Версия для печати темы

Нажмите сюда для просмотра этой темы в обычном формате

Форумы Боевого Народа _ Наука и технологии _ Вопрос к математикам

Автор: Зиновий 29.4.2019, 16:40

Для описания физических процессов происходящих в переменном во времени электрическом поле плоского воздушного конденсатора, исходя из соображения симметрии уравнений, Максвелл ввёл понятие "токи электрического смещения" определив их в след. виде:
jсм = ε0∂(-gradφ)/∂t.
Где:
jсм - вектор плотности тока смещения между пластинами плоского воздушного конденсатора;
ε0 - диэлектрическая проницаемость вакуума;
-gradφ - вектор напряжённости электрического поля между пластинами плоского воздушного конденсатора.
В результате чего первое уравнение теории электромагнетизма Максвелла для плоского воздушного электрического конденсатора приобрело след. вид:
rotB0ε0∂(-gradφ)/∂t,
или что тоже самое:
rotB =1/с2∂(-gradφ)/∂t. (1)
Где:
B - вектор магнитной индукции;
с - скорость света в вакууме.
В силу коммутативности частных производных по пространству и по времени перепишем уравнение (1) след. образом:
rotB =1/с2grad(-∂φ/∂t) (2)
Поскольку входящая в уравнение (2) скорость света является константой внесём 1/с2 как множитель
к частной производной по времени от электрического потенциала φ и в результате получаем след. окончательное выражение:
rotB = grad{1/с2(-∂φ/∂t)}. (3)
Докажем небольшую теорему.
Если ротор некоего векторного поля F по всему пространству поля включая его границы равен градиенту некоего поля ∂Ψ/∂t (т.е. равенство тождественное), то векторное поле F и поле градиента ∂Ψ/∂t оба равны нулю тождественно.

Доказательство
Дано:
rotF ≡ grad(∂Ψ/∂t); (4)
Подействуем оператором "rot" на выражение (4).
Получаем:
rotrotF ≡ rotgrad(∂Ψ/∂t).
Но ротор градиента есть тождественный ноль и след. ротор ротора вектора F тоже тождественный ноль, что означает тождественное отсутствие в пространстве векторного поля F возбудителей поля F и следовательно поле F тождественно равно нулю.
Аналогично подействуем оператором "div" на выражение (4).
Получаем:
divrotF ≡ divgrad(∂Ψ/∂t).
Но дивергенция ротора есть тождественный ноль, а след. и дивергенция градиента частной производной по времени есть тоже тождественный ноль.
Т.е. во всём пространстве поля градиент ∂Ψ/∂t нет источников поля градиента ∂Ψ/∂t и следовательно поле градиент ∂Ψ/∂t тождественно равно нулю.
Резюме
Из выражения (4), а следовательно и из выражения (3) вытекает тождественное равенство нулю магнитного поля якобы возбуждаемого, по утверждению Максвелла, токами смещения в переменном по времени электрическом поле плоского воздушного конденсатора.
Какие возражения будут у математиков?

Автор: Зиновий 2.5.2019, 15:56

Цитата(Зиновий @ 29.4.2019, 16:40) *
................................................................................
......................... (2)
Поскольку входящая в уравнение (2) скорость света является константой внесём 1/с2 как множитель
к частной производной по времени от электрического потенциала φ и в результате получаем след. окончательное выражение:
rotB = grad{1/с2(-∂φ/∂t)}. (3)
Докажем небольшую теорему.
Если ротор некоего векторного поля F по всему пространству поля включая его границы равен градиенту некоего поля ∂Ψ/∂t (т.е. равенство тождественное), то векторное поле F и поле градиента ∂Ψ/∂t оба равны нулю тождественно.

Доказательство
Дано:
rotF ≡ grad(∂Ψ/∂t); (4)
Подействуем оператором "rot" на выражение (4).
Получаем:
rotrotF ≡ rotgrad(∂Ψ/∂t).
Но ротор градиента есть тождественный ноль и след. ротор ротора вектора F тоже тождественный ноль, что означает тождественное отсутствие в пространстве векторного поля F возбудителей поля F и следовательно поле F тождественно равно нулю.
Аналогично подействуем оператором "div" на выражение (4).
Получаем:
divrotF ≡ divgrad(∂Ψ/∂t).
Но дивергенция ротора есть тождественный ноль, а след. и дивергенция градиента частной производной по времени есть тоже тождественный ноль.
Т.е. во всём пространстве поля градиент ∂Ψ/∂t нет источников поля градиента ∂Ψ/∂t и следовательно поле градиент ∂Ψ/∂t тождественно равно нулю.
Резюме
Из выражения (4), а следовательно и из выражения (3) вытекает тождественное равенство нулю магнитного поля якобы возбуждаемого, по утверждению Максвелла, токами смещения в переменном по времени электрическом поле плоского воздушного конденсатора.
Какие возражения будут у математиков?
Удивляет молчание математиков...
Им что неведомо что:
ротор градиента тождественно равен нулю, или что дивергенция ротора тождественно равна нулю?
Им неведомы теоремы о роторе, градиенте и дивергенции?
Ну тогда ознакомьтесь с этими важнейшими теоремами классического векторного анализа, например, по книге Лаптев Г.Ф. "Элементы векторного исчисления", или "Справочник по математике" Г.Корн и Т.Корн.
Складывается впечатление, что участвующие в форуме якобы "математики" на самом деле таковыми не являются и за достоверность своих сообщений не несут никакой ответственности...

Автор: Paraligon 3.5.2019, 8:26

Конечно, из того, что rotrotF = 0 НЕ следует, что F=0.
Чтобы убедиться в этом достаточно взять любое безвихревое ненулевое поле F. Такие ненулевые поля, несомненно существуют, для которых rotF=0, а значит и rotrotF = 0.

Аналогично, из того, что divgradV = 0 НЕ следует, что V=0.
Чтобы убедиться в этом достаточно взять любую гармоническую ненулевую функцию V. Такие ненулевые гармонические функции несомненно существуют, для которых divgradV = ΔV = 0. Δ - Оператор Лапласа.

Автор: Зиновий 3.5.2019, 13:53

Цитата(Paraligon @ 3.5.2019, 8:26) *
Конечно, из того, что rotrotF = 0 НЕ следует, что F=0.
Чтобы убедиться в этом достаточно взять любое безвихревое ненулевое поле F. Такие ненулевые поля, несомненно существуют, для которых rotF=0, а значит и rotrotF = 0.

Аналогично, из того, что divgradV = 0 НЕ следует, что V=0.
Чтобы убедиться в этом достаточно взять любую гармоническую ненулевую функцию V. Такие ненулевые гармонические функции несомненно существуют, для которых divgradV = ΔV = 0. Δ - Оператор Лапласа.
Уважаемый Paraligon, благодарю за ответ строго соответствующий общепринятому, но ошибочному мнению, получившему, к сожалению, весьма широкое распространение.
Достаточно вспомнить основную задачу классической теории поля и её формальную запись в виде интегралов определяющих скалярный φ и векторный А потенциалы, чтобы понять, что решением поля Лапласа по всему пространству поля будет тождественный ноль и производные от тождественного нуля есть тоже ноль тождественно.
Т.е. все математические преобразования при решении полевых задач в рамках основной задачи классической теории поля имеют тождественный характер и полученные решения однозначны.
Приложения
Цитата
Основная задача классической теории поля
Прямая задача

Определение физического поля распределённого в пространстве по заданному распределению источников (возбудителей) поля размещённых в этом пространстве включая его границы.
Обатная задача
Определение размещения источников (возбудителей) физического поля в пространстве по заданному распределения поля в этом пространстве.
Какие будут возражения?

Автор: Paraligon 3.5.2019, 18:23

Цитата(Зиновий @ 3.5.2019, 15:53) *
Уважаемый Paraligon, благодарю за ответ строго соответствующий общепринятому, но ошибочному мнению, получившему, к сожалению, весьма широкое распространение.
Достаточно вспомнить основную задачу классической теории поля и её формальную запись в виде интегралов определяющих скалярный φ и векторный А потенциалы, чтобы понять, что решением поля Лапласа по всему пространству поля будет тождественный ноль и производные от тождественного нуля есть тоже ноль тождественно.
Т.е. все математические преобразования при решении полевых задач в рамках основной задачи классической теории поля имеют тождественный характер и полученные решения однозначны.
Приложения
Какие будут возражения?


Всё очень просто, в том числе в части вашей фразы: " ... в этом пространстве включая его границы".
Задача рассматривается (по-видимому, и для конденсатора) в области, которая не совпадает со всем пространством и эта область имеет границу, на которой и лежат источники поля. Это с одной стороны.
С другой стороны, если вас интересуют физический осмысленные поля, то надо наложить определённые требования на эти поля, например, их поведение на бесконечности (когда аргумент стремиться к бесконечно удалённой точке). Это относится и к поведению поля пр стремлении аргумента к границе области. Такие ограничения, с необходимостью присутствуют и в уравнения Максвелла и любых других уравнениях математической физики. Т.е. я хочу сказать, что содержательным является е только формальное (формульное) уравнение, но и все все условия (граничные, краевые, степень гладкости, поведение на бесконечности и т.п.) с необходимостью являются неотъелемой частью уравнения! Так что поведение градиентов гармонических функций существенно зависит от количества "дырок" (когомологий) в рассматриваемой области пространства!


Автор: Зиновий 3.5.2019, 20:26

Цитата(Paraligon @ 3.5.2019, 18:23) *
Всё очень просто, в том числе в части вашей фразы: " ... в этом пространстве включая его границы".
Задача рассматривается (по-видимому, и для конденсатора) в области, которая не совпадает со всем пространством и эта область имеет границу, на которой и лежат источники поля. Это с одной стороны.
С другой стороны, если вас интересуют физический осмысленные поля, то надо наложить определённые требования на эти поля, например, их поведение на бесконечности (когда аргумент стремиться к бесконечно удалённой точке). Это относится и к поведению поля пр стремлении аргумента к границе области. Такие ограничения, с необходимостью присутствуют и в уравнения Максвелла и любых других уравнениях математической физики. Т.е. я хочу сказать, что содержательным является е только формальное (формульное) уравнение, но и все все условия (граничные, краевые, степень гладкости, поведение на бесконечности и т.п.) с необходимостью являются неотъелемой частью уравнения! Так что поведение градиентов гармонических функций существенно зависит от количества "дырок" (когомологий) в рассматриваемой области пространства!
Всё о чём Вы пишите учтено и оговорено в теореме единственности векторного анализа - "Теорема Гельмгольца":
http://doctorovich.info/forum/viewtopic.php?f=3&t=6&sid=44f6206ced81b1d6d9a77a73b36c6354
Определение понятия "Физическое поле" я ранее изложил в соответствующей теме.
Цитата
Физическое поле
- определение
Физическим полем называется пространственное распределение какой-либо физической величины отвечающее требованиям однозначности и непрерывности в каждой точке пространства и обращающееся в нуль на бесконечности.
Какие ещё остались возражения?

Автор: Зиновий 5.5.2019, 14:11

Продолжение
Также хочу обратить ваше пристальное (!!!) внимание на следующую информацию:

Цитата
СПРАВОЧНИК по МАТЕМАТИКЕ для научных работников и инженеров
Г.Корн и Т.Корн
ИЗДАТЕЛЬСТВО "НАУКА"
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1978
ГЛАВА 5
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
5.7 Отыскание векторного поля по его ротору и дивергенции
5.7-3 Отыскание векторного поля по его ротору и дивергенции

Автор: vps137 6.5.2019, 3:56

Цитата(Зиновий @ 29.4.2019, 18:40) *
Докажем небольшую теорему.
Если ротор некоего векторного поля F по всему пространству поля включая его границы равен градиенту некоего поля ∂Ψ/∂t (т.е. равенство тождественное), то векторное поле F и поле градиента ∂Ψ/∂t оба равны нулю тождественно.

Доказательство
Дано:
rotF ≡ grad(∂Ψ/∂t); (4)
Подействуем оператором "rot" на выражение (4).
Получаем:
rotrotF ≡ rotgrad(∂Ψ/∂t).
Но ротор градиента есть тождественный ноль и след. ротор ротора вектора F тоже тождественный ноль, что означает тождественное отсутствие в пространстве векторного поля F возбудителей поля F и следовательно поле F тождественно равно нулю.
Аналогично подействуем оператором "div" на выражение (4).
Получаем:
divrotF ≡ divgrad(∂Ψ/∂t).
Но дивергенция ротора есть тождественный ноль, а след. и дивергенция градиента частной производной по времени есть тоже тождественный ноль.
Т.е. во всём пространстве поля градиент ∂Ψ/∂t нет источников поля градиента ∂Ψ/∂t и следовательно поле градиент ∂Ψ/∂t тождественно равно нулю.
Резюме
Из выражения (4), а следовательно и из выражения (3) вытекает тождественное равенство нулю магнитного поля якобы возбуждаемого, по утверждению Максвелла, токами смещения в переменном по времени электрическом поле плоского воздушного конденсатора.
Какие возражения будут у математиков?

Согласен с мнением Паралигона. Можно добавить также, что значения градиентов, дивергенций и роторов на границе ввиду разрывности функций следует определять через т.н. поверхностные градиенты, дивергенции и роторы. Т.е. необходимо знать форму границы, направление ее нормалей в каждой точке. Об этом можно подробнее посмотреть у тех же Корнов.

Автор: Зиновий 6.5.2019, 11:35

Цитата(vps137 @ 6.5.2019, 3:56) *
Согласен с мнением Паралигона. Можно добавить также, что значения градиентов, дивергенций и роторов на границе ввиду разрывности функций следует определять через т.н. поверхностные градиенты, дивергенции и роторы. Т.е. необходимо знать форму границы, направление ее нормалей в каждой точке. Об этом можно подробнее посмотреть у тех же Корнов.
В этом Вы ошибаетесь.
Просто на границе поля источники (возбудители) поля "div" и "rot" становятся отличными от нуля.
Никакого разрыва полей φ и А и их производных на границе источников не происходит.
См. теорему Остроградского-Гаусса и теорему Стокса.

Автор: vps137 6.5.2019, 13:55

Цитата(Зиновий @ 6.5.2019, 13:35) *
В этом Вы ошибаетесь.
Просто на границе поля источники (возбудители) поля "div" и "rot" становятся отличными от нуля.
Никакого разрыва полей φ и А и их производных на границе источников не происходит.
См. теорему Остроградского-Гаусса и теорему Стокса.

Я говорил о вашей теореме. В ней при доказательстве вы использовали, что rot grad φ=0. Это выражение справедливо, если скалярное поле φ везде дифференцируемо в данной области. На границе это условие в общем случае на соблюдается, о чём и было моё замечание.

Автор: Зиновий 6.5.2019, 15:50

Цитата(vps137 @ 6.5.2019, 13:55) *
Я говорил о вашей теореме. В ней при доказательстве вы использовали, что rot grad φ=0. Это выражение справедливо, если скалярное поле φ везде дифференцируемо в данной области. На границе это условие в общем случае на соблюдается, о чём и было моё замечание.
Зачем повторять зазубренную глупость, когда очевидно, что:
1. rotgrad ≡ 0 не зависимо от φ,
т.к. rotgrad ≡ [ × ] ≡ 0.
В чём Вы легко можете убедиться расписав эту операцию в любой системе координат, как с φ, так и без φ.
2. Обязательным условием накладываемым на функцию потенциалов является как минимум дважды дифференцируемость их.
Ни о каких скачках или разрывах потенциалов и их производных, на любой границе и речи быть не может.
Вот почему академики, читая Вам лекции по теории поля, не давали Вам доказательно выводить все математические положения, а заставляли зазубривать только то, что они считали нужным.

Автор: vps137 6.5.2019, 16:35

Цитата(Зиновий @ 6.5.2019, 17:50) *
Зачем повторять зазубренную глупость, когда очевидно, что:
1. rotgrad ≡ 0 не зависимо от φ,
т.к. rotgrad ≡ [ × ] ≡ 0.
В чём Вы легко можете убедиться расписав эту операцию в любой системе координат, как с φ, так и без φ.
2. Обязательным условием накладываемым на функцию потенциалов является как минимум дважды дифференцируемость их.
Ни о каких скачках или разрывах потенциалов и их производных, на любой границе и речи быть не может.
Вот почему академики, читая Вам лекции по теории поля, не давали Вам доказательно выводить все математические положения, а заставляли зазубривать только то, что они считали нужным.

Не выдумывайте, никто меня не заставлял зазубривать - разве что по истмату.

Системы координат тут не при чём.
rot grad применяется к функции, а не к пустому месту. От поведения функции, от того, дифференцируема она или нет, это выражение зависит.

Автор: Зиновий 6.5.2019, 17:35

Цитата(vps137 @ 6.5.2019, 16:35) *
Не выдумывайте, никто меня не заставлял зазубривать - разве что по истмату.

Системы координат тут не при чём.
rot grad применяется к функции, а не к пустому месту. От поведения функции, от того, дифференцируема она или нет, это выражение зависит.
Ранее я уже указывал Вам на то, что одно из обязательных требований к потенциалам является их как минимум дважды дифференцируемость.
(У Вас плохо с памятью?)
Вот и распишите для произвольной функции φ операцию "rotgradφ" и убедитесь в том, что rotgradφ ≡ 0 независимо от φ.
P.S.
Надеюсь вы понимаете разницу между тождеством "≡" и равенством "="?

Автор: vps137 6.5.2019, 18:45

Цитата(Зиновий @ 6.5.2019, 19:35) *
Ранее я уже указывал Вам на то, что одно из обязательных требований к потенциалам является их как минимум дважды дифференцируемость.
(У Вас плохо с памятью?)
Вот и распишите для произвольной функции φ операцию "rotgradφ" и убедитесь в том, что rotgradφ ≡ 0 независимо от φ.
P.S.
Надеюсь вы понимаете разницу между тождеством "≡" и равенством "="?

Каверзный вопрос. С памятью все в порядке.
Я вам о том же и говорю - на границе функция может быть недифференцируемой из-за отсутствия непрерывности, что является необходимым условием дифференцируемости. Ведь на границе, как известно, разрыв у функций - обычное дело.

Но я ещё раз прочитал вашу теорему. В ней сказано, что градиент существует и на границе. Значит, функция, от которой берется градиент, всюду гладкая. Так что моё замечание можно не принимать во внимание. Как там с этой теоремой для многосвязных областей я не берусь комментировать.

Автор: Зиновий 6.5.2019, 21:17

Цитата(vps137 @ 6.5.2019, 18:45) *
Каверзный вопрос. С памятью все в порядке.
Я вам о том же и говорю - на границе функция может быть недифференцируемой из-за отсутствия непрерывности, что является необходимым условием дифференцируемости. Ведь на границе, как известно, разрыв у функций - обычное дело.
Да, но не в случае потенциалов.

Цитата(vps137 @ 6.5.2019, 18:45) *
Но я ещё раз прочитал вашу теорему (теорему Г.Гельмгольца - комментарий Зиновия). В ней сказано, что градиент существует и на границе. Значит, функция, от которой берется градиент, всюду гладкая. Так что моё замечание можно не принимать во внимание. Как там с этой теоремой для многосвязных областей я не берусь комментировать.
Ну и на том спасибо.
Подождём, что ответит Paraligon...

Автор: vps137 7.5.2019, 6:22

Цитата(Зиновий @ 6.5.2019, 23:17) *
Ну и на том спасибо.
Подождём, что ответит Paraligon...

Теорема Гельмгольца всё-таки о другом.

Автор: Зиновий 7.5.2019, 11:44

Цитата(vps137 @ 7.5.2019, 6:22) *
Теорема Гельмгольца всё-таки о другом.
Это конечно же теорема Гельмгольца "Определение векторного поля по дивергенции и ротору".
Я только использовал её частный случай при тождественном равенству нулю источников (возбудителей) поля по всему бесконечному пространству.

Автор: Зиновий 15.5.2019, 9:42

Цитата(vps137 @ 6.5.2019, 18:45) *
.............................................................................
Но я ещё раз прочитал вашу теорему. В ней сказано, что градиент существует и на границе. Значит, функция, от которой берется градиент, всюду гладкая. Так что моё замечание можно не принимать во внимание. Как там с этой теоремой для многосвязных областей я не берусь комментировать.
Учитывая отсутствие каких-либо дополнительных краевых условий, которые могли бы нарушить условие односвязности поля плотности токов смещения плоского воздушного электрического конденсатора и молчание участника Паралигон приходим к выводу, что введённое Максвеллом утверждение о якобы возбуждении токами смещения в плоском воздушном электрическом конденсаторе магнитного поля ошибочно, а след. ошибочна и сама его гипотеза электромагнетизма.
Что и получило прямое экспериментальное подтверждение изложенное в теме "Закон полного тока не "Закон", а частный случай".

Автор: Paraligon 22.5.2019, 18:36

С точки зрения математики, вся теория поля сводится к двум соотношениям в некоторой области:

v = du

dd = 0

В первом случае, поле u называется потенциалом (различают скалярные и векторные потенциалы) поля v в заданной области,
а задача существования потенциалов, действительно Зиновий прав, является основной задачей теории поля.

Используя второе равенство, которое читается граница границы равна нулю, мы сразу находим необходимое условие существования потенциала у поля. Достаточно подействовать оператором d на первое равенство:

dv = ddu = 0, т.е.

для заданного поля v необходимым условием существования потенциала u является равенство dv = 0

Спрашивается, когда это условие dv = 0 будет достаточным условием существования потенциала u, т.е. существования такого поля u, что v = du?

Математики выяснили, что ответ на последний вопрос существенно зависит от ТОПОЛОГИИ (ФОРМЫ) области в которой решается эта задача!

Математики называют оператор d граничным оператором (точнее кограничным, ну не будем делать для простоты различия).
Физики называют оператор d по-разному, то дивергенцией, то ротором, то градиентом.

Собственно говоря и всё! Чтобы двигаться дальше необходимо описать ТОПОЛОГИЮ области посредством различных инвариантов, например, модно говорить об односвязных областях, областях с дырками, областях с границами и т.п.
Дополнительно, могут возникнуть ограничения на классы рассматриваемых полей, как то, непрерывные, гладкие, кусочно-гладкие, бесконечно гладкие, аналитические, гармонические и т.п. Источники поля будут лежать на ГРАНИЦЕ области. Итак, кроме граничного ОПЕРАТОРА имеет место быть ещё ГРАНИЦА области. Между этими границами (чтобы их различать и используют приставку "ко") есть некоторая связь (двойственность), которую математики называют формулой Стокса, а физики формулой Гаусса (Стокса).


Автор: vps137 23.5.2019, 4:46

Цитата(Paraligon @ 22.5.2019, 20:36) *
С точки зрения математики, вся теория поля сводится к двум соотношениям в некоторой области:

v = du

dd = 0

В первом случае, поле u называется потенциалом (различают скалярные и векторные потенциалы) поля v в заданной области,
а задача существования потенциалов, действительно Зиновий прав, является основной задачей теории поля.

Используя второе равенство, которое читается граница границы равна нулю, мы сразу находим необходимое условие существования потенциала у поля. Достаточно подействовать оператором d на первое равенство:

dv = ddu = 0, т.е.

для заданного поля v необходимым условием существования потенциала u является равенство dv = 0

Спрашивается, когда это условие dv = 0 будет достаточным условием существования потенциала u, т.е. существования такого поля u, что v = du?

Математики выяснили, что ответ на последний вопрос существенно зависит от ТОПОЛОГИИ (ФОРМЫ) области в которой решается эта задача!

Математики называют оператор d граничным оператором (точнее кограничным, ну не будем делать для простоты различия).
Физики называют оператор d по-разному, то дивергенцией, то ротором, то градиентом.

Собственно говоря и всё! Чтобы двигаться дальше необходимо описать ТОПОЛОГИЮ области посредством различных инвариантов, например, модно говорить об односвязных областях, областях с дырками, областях с границами и т.п.
Дополнительно, могут возникнуть ограничения на классы рассматриваемых полей, как то, непрерывные, гладкие, кусочно-гладкие, бесконечно гладкие, аналитические, гармонические и т.п. Источники поля будут лежать на ГРАНИЦЕ области. Итак, кроме граничного ОПЕРАТОРА имеет место быть ещё ГРАНИЦА области. Между этими границами (чтобы их различать и используют приставку "ко") есть некоторая связь (двойственность), которую математики называют формулой Стокса, а физики формулой Гаусса (Стокса).

В этой связи интересно то, что на границе могут быть гладкие поля только для одномерных сфер (для окружности), для трехмерных (т.е. для 4D!) и для семимерных. Это если верить https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%A4%D1%80%D0%BE%D0%B1%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%83%D1%81%D0%B0#%D0%93%D0%B8%D0%BF%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%B7%D0%B0_%D0%A4%D1%80%D0%BE%D0%B1%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%83%D1%81%D0%B0 Но, наверное, для всех нечетных сфер?

Автор: Paraligon 23.5.2019, 5:01

Цитата(vps137 @ 23.5.2019, 6:46) *
В этой связи интересно то, что на границе могут быть гладкие поля только для одномерных сфер (для окружности), для трехмерных (т.е. для 4D!) и для семимерных. Это если верить https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%A4%D1%80%D0%BE%D0%B1%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%83%D1%81%D0%B0#%D0%93%D0%B8%D0%BF%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%B7%D0%B0_%D0%A4%D1%80%D0%BE%D0%B1%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%83%D1%81%D0%B0 Но, наверное, для всех нечетных сфер?

Валера, вы говорите о касательных не нулевых полях на сферах. Это теорема о "еже". Нечётномерную сферу причесать мжно, а чётномерную сферу нельзя - всегда будет макушка ...
Сфера является топологической группой только в размерностях 1, 3 и 7 ...

Автор: vps137 23.5.2019, 15:17

Цитата(Paraligon @ 23.5.2019, 7:01) *
Валера, вы говорите о касательных не нулевых полях на сферах. Это теорема о "еже". Нечётномерную сферу причесать мжно, а чётномерную сферу нельзя - всегда будет макушка ...
Сфера является топологической группой только в размерностях 1, 3 и 7 ...

Последнее предложение для меня новость. Нашёл его https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=3&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwih8Ne2z7HiAhWB6aYKHWT7B8gQFjACegQIARAC&url=http%3A%2F%2Fwww.raczar.es%2Fwebracz%2FImageServlet%3Fmod%3Dpublicaciones%26subMod%3Drevistas%26car%3Drevista62%26archivo%3Dp075.pdf&usg=AOvVaw17_Wnk-cj0mOMsz0PUcQDJ
Интересно. Попытаюсь разобраться.

Автор: Зиновий 23.5.2019, 16:49

Цитата(Paraligon @ 22.5.2019, 18:36) *
С точки зрения математики, вся теория поля сводится к двум соотношениям в некоторой области:

v = du

dd = 0

В первом случае, поле u называется потенциалом (различают скалярные и векторные потенциалы) поля v в заданной области,
а задача существования потенциалов, действительно Зиновий прав, является основной задачей теории поля.
Не большое уточнение.
Прав Г.Гельмгольц - автор классической теории поля.
Я только применяю её с учётом её фундаментальных теорем.

Цитата(Paraligon @ 22.5.2019, 18:36) *
Используя второе равенство, которое читается граница границы равна нулю, мы сразу находим необходимое условие существования потенциала у поля. Достаточно подействовать оператором d на первое равенство:

dv = ddu = 0, т.е.

для заданного поля v необходимым условием существования потенциала u является равенство dv = 0

Спрашивается, когда это условие dv = 0 будет достаточным условием существования потенциала u, т.е. существования такого поля u, что v = du?

Математики выяснили, что ответ на последний вопрос существенно зависит от ТОПОЛОГИИ (ФОРМЫ) области в которой решается эта задача!

Математики называют оператор d граничным оператором (точнее кограничным, ну не будем делать для простоты различия).
Физики называют оператор d по-разному, то дивергенцией, то ротором, то градиентом.

Собственно говоря и всё! Чтобы двигаться дальше необходимо описать ТОПОЛОГИЮ области посредством различных инвариантов, например, модно говорить об односвязных областях, областях с дырками, областях с границами и т.п.
Дополнительно, могут возникнуть ограничения на классы рассматриваемых полей, как то, непрерывные, гладкие, кусочно-гладкие, бесконечно гладкие, аналитические, гармонические и т.п. Источники поля будут лежать на ГРАНИЦЕ области. Итак, кроме граничного ОПЕРАТОРА имеет место быть ещё ГРАНИЦА области. Между этими границами (чтобы их различать и используют приставку "ко") есть некоторая связь (двойственность), которую математики называют формулой Стокса, а физики формулой Гаусса (Стокса).
Теперь вернёмся к конкретной задаче темы - электрическое поле плоского воздушного конденсатора.
Все геометрические размеры конденсатора ограничены.
а. Пространство однородно, изотропно и ограничено внутри конденсатора только геометрическими размерами пластин конденсатора и расстоянием между ними и не ограничено снаружи.
В этом случае по всему бесконечному пространству в точности выполняется условие:
rotrotB ≡ -μ0rot[ε0grad(∂φ/∂t).
Т.е. такой ток смещения создавать магнитное поле не может.
б. В случае если где-то в пространстве вне конденсатора имеется некая неоднородность по ε, то она не приведёт к возбуждению магнитного поля B т.к. ток смещения пропорционален ε, а напряжённость электрического поля -grad(∂φ/∂t) обратно пропорциональна ε.
Где ε - относительная диэлектрическая проницаемость среды.
Т.е. ток смещения не зависит от неоднородности пространства вне конденсатора и сохраняет своё градиентное свойство по всему пространству.
в. В случае, если все пространство однородно заполнено диэлектриком с неким ε, также градиентность токов смещения сохраняется.
г. Отдельный случай, когда диэлектрик заполняет только всё внутреннее пространство между пластинами конденсатора, тогда ток смещения испытывает скачок на боковой границе диэлектрика и появится магнитное поле.
Какие будут возражения?

Форум Invision Power Board (http://nulled.cc)
© Invision Power Services (http://nulled.cc)