Движение электрического заряда, Вопрос Rishi Опции

[Rishi]

оператор ∇

у меня такой вопрос.
В физике есть наглядные понятные функции gradФ, divA, rotA которым соответствует математический формализм ∇Ф, ∇A, ∇xA. Но есть ещё проекция вектора на направление (v∇)A, у которой к сожалению нет наглядного физического обозначения типа grad. Так вот достаточно ли требования постоянства направления и величины вектора v, чтобы выполнялось равенство
(v∇)A = ∇ (vA), то есть (v∇)A = grad(vA)?
Я конечно понимаю, надо расписать покомпонентно, но когда объясняешь физическую модель так не хочется отвлекаться на математические упражнения. Короче нельзя ли как-то сделать вывод этого равенства в общем виде ?

[vps137]

у меня такой вопрос.
В физике есть наглядные понятные функции gradФ, divA, rotA которым соответствует математический формализм ∇Ф, ∇A, ∇xA. Но есть ещё проекция вектора на направление (v∇)A, у которой к сожалению нет наглядного физического обозначения типа grad. Так вот достаточно ли требования постоянства направления и величины вектора v, чтобы выполнялось равенство
(v∇)A = ∇ (vA), то есть (v∇)A = grad(vA)?
Я конечно понимаю, надо расписать покомпонентно, но когда объясняешь физическую модель так не хочется отвлекаться на математические упражнения. Короче нельзя ли как-то сделать вывод этого равенства в общем виде ?

Надо воспользоваться формулой из векторного анализа для градиента скалярного произведения.
[dmath]\nabla (\vec v \cdot\vec A)=(\vec v \cdot\nabla)\vec A+(\vec A \cdot\nabla)\vec v+\vec A \times (\nabla \times \vec v)+\vec v \times (\nabla \times \vec A)[/dmath]. Очевидно, что при v=const останется только первое слагаемое.
Для него есть такое обозначение [imath]\frac {d \vec A } {d \vec v}[/imath]

Сообщение отредактировал vps137 - 27.3.2018, 4:09

[Зиновий]

Надо воспользоваться формулой из векторного анализа для градиента скалярного произведения.
[dmath]\nabla (\vec v \cdot\vec A)=(\vec v \cdot\nabla)\vec A+(\vec A \cdot\nabla)\vec v+\vec A \times (\nabla \times \vec v)+\vec v \times (\nabla \times \vec A)[/dmath]. Очевидно, что при v=const останется только первое слагаемое.
Для него есть такое обозначение [imath]\frac {d \vec A } {d \vec v}[/imath]

При v = const dv = 0.
След. [imath]\frac {d \vec A } {d \vec v}[/imath] запрещённая операция.

[vps137]

При v = const dv = 0.
След. [imath]\frac {d \vec A } {d \vec v}[/imath] запрещённая операция.

Это не операция, а обозначение операции, которое я встречал в литературе. Наверное, лучше использовать привычное [imath](v \cdot \nabla) A[/imath]

[Зиновий]

Это не операция, а обозначение операции, которое я встречал в литературе. Наверное, лучше использовать привычное [imath](v \cdot \nabla) A[/imath]

Опять всё тот же пресловутый "градиент вектора" ([imath](v \cdot \nabla) A[/imath]) не существующий в векторном анализе.

[vps137]

Опять всё тот же пресловутый "градиент вектора" ([imath](v \cdot \nabla) A[/imath]) не существующий в векторном анализе.

Без него не обойтись, но здесь это лучше не называть градиентом вектора, а считать особым действием оператора набла. В компонентах это выражение выглядит так: [imath]\sum_{i=1}^3 v_i \frac {\partial A_k}{\partial x_i}[/imath]

Сообщение отредактировал vps137 - 29.3.2018, 15:01

[Зиновий]

Нет, здесь это нельзя назвать градиентом вектора. В компонентах это выражение выглядит так: [imath]\sum_{i=1}^3 v_i \frac {\partial A_k}{\partial x_i}[/imath]

Ну прямо как в знаменитой интермедии Винокура: "Это играть, а это не играть. Это рыбу заворачивали".
Вы работаете с векторным анализом или с вольными интерпретациями?
В векторном анализе возможны только тождественные преобразования исключающие "толкования".
В векторной форме это пресловутый "градиент вектора" - операция не существующая в векторном анализе.
Не морочьте людям голову своими фантазиями.

Сообщение отредактировал Зиновий - 29.3.2018, 15:07

[Зиновий]

у меня такой вопрос.
В физике есть наглядные понятные функции gradФ, divA, rotA которым соответствует математический формализм ∇Ф, ∇A, ∇xA. Но есть ещё проекция вектора на направление (v∇)A, у которой к сожалению нет наглядного физического обозначения типа grad. Так вот достаточно ли требования постоянства направления и величины вектора v, чтобы выполнялось равенство
(v∇)A = ∇ (vA), то есть (v∇)A = grad(vA)?
Я конечно понимаю, надо расписать покомпонентно, но когда объясняешь физическую модель так не хочется отвлекаться на математические упражнения. Короче нельзя ли как-то сделать вывод этого равенства в общем виде ?

Я не вижу другого пути кроме как расписать покомпонентно и тогда оценить конечный вид.
 CodeCogsEqn_2_.gif ( 1.35 килобайт ) Кол-во скачиваний: 9
... и т.д.

Сообщение отредактировал Зиновий - 29.3.2018, 15:54

[vps137]

Не морочьте людям голову своими фантазиями.

По-Вашему, то, что написано в моём посту и Вашем, отличается друг от друга?

[Зиновий]

По-Вашему, то, что написано в моём посту и Вашем, отличается друг от друга?

Конечно.
Я не называю это "градиент вектора".
Градиент по определению есть частная производная по радиус вектору от скалярной функции при t = const.
Градиент вектора и к тому же содержащий вектор скорости это вообще полный абсурд.

[vps137]

Конечно.
Я не называю это "градиент вектора".
Градиент по определению есть частная производная по радиус вектору от скалярной функции при t = const.
Градиент вектора и к тому же содержащий вектор скорости это вообще полный абсурд.

Нет, наши посты одинаковы. Я же Вам писал - "здесь это нельзя назвать градиентом вектора." и имел в виду формулы. Они одинаковы, а как назвать - то лучше не пытаться изобретать велосипед, а использовать установившийся термин в математике.

В записи конвективной производной скорость конечно входит. Если бы не входила, то это был бы абсурд. Я не пойму о чём спор.

[Зиновий]

Нет, наши посты одинаковы. Я же Вам писал - "здесь это нельзя назвать градиентом вектора." и имел в виду формулы. Они одинаковы, а как назвать - то лучше не пытаться изобретать велосипед, а использовать установившийся термин в математике.

В записи конвективной производной скорость конечно входит. Если бы не входила, то это был бы абсурд. Я не пойму о чём спор.

Т.е. одна и таже формула для векторных полей, по вашему может означать совершенно различные действия?
Если так, то это противоречит единственности преобразования векторных полей, т.е. теореме единственности, что очевидно недопустимо.
Что касается "использовать установившийся термин в математике", то ошибка даже многократно повторённая остаётся ошибкой.
А я не привык повторять чужие ошибки.
Моих же ошибок Вы пока не предъявили.

[Rishi]

Очевидно, что при v=const останется только первое слагаемое.

О спасибо большое , да, всё правильно, не с того конца я пошёл. Ну по крайней мере значит у меня результат правильный
Собственно речь идёт о втором или каком-то там уравнении Максвелла при условии инерциального движения заряда.
В статике
(1) [imath]\rho=div\vec E [/imath]
в динамике [imath]\vec j= \vec v \rho[/imath]
умножим обе части (1) на постоянную [imath]\vec v [/imath] и получим [imath]\vec v div\vec E = \vec j [/imath]
с другой стороны
[dmath]\vec v div \vec E = rot (\vec v \times \vec E) + \vec v grad \vec E [/dmath]
то есть учитывая вышеизложенное [imath]\vec v div \vec E = rot (\vec v \times \vec E) + grad(\vec v \vec E) [/imath]
обозначим [imath]\vec v \vec E = T [/imath] и [imath]\vec v \times \vec E = \vec B [/imath]
Итак, дополнительное ( к кулоновскому) поле движения заряда можно разложить на два поля [imath]\vec v div \vec E = rot \vec B + grad T \; \; \; (=\vec j) [/imath] - вихревое поле [imath]\vec B[/imath] и скалярное поле Т. Что видимо Гельмгольц и мог бы написать, поправляя Максвелла по крайней мере для случая инерциального движения зарядов. Ведь сам Максвелл уравнения не выводил, а приводил "из общих соображений". Там у меня где-то [imath]\mu[/imath] потерялось, но не суть

[vps137]

О спасибо большое , да, всё правильно, не с того конца я пошёл. Ну по крайней мере значит у меня результат правильный
Собственно речь идёт о втором или каком-то там уравнении Максвелла при условии инерциального движения заряда.
В статике
(1) [imath]\rho=div\vec E [/imath]
в динамике [imath]\vec j= \vec v \rho[/imath]
умножим обе части (1) на постоянную [imath]\vec v [/imath] и получим [imath]\vec v div\vec E = \vec j [/imath]
с другой стороны
[dmath]\vec v div \vec E = rot (\vec v \times \vec E) + \vec v grad \vec E [/dmath]
то есть учитывая вышеизложенное [imath]\vec v div \vec E = rot (\vec v \times \vec E) + grad(\vec v \vec E) [/imath]
обозначим [imath]\vec v \vec E = T [/imath] и [imath]\vec v \times \vec E = \vec B [/imath]
Итак, дополнительное ( к кулоновскому) поле движения заряда можно разложить на два поля [imath]\vec v div \vec E = rot \vec B + grad T \; \; \; (=\vec j) [/imath] - вихревое поле [imath]\vec B[/imath] и скалярное поле Т. Что видимо Гельмгольц и мог бы написать, поправляя Максвелла по крайней мере для случая инерциального движения зарядов. Ведь сам Максвелл уравнения не выводил, а приводил "из общих соображений". Там у меня где-то [imath]\mu[/imath] потерялось, но не суть

Мне кажется, там не так всё просто. Ваше уравнение должно содержать ещё два члена. (И ни в коем случае не должно содержать градиент вектора, упоминание которого здесь запрещено Зиновием)))
[imath]\vec v \nabla \cdot \vec E=\nabla \times(\vec E \times \vec v)+(\vec v \cdot \nabla) \vec E - (\vec E \cdot \nabla) \vec v -\vec E \nabla \cdot \vec v[/imath]


Сообщение отредактировал vps137 - 31.3.2018, 4:09

[Зиновий]

Не надо передёргивать.
Запрещено не "Зиновием", а векторным анализом.
Обратное Вы не доказали.
См. тему " Градиент вектора, что это?"

Сообщение отредактировал Зиновий - 31.3.2018, 12:57

[Менде]

Для лучшего понимания физики рассматриваемых процессов советую прочесть параграф 2 из монографии Альтернативная идеология электродинамики по ссылке http://publ.lib.ru/ARCHIVES/M/MENDE_Fedor_...e_F.F..html#013 .

Сообщение отредактировал Менде - 31.3.2018, 13:41

[Менде]

Не вижу реакции.

[Rishi]

Надо воспользоваться формулой из векторного анализа для градиента скалярного произведения.
[dmath]\nabla (\vec v \cdot\vec A)=(\vec v \cdot\nabla)\vec A+(\vec A \cdot\nabla)\vec v+\vec A \times (\nabla \times \vec v)+\vec v \times (\nabla \times \vec A)[/dmath]. Очевидно, что при v=const останется только первое слагаемое.
Для него есть такое обозначение [imath]\frac {d \vec A } {d \vec v}[/imath]

да, спасибо за разъяснение, но вот справа два слагаемых понятно сразу почему в ноль, а вот почему [dmath]\vec v \times (\nabla \times \vec A)[/dmath] равно нулю?

Мне кажется, там не так всё просто. Ваше уравнение должно содержать ещё два члена.

какие?

[imath]\vec v \nabla \cdot \vec E=\nabla \times(\vec E \times \vec v)+(\vec v \cdot \nabla) \vec E - (\vec E \cdot \nabla) \vec v -\vec E \nabla \cdot \vec v[/imath] - здесь два последних слагаемых нули, так как скорость константа, а производные от константы нули.

И ни в коем случае не должно содержать градиент вектора, упоминание которого здесь запрещено Зиновием

юмор понял, но там же ж теорема Гельмгольца есть, которую Зиновий пока не запрещал
Поле движения (то есть кроме кулоновского) инерциально движущегося заряда можно разложить на два - вихревое и скалярное.
У меня там нет градиента вектора поскольку подразумевается (vgrad)E и оно быстренько сворачивается в grad(vE)
Ну наверное более правильно математически сначала всё расписать через наблу, а в конце подставить вместо наблы градиент.

[Зиновий]

.................................................................
юмор понял, но там же ж теорема Гельмгольца есть, которую Зиновий пока не запрещал
Поле движения (то есть кроме кулоновского) инерциально движущегося заряда можно разложить на два - вихревое и скалярное.
У меня там нет градиента вектора поскольку подразумевается (vgrad)E и оно быстренько сворачивается в grad(vE)
Ну наверное более правильно математически сначала всё расписать через наблу, а в конце подставить вместо наблы градиент.

1. Теорему Гельмгольца Зиновий не только "не отрицал", а опирается именно на неё.
2. Что такое поле движения "можно разложить на два - вихревое и скалярное"?
"Скалярное движение" это как?

[Rishi]

1. Теорему Гельмгольца Зиновий не только "не отрицал", а опирается именно на неё.

да, за Гельмгольца вам отдельное спасибо потому что как-то его у нас явно не дооценили или специально загнобили. .

2. Что такое поле движения "можно разложить на два - вихревое и скалярное"?
"Скалярное движение" это как?

Дело в том, что я ведь не математик, меня физика интересует, а математика - это просто способ численного описания физических явлений и больше ничего. И меня достаёт тот ошеломляющий вред, который нанесли физике математики-формалисты особенно в XX веке.
Поэтому вернёмся к физике. Рассмотрим движение лодки-плоскодонки по поверхности воды. Именно ТОЛЬКО в процессе движения перед лодкой возникает возвышение уровня жидкости, а за ней - наоборот провал. А по бокаи за счёт спутного движения - завихрения. Вот это и есть ответ на вопрос. На соломинку, перед лодкой будет действовать сила, определяемая градиентом возвышения жидкости, а соломинка сбоку будет притягиваться к лодке, потому что на неё действует сила, связанная с ротором. И я просто хочу вам напомнить, что Гельмгольц имел в виду именно гидродинамическую аналогию в электродинамике. Скажем Томсон тогда в электродинамике брал аналогию с распространением теплоты. Максвелл вообще придумал чудовище в виде шестерёнок, потому что шестерёнки в модели не могут двигаться вперёд-назад как частицы жидкости и поэтому в такой модели идея продольных волн возникнуть в принципе не может.
Итак, аналогия простая. Перед движущимся инерциально в эфире зарядом возникает ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ (по сравнения с кулоновским) скалярное поле. Дополнительная сила его действия определяется дополнительным (по сравнению с кулоновским полем) E = градиент ф, так как будто величина заряда изменяется. А по бокам возникает дополнителная сила (так называемая магнитная), вызванная вихрями изменения потенциалов. То есть и магнитное поле и дополнительное скалярное поле есть просто результат движения заряда с его кулоновским полем в эфире.
.