, как квадрат без границы (0, 1)х(0, 1), но никогда RxR не может быть вложено как замкнутое множество в обычный квадрат! Знаете почему? Поскольку любое замкнутое множество квадрата есть компакт, а RxR не является компактом!

Академику - вложение есть гомеоморфизм на свой образ. Вложений RxR в квадрат ежа JxJ сколько угодно, например, таких как я указал Валере выше, но для всех известных мне вложений, образ плоскости при таких вложениях НЕ является ЗАМКНУТЫМ множеством в квадрате ежа JxJ ... осталась самая малость - доказать это ... могу даже предложить несколько идей как это можно попробовать доказать ... например, можно рассмотреть единичную сетку на плоскости

ZxR U RxZ здесь Z это целые числа

Это замкнутое множество плоскости RxR.

А вот в кадрате ежа JxJ замкнутого множества гомеорорфного единичной сетке плоскости ... нет ... но это надо доказать!

Есть и другие варианты более хитрые ...

Anatoliy_, теорией динамо много занимался Арнольд и его школа, как минимум, этому посвящена целая глава в его книге "Топологические методы гидродинамики" ... посмотрите там.

И наконец, известный факт, который доказал первым Виктор Кли (V.Klee) в 1960 году:

Прямая R вкладывается в квадрат ежа JxJ как замкнутое множество!
Отсюда сразу следует упоминаемый мной факт, что
плоскость RxR вкладывается в четвёртую степень ежа JxJxJxJ как замкнутое множество ...

Ну, а задача моя пока остаётся нерешённой ...

Сообщение отредактировал Paraligon - 14.6.2018, 17:20

[vps137]

Валере - да RxR вкладывается в обычный квадрат [0, 1]х[0, 1], например, как квадрат без границы (0, 1)х(0, 1), но никогда RxR не может быть вложено как замкнутое множество в обычный квадрат! Знаете почему? Поскольку любое замкнутое множество квадрата есть компакт, а RxR не является компактом!

Интернет быстро помог найти ответ.

Вещественная проективная плоскость является компактификацией Евклидовой плоскости, для стандартного вложения.

Я, правда, не совсем понял как это делается. Но зато там нашёл пример. [imath] R^2 \cup \{\infty\}[/imath] гомеомеорфно 2-сфере.

[Paraligon]

vps137, любое локально компактное пространство компактифицируется одной (бесконечно удалённой) точкой. И это однозначная характеристика локально компактных пространств!

Заметим, что ёж (с бесконечным числом колючек) и квадрат ежа НЕ являются локально компактными пространствами! Другие примеры не локально компактных пространств - бесконечномерное гильбертово пространство, пространство Нёбелинга и т.п.

Задача, которую я поставил выше, оригинальная ... в интернете и в литературе она не описана, однако ... иначе, стоило бы здесь огород городить ...

Сообщение отредактировал Paraligon - 15.6.2018, 5:09

[Anatoliy_]

- к сожалению, не знаком. Но думаю что структура магнитного поля во многих двойных звёздах (впрочем, и в одиночных также) значительно сложнее чем примитивная модель деления на полоидальную и тороидальную составляющие. Которая работает, кстати, также лишь в определенных пределах (о чем специалисты, работающие с данной моделью, должны знать ... а не просто в это свято верить, как и в существование неких "магнитных линий").

Anatoliy_, теорией динамо много занимался Арнольд и его школа, как минимум, этому посвящена целая глава в его книге "Топологические методы гидродинамики" ... посмотрите там.

Спасибо обоим... ну заклинило меня на этих "динамо". Особенно интересна регулярно-периодичная магнитная переполюсовка нашего жёлтого карлика, но это не для темы о Числах.

[vps137]

vps137, любое локально компактное пространство компактифицируется одной (бесконечно удалённой) точкой. И это однозначная характеристика локально компактных пространств!

Заметим, что ёж (с бесконечным числом колючек) и квадрат ежа НЕ являются локально компактными пространствами! Другие примеры не локально компактных пространств - бесконечномерное гильбертово пространство, пространство Нёбелинга и т.п.

Задача, которую я поставил выше, оригинальная ... в интернете и в литературе она не описана, однако ... иначе, стоило бы здесь огород городить ...

Мне кажется, компактификацию евклидова пространства надо делать естественным образом. Не добавляя того, чего нет - бесконечности, а заменяя плоское пространство искривлённым.

Напр. в модели 4D Вселенной, где Вселенная - это 4-шар, евклидово пространство R^3 можно пририсовать в каждой точке её 3D гиперповерхности как касательное пространство. Оно будет лишь локально соответствовать гиперповерхности, которая является по смыслу модели реальной, является нашим Миром. Он, естественно, компактен. Поэтому вместо RxR и в Вашей задаче следует взять обычную 2-сферу. А как раскроить сферу на квадрате ежа J(2), т.е. построить гомеоморфизм, математики и картографы уже давно придумали несколькими способами.
Правда, здесь выпадает одна точка, полюс.

Сообщение отредактировал vps137 - 15.6.2018, 19:04

[Paraligon]

vps137, Валера, постановка задачи в ваших терминах давно известна и решена, однако ...

В моей постановке важно рассматривать бесконечные ежи! Для конечных ежей всё давно решено!