Вопрос к математикам, (векторный анализ - классическая теория поля) |
|
Здравствуйте, гость ( Вход | Регистрация )
Данный раздел форума предназначен для всевозможных дискуссий и обсуждений тем, касающихся науки и околонаучных вопросов. Ваши мысли, идеи, гипотезы и просто мнения - приветствуются, при условии соблюдения Правил раздела. И не забывайте регистрироваться.
Вопрос к математикам, (векторный анализ - классическая теория поля) |
29.4.2019, 16:40
Сообщение
#1
|
|
Прапорщик Группа: Старожилы Сообщений: 7113 Регистрация: 7.10.2017 Из: г. Москва Пользователь №: 53225 |
Для описания физических процессов происходящих в переменном во времени электрическом поле плоского воздушного конденсатора, исходя из соображения симметрии уравнений, Максвелл ввёл понятие "токи электрического смещения" определив их в след. виде:
jсм = ε0∂(-gradφ)/∂t. Где: jсм - вектор плотности тока смещения между пластинами плоского воздушного конденсатора; ε0 - диэлектрическая проницаемость вакуума; -gradφ - вектор напряжённости электрического поля между пластинами плоского воздушного конденсатора. В результате чего первое уравнение теории электромагнетизма Максвелла для плоского воздушного электрического конденсатора приобрело след. вид: rotB =μ0ε0∂(-gradφ)/∂t, или что тоже самое: rotB =1/с2∂(-gradφ)/∂t. (1) Где: B - вектор магнитной индукции; с - скорость света в вакууме. В силу коммутативности частных производных по пространству и по времени перепишем уравнение (1) след. образом: rotB =1/с2grad(-∂φ/∂t) (2) Поскольку входящая в уравнение (2) скорость света является константой внесём 1/с2 как множитель к частной производной по времени от электрического потенциала φ и в результате получаем след. окончательное выражение: rotB = grad{1/с2(-∂φ/∂t)}. (3) Докажем небольшую теорему. Если ротор некоего векторного поля F по всему пространству поля включая его границы равен градиенту некоего поля ∂Ψ/∂t (т.е. равенство тождественное), то векторное поле F и поле градиента ∂Ψ/∂t оба равны нулю тождественно. Доказательство Дано: rotF ≡ grad(∂Ψ/∂t); (4) Подействуем оператором "rot" на выражение (4). Получаем: rotrotF ≡ rotgrad(∂Ψ/∂t). Но ротор градиента есть тождественный ноль и след. ротор ротора вектора F тоже тождественный ноль, что означает тождественное отсутствие в пространстве векторного поля F возбудителей поля F и следовательно поле F тождественно равно нулю. Аналогично подействуем оператором "div" на выражение (4). Получаем: divrotF ≡ divgrad(∂Ψ/∂t). Но дивергенция ротора есть тождественный ноль, а след. и дивергенция градиента частной производной по времени есть тоже тождественный ноль. Т.е. во всём пространстве поля градиент ∂Ψ/∂t нет источников поля градиента ∂Ψ/∂t и следовательно поле градиент ∂Ψ/∂t тождественно равно нулю. Резюме Из выражения (4), а следовательно и из выражения (3) вытекает тождественное равенство нулю магнитного поля якобы возбуждаемого, по утверждению Максвелла, токами смещения в переменном по времени электрическом поле плоского воздушного конденсатора. Какие возражения будут у математиков? Сообщение отредактировал Зиновий - 30.4.2019, 20:36 -------------------- Тот кто не знает и/или не понимает определений физических понятий - не знает физики.
То кто не знает физики - не знает и не понимает жизнь. Природу изучать не формулы тачать. |
|
|
2.5.2019, 15:56
Сообщение
#2
|
|
Прапорщик Группа: Старожилы Сообщений: 7113 Регистрация: 7.10.2017 Из: г. Москва Пользователь №: 53225 |
................................................................................ Удивляет молчание математиков............................ (2) Поскольку входящая в уравнение (2) скорость света является константой внесём 1/с2 как множитель к частной производной по времени от электрического потенциала φ и в результате получаем след. окончательное выражение: rotB = grad{1/с2(-∂φ/∂t)}. (3) Докажем небольшую теорему. Если ротор некоего векторного поля F по всему пространству поля включая его границы равен градиенту некоего поля ∂Ψ/∂t (т.е. равенство тождественное), то векторное поле F и поле градиента ∂Ψ/∂t оба равны нулю тождественно. Доказательство Дано: rotF ≡ grad(∂Ψ/∂t); (4) Подействуем оператором "rot" на выражение (4). Получаем: rotrotF ≡ rotgrad(∂Ψ/∂t). Но ротор градиента есть тождественный ноль и след. ротор ротора вектора F тоже тождественный ноль, что означает тождественное отсутствие в пространстве векторного поля F возбудителей поля F и следовательно поле F тождественно равно нулю. Аналогично подействуем оператором "div" на выражение (4). Получаем: divrotF ≡ divgrad(∂Ψ/∂t). Но дивергенция ротора есть тождественный ноль, а след. и дивергенция градиента частной производной по времени есть тоже тождественный ноль. Т.е. во всём пространстве поля градиент ∂Ψ/∂t нет источников поля градиента ∂Ψ/∂t и следовательно поле градиент ∂Ψ/∂t тождественно равно нулю. Резюме Из выражения (4), а следовательно и из выражения (3) вытекает тождественное равенство нулю магнитного поля якобы возбуждаемого, по утверждению Максвелла, токами смещения в переменном по времени электрическом поле плоского воздушного конденсатора. Какие возражения будут у математиков? Им что неведомо что: ротор градиента тождественно равен нулю, или что дивергенция ротора тождественно равна нулю? Им неведомы теоремы о роторе, градиенте и дивергенции? Ну тогда ознакомьтесь с этими важнейшими теоремами классического векторного анализа, например, по книге Лаптев Г.Ф. "Элементы векторного исчисления", или "Справочник по математике" Г.Корн и Т.Корн. Складывается впечатление, что участвующие в форуме якобы "математики" на самом деле таковыми не являются и за достоверность своих сообщений не несут никакой ответственности... -------------------- Тот кто не знает и/или не понимает определений физических понятий - не знает физики.
То кто не знает физики - не знает и не понимает жизнь. Природу изучать не формулы тачать. |
|
|
3.5.2019, 8:26
Сообщение
#3
|
|
Прапорщик Группа: Старожилы Сообщений: 7951 Регистрация: 14.8.2017 Пользователь №: 129274 |
Конечно, из того, что rotrotF = 0 НЕ следует, что F=0.
Чтобы убедиться в этом достаточно взять любое безвихревое ненулевое поле F. Такие ненулевые поля, несомненно существуют, для которых rotF=0, а значит и rotrotF = 0. Аналогично, из того, что divgradV = 0 НЕ следует, что V=0. Чтобы убедиться в этом достаточно взять любую гармоническую ненулевую функцию V. Такие ненулевые гармонические функции несомненно существуют, для которых divgradV = ΔV = 0. Δ - Оператор Лапласа. |
|
|
3.5.2019, 13:53
Сообщение
#4
|
|
Прапорщик Группа: Старожилы Сообщений: 7113 Регистрация: 7.10.2017 Из: г. Москва Пользователь №: 53225 |
Конечно, из того, что rotrotF = 0 НЕ следует, что F=0. Уважаемый Paraligon, благодарю за ответ строго соответствующий общепринятому, но ошибочному мнению, получившему, к сожалению, весьма широкое распространение.Чтобы убедиться в этом достаточно взять любое безвихревое ненулевое поле F. Такие ненулевые поля, несомненно существуют, для которых rotF=0, а значит и rotrotF = 0. Аналогично, из того, что divgradV = 0 НЕ следует, что V=0. Чтобы убедиться в этом достаточно взять любую гармоническую ненулевую функцию V. Такие ненулевые гармонические функции несомненно существуют, для которых divgradV = ΔV = 0. Δ - Оператор Лапласа. Достаточно вспомнить основную задачу классической теории поля и её формальную запись в виде интегралов определяющих скалярный φ и векторный А потенциалы, чтобы понять, что решением поля Лапласа по всему пространству поля будет тождественный ноль и производные от тождественного нуля есть тоже ноль тождественно. Т.е. все математические преобразования при решении полевых задач в рамках основной задачи классической теории поля имеют тождественный характер и полученные решения однозначны. Приложения Цитата Основная задача классической теории поля Какие будут возражения?Прямая задача Определение физического поля распределённого в пространстве по заданному распределению источников (возбудителей) поля размещённых в этом пространстве включая его границы. Обатная задача Определение размещения источников (возбудителей) физического поля в пространстве по заданному распределения поля в этом пространстве. -------------------- Тот кто не знает и/или не понимает определений физических понятий - не знает физики.
То кто не знает физики - не знает и не понимает жизнь. Природу изучать не формулы тачать. |
|
|
3.5.2019, 18:23
Сообщение
#5
|
|
Прапорщик Группа: Старожилы Сообщений: 7951 Регистрация: 14.8.2017 Пользователь №: 129274 |
Уважаемый Paraligon, благодарю за ответ строго соответствующий общепринятому, но ошибочному мнению, получившему, к сожалению, весьма широкое распространение. Достаточно вспомнить основную задачу классической теории поля и её формальную запись в виде интегралов определяющих скалярный φ и векторный А потенциалы, чтобы понять, что решением поля Лапласа по всему пространству поля будет тождественный ноль и производные от тождественного нуля есть тоже ноль тождественно. Т.е. все математические преобразования при решении полевых задач в рамках основной задачи классической теории поля имеют тождественный характер и полученные решения однозначны. Приложения Какие будут возражения? Всё очень просто, в том числе в части вашей фразы: " ... в этом пространстве включая его границы". Задача рассматривается (по-видимому, и для конденсатора) в области, которая не совпадает со всем пространством и эта область имеет границу, на которой и лежат источники поля. Это с одной стороны. С другой стороны, если вас интересуют физический осмысленные поля, то надо наложить определённые требования на эти поля, например, их поведение на бесконечности (когда аргумент стремиться к бесконечно удалённой точке). Это относится и к поведению поля пр стремлении аргумента к границе области. Такие ограничения, с необходимостью присутствуют и в уравнения Максвелла и любых других уравнениях математической физики. Т.е. я хочу сказать, что содержательным является е только формальное (формульное) уравнение, но и все все условия (граничные, краевые, степень гладкости, поведение на бесконечности и т.п.) с необходимостью являются неотъелемой частью уравнения! Так что поведение градиентов гармонических функций существенно зависит от количества "дырок" (когомологий) в рассматриваемой области пространства! |
|
|
3.5.2019, 20:26
Сообщение
#6
|
|
Прапорщик Группа: Старожилы Сообщений: 7113 Регистрация: 7.10.2017 Из: г. Москва Пользователь №: 53225 |
Всё очень просто, в том числе в части вашей фразы: " ... в этом пространстве включая его границы". Всё о чём Вы пишите учтено и оговорено в теореме единственности векторного анализа - "Теорема Гельмгольца":Задача рассматривается (по-видимому, и для конденсатора) в области, которая не совпадает со всем пространством и эта область имеет границу, на которой и лежат источники поля. Это с одной стороны. С другой стороны, если вас интересуют физический осмысленные поля, то надо наложить определённые требования на эти поля, например, их поведение на бесконечности (когда аргумент стремиться к бесконечно удалённой точке). Это относится и к поведению поля пр стремлении аргумента к границе области. Такие ограничения, с необходимостью присутствуют и в уравнения Максвелла и любых других уравнениях математической физики. Т.е. я хочу сказать, что содержательным является е только формальное (формульное) уравнение, но и все все условия (граничные, краевые, степень гладкости, поведение на бесконечности и т.п.) с необходимостью являются неотъелемой частью уравнения! Так что поведение градиентов гармонических функций существенно зависит от количества "дырок" (когомологий) в рассматриваемой области пространства! http://doctorovich.info/forum/viewtopic.ph...9a77a73b36c6354 Определение понятия "Физическое поле" я ранее изложил в соответствующей теме. Цитата Физическое поле Какие ещё остались возражения?- определение Физическим полем называется пространственное распределение какой-либо физической величины отвечающее требованиям однозначности и непрерывности в каждой точке пространства и обращающееся в нуль на бесконечности. -------------------- Тот кто не знает и/или не понимает определений физических понятий - не знает физики.
То кто не знает физики - не знает и не понимает жизнь. Природу изучать не формулы тачать. |
|
|
5.5.2019, 14:11
Сообщение
#7
|
|
Прапорщик Группа: Старожилы Сообщений: 7113 Регистрация: 7.10.2017 Из: г. Москва Пользователь №: 53225 |
Продолжение
Также хочу обратить ваше пристальное (!!!) внимание на следующую информацию: Цитата СПРАВОЧНИК по МАТЕМАТИКЕ для научных работников и инженеров
Г.Корн и Т.Корн ИЗДАТЕЛЬСТВО "НАУКА" ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Москва 1978 ГЛАВА 5 ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ 5.7 Отыскание векторного поля по его ротору и дивергенции 5.7-3 Отыскание векторного поля по его ротору и дивергенции Сообщение отредактировал Зиновий - 5.5.2019, 15:45 -------------------- Тот кто не знает и/или не понимает определений физических понятий - не знает физики.
То кто не знает физики - не знает и не понимает жизнь. Природу изучать не формулы тачать. |
|
|
6.5.2019, 3:56
Сообщение
#8
|
|
Прапорщик Группа: Старожилы Сообщений: 7257 Регистрация: 12.8.2017 Пользователь №: 97485 |
Докажем небольшую теорему. Если ротор некоего векторного поля F по всему пространству поля включая его границы равен градиенту некоего поля ∂Ψ/∂t (т.е. равенство тождественное), то векторное поле F и поле градиента ∂Ψ/∂t оба равны нулю тождественно. Доказательство Дано: rotF ≡ grad(∂Ψ/∂t); (4) Подействуем оператором "rot" на выражение (4). Получаем: rotrotF ≡ rotgrad(∂Ψ/∂t). Но ротор градиента есть тождественный ноль и след. ротор ротора вектора F тоже тождественный ноль, что означает тождественное отсутствие в пространстве векторного поля F возбудителей поля F и следовательно поле F тождественно равно нулю. Аналогично подействуем оператором "div" на выражение (4). Получаем: divrotF ≡ divgrad(∂Ψ/∂t). Но дивергенция ротора есть тождественный ноль, а след. и дивергенция градиента частной производной по времени есть тоже тождественный ноль. Т.е. во всём пространстве поля градиент ∂Ψ/∂t нет источников поля градиента ∂Ψ/∂t и следовательно поле градиент ∂Ψ/∂t тождественно равно нулю. Резюме Из выражения (4), а следовательно и из выражения (3) вытекает тождественное равенство нулю магнитного поля якобы возбуждаемого, по утверждению Максвелла, токами смещения в переменном по времени электрическом поле плоского воздушного конденсатора. Какие возражения будут у математиков? Согласен с мнением Паралигона. Можно добавить также, что значения градиентов, дивергенций и роторов на границе ввиду разрывности функций следует определять через т.н. поверхностные градиенты, дивергенции и роторы. Т.е. необходимо знать форму границы, направление ее нормалей в каждой точке. Об этом можно подробнее посмотреть у тех же Корнов. -------------------- Felix qui potuit rerum cognoscere causas. /Вергилий/
Апейроника - наука будущего? |
|
|
6.5.2019, 11:35
Сообщение
#9
|
|
Прапорщик Группа: Старожилы Сообщений: 7113 Регистрация: 7.10.2017 Из: г. Москва Пользователь №: 53225 |
Согласен с мнением Паралигона. Можно добавить также, что значения градиентов, дивергенций и роторов на границе ввиду разрывности функций следует определять через т.н. поверхностные градиенты, дивергенции и роторы. Т.е. необходимо знать форму границы, направление ее нормалей в каждой точке. Об этом можно подробнее посмотреть у тех же Корнов. В этом Вы ошибаетесь.Просто на границе поля источники (возбудители) поля "div" и "rot" становятся отличными от нуля. Никакого разрыва полей φ и А и их производных на границе источников не происходит. См. теорему Остроградского-Гаусса и теорему Стокса. -------------------- Тот кто не знает и/или не понимает определений физических понятий - не знает физики.
То кто не знает физики - не знает и не понимает жизнь. Природу изучать не формулы тачать. |
|
|
6.5.2019, 13:55
Сообщение
#10
|
|
Прапорщик Группа: Старожилы Сообщений: 7257 Регистрация: 12.8.2017 Пользователь №: 97485 |
В этом Вы ошибаетесь. Просто на границе поля источники (возбудители) поля "div" и "rot" становятся отличными от нуля. Никакого разрыва полей φ и А и их производных на границе источников не происходит. См. теорему Остроградского-Гаусса и теорему Стокса. Я говорил о вашей теореме. В ней при доказательстве вы использовали, что rot grad φ=0. Это выражение справедливо, если скалярное поле φ везде дифференцируемо в данной области. На границе это условие в общем случае на соблюдается, о чём и было моё замечание. Сообщение отредактировал vps137 - 6.5.2019, 14:37 -------------------- Felix qui potuit rerum cognoscere causas. /Вергилий/
Апейроника - наука будущего? |
|
|
6.5.2019, 15:50
Сообщение
#11
|
|
Прапорщик Группа: Старожилы Сообщений: 7113 Регистрация: 7.10.2017 Из: г. Москва Пользователь №: 53225 |
Я говорил о вашей теореме. В ней при доказательстве вы использовали, что rot grad φ=0. Это выражение справедливо, если скалярное поле φ везде дифференцируемо в данной области. На границе это условие в общем случае на соблюдается, о чём и было моё замечание. Зачем повторять зазубренную глупость, когда очевидно, что:1. rotgrad ≡ 0 не зависимо от φ, т.к. rotgrad ≡ [∇ × ∇] ≡ 0. В чём Вы легко можете убедиться расписав эту операцию в любой системе координат, как с φ, так и без φ. 2. Обязательным условием накладываемым на функцию потенциалов является как минимум дважды дифференцируемость их. Ни о каких скачках или разрывах потенциалов и их производных, на любой границе и речи быть не может. Вот почему академики, читая Вам лекции по теории поля, не давали Вам доказательно выводить все математические положения, а заставляли зазубривать только то, что они считали нужным. Сообщение отредактировал Зиновий - 6.5.2019, 15:54 -------------------- Тот кто не знает и/или не понимает определений физических понятий - не знает физики.
То кто не знает физики - не знает и не понимает жизнь. Природу изучать не формулы тачать. |
|
|
6.5.2019, 16:35
Сообщение
#12
|
|
Прапорщик Группа: Старожилы Сообщений: 7257 Регистрация: 12.8.2017 Пользователь №: 97485 |
Зачем повторять зазубренную глупость, когда очевидно, что: 1. rotgrad ≡ 0 не зависимо от φ, т.к. rotgrad ≡ [∇ × ∇] ≡ 0. В чём Вы легко можете убедиться расписав эту операцию в любой системе координат, как с φ, так и без φ. 2. Обязательным условием накладываемым на функцию потенциалов является как минимум дважды дифференцируемость их. Ни о каких скачках или разрывах потенциалов и их производных, на любой границе и речи быть не может. Вот почему академики, читая Вам лекции по теории поля, не давали Вам доказательно выводить все математические положения, а заставляли зазубривать только то, что они считали нужным. Не выдумывайте, никто меня не заставлял зазубривать - разве что по истмату. Системы координат тут не при чём. rot grad применяется к функции, а не к пустому месту. От поведения функции, от того, дифференцируема она или нет, это выражение зависит. -------------------- Felix qui potuit rerum cognoscere causas. /Вергилий/
Апейроника - наука будущего? |
|
|
6.5.2019, 17:35
Сообщение
#13
|
|
Прапорщик Группа: Старожилы Сообщений: 7113 Регистрация: 7.10.2017 Из: г. Москва Пользователь №: 53225 |
Не выдумывайте, никто меня не заставлял зазубривать - разве что по истмату. Ранее я уже указывал Вам на то, что одно из обязательных требований к потенциалам является их как минимум дважды дифференцируемость.Системы координат тут не при чём. rot grad применяется к функции, а не к пустому месту. От поведения функции, от того, дифференцируема она или нет, это выражение зависит. (У Вас плохо с памятью?) Вот и распишите для произвольной функции φ операцию "rotgradφ" и убедитесь в том, что rotgradφ ≡ 0 независимо от φ. P.S. Надеюсь вы понимаете разницу между тождеством "≡" и равенством "="? Сообщение отредактировал Зиновий - 6.5.2019, 17:47 -------------------- Тот кто не знает и/или не понимает определений физических понятий - не знает физики.
То кто не знает физики - не знает и не понимает жизнь. Природу изучать не формулы тачать. |
|
|
6.5.2019, 18:45
Сообщение
#14
|
|
Прапорщик Группа: Старожилы Сообщений: 7257 Регистрация: 12.8.2017 Пользователь №: 97485 |
Ранее я уже указывал Вам на то, что одно из обязательных требований к потенциалам является их как минимум дважды дифференцируемость. (У Вас плохо с памятью?) Вот и распишите для произвольной функции φ операцию "rotgradφ" и убедитесь в том, что rotgradφ ≡ 0 независимо от φ. P.S. Надеюсь вы понимаете разницу между тождеством "≡" и равенством "="? Каверзный вопрос. С памятью все в порядке. Я вам о том же и говорю - на границе функция может быть недифференцируемой из-за отсутствия непрерывности, что является необходимым условием дифференцируемости. Ведь на границе, как известно, разрыв у функций - обычное дело. Но я ещё раз прочитал вашу теорему. В ней сказано, что градиент существует и на границе. Значит, функция, от которой берется градиент, всюду гладкая. Так что моё замечание можно не принимать во внимание. Как там с этой теоремой для многосвязных областей я не берусь комментировать. -------------------- Felix qui potuit rerum cognoscere causas. /Вергилий/
Апейроника - наука будущего? |
|
|
6.5.2019, 21:17
Сообщение
#15
|
|
Прапорщик Группа: Старожилы Сообщений: 7113 Регистрация: 7.10.2017 Из: г. Москва Пользователь №: 53225 |
Каверзный вопрос. С памятью все в порядке. Да, но не в случае потенциалов.Я вам о том же и говорю - на границе функция может быть недифференцируемой из-за отсутствия непрерывности, что является необходимым условием дифференцируемости. Ведь на границе, как известно, разрыв у функций - обычное дело. Но я ещё раз прочитал вашу теорему (теорему Г.Гельмгольца - комментарий Зиновия). В ней сказано, что градиент существует и на границе. Значит, функция, от которой берется градиент, всюду гладкая. Так что моё замечание можно не принимать во внимание. Как там с этой теоремой для многосвязных областей я не берусь комментировать. Ну и на том спасибо.Подождём, что ответит Paraligon... -------------------- Тот кто не знает и/или не понимает определений физических понятий - не знает физики.
То кто не знает физики - не знает и не понимает жизнь. Природу изучать не формулы тачать. |
|
|
7.5.2019, 6:22
Сообщение
#16
|
|
Прапорщик Группа: Старожилы Сообщений: 7257 Регистрация: 12.8.2017 Пользователь №: 97485 |
Ну и на том спасибо. Подождём, что ответит Paraligon... Теорема Гельмгольца всё-таки о другом. -------------------- Felix qui potuit rerum cognoscere causas. /Вергилий/
Апейроника - наука будущего? |
|
|
7.5.2019, 11:44
Сообщение
#17
|
|
Прапорщик Группа: Старожилы Сообщений: 7113 Регистрация: 7.10.2017 Из: г. Москва Пользователь №: 53225 |
Теорема Гельмгольца всё-таки о другом. Это конечно же теорема Гельмгольца "Определение векторного поля по дивергенции и ротору".Я только использовал её частный случай при тождественном равенству нулю источников (возбудителей) поля по всему бесконечному пространству. -------------------- Тот кто не знает и/или не понимает определений физических понятий - не знает физики.
То кто не знает физики - не знает и не понимает жизнь. Природу изучать не формулы тачать. |
|
|
15.5.2019, 9:42
Сообщение
#18
|
|
Прапорщик Группа: Старожилы Сообщений: 7113 Регистрация: 7.10.2017 Из: г. Москва Пользователь №: 53225 |
............................................................................. Учитывая отсутствие каких-либо дополнительных краевых условий, которые могли бы нарушить условие односвязности поля плотности токов смещения плоского воздушного электрического конденсатора и молчание участника Паралигон приходим к выводу, что введённое Максвеллом утверждение о якобы возбуждении токами смещения в плоском воздушном электрическом конденсаторе магнитного поля ошибочно, а след. ошибочна и сама его гипотеза электромагнетизма.Но я ещё раз прочитал вашу теорему. В ней сказано, что градиент существует и на границе. Значит, функция, от которой берется градиент, всюду гладкая. Так что моё замечание можно не принимать во внимание. Как там с этой теоремой для многосвязных областей я не берусь комментировать. Что и получило прямое экспериментальное подтверждение изложенное в теме "Закон полного тока не "Закон", а частный случай". Сообщение отредактировал Зиновий - 15.5.2019, 9:46 -------------------- Тот кто не знает и/или не понимает определений физических понятий - не знает физики.
То кто не знает физики - не знает и не понимает жизнь. Природу изучать не формулы тачать. |
|
|
22.5.2019, 18:36
Сообщение
#19
|
|
Прапорщик Группа: Старожилы Сообщений: 7951 Регистрация: 14.8.2017 Пользователь №: 129274 |
С точки зрения математики, вся теория поля сводится к двум соотношениям в некоторой области:
v = du dd = 0 В первом случае, поле u называется потенциалом (различают скалярные и векторные потенциалы) поля v в заданной области, а задача существования потенциалов, действительно Зиновий прав, является основной задачей теории поля. Используя второе равенство, которое читается граница границы равна нулю, мы сразу находим необходимое условие существования потенциала у поля. Достаточно подействовать оператором d на первое равенство: dv = ddu = 0, т.е. для заданного поля v необходимым условием существования потенциала u является равенство dv = 0 Спрашивается, когда это условие dv = 0 будет достаточным условием существования потенциала u, т.е. существования такого поля u, что v = du? Математики выяснили, что ответ на последний вопрос существенно зависит от ТОПОЛОГИИ (ФОРМЫ) области в которой решается эта задача! Математики называют оператор d граничным оператором (точнее кограничным, ну не будем делать для простоты различия). Физики называют оператор d по-разному, то дивергенцией, то ротором, то градиентом. Собственно говоря и всё! Чтобы двигаться дальше необходимо описать ТОПОЛОГИЮ области посредством различных инвариантов, например, модно говорить об односвязных областях, областях с дырками, областях с границами и т.п. Дополнительно, могут возникнуть ограничения на классы рассматриваемых полей, как то, непрерывные, гладкие, кусочно-гладкие, бесконечно гладкие, аналитические, гармонические и т.п. Источники поля будут лежать на ГРАНИЦЕ области. Итак, кроме граничного ОПЕРАТОРА имеет место быть ещё ГРАНИЦА области. Между этими границами (чтобы их различать и используют приставку "ко") есть некоторая связь (двойственность), которую математики называют формулой Стокса, а физики формулой Гаусса (Стокса). |
|
|
23.5.2019, 4:46
Сообщение
#20
|
|
Прапорщик Группа: Старожилы Сообщений: 7257 Регистрация: 12.8.2017 Пользователь №: 97485 |
С точки зрения математики, вся теория поля сводится к двум соотношениям в некоторой области: v = du dd = 0 В первом случае, поле u называется потенциалом (различают скалярные и векторные потенциалы) поля v в заданной области, а задача существования потенциалов, действительно Зиновий прав, является основной задачей теории поля. Используя второе равенство, которое читается граница границы равна нулю, мы сразу находим необходимое условие существования потенциала у поля. Достаточно подействовать оператором d на первое равенство: dv = ddu = 0, т.е. для заданного поля v необходимым условием существования потенциала u является равенство dv = 0 Спрашивается, когда это условие dv = 0 будет достаточным условием существования потенциала u, т.е. существования такого поля u, что v = du? Математики выяснили, что ответ на последний вопрос существенно зависит от ТОПОЛОГИИ (ФОРМЫ) области в которой решается эта задача! Математики называют оператор d граничным оператором (точнее кограничным, ну не будем делать для простоты различия). Физики называют оператор d по-разному, то дивергенцией, то ротором, то градиентом. Собственно говоря и всё! Чтобы двигаться дальше необходимо описать ТОПОЛОГИЮ области посредством различных инвариантов, например, модно говорить об односвязных областях, областях с дырками, областях с границами и т.п. Дополнительно, могут возникнуть ограничения на классы рассматриваемых полей, как то, непрерывные, гладкие, кусочно-гладкие, бесконечно гладкие, аналитические, гармонические и т.п. Источники поля будут лежать на ГРАНИЦЕ области. Итак, кроме граничного ОПЕРАТОРА имеет место быть ещё ГРАНИЦА области. Между этими границами (чтобы их различать и используют приставку "ко") есть некоторая связь (двойственность), которую математики называют формулой Стокса, а физики формулой Гаусса (Стокса). В этой связи интересно то, что на границе могут быть гладкие поля только для одномерных сфер (для окружности), для трехмерных (т.е. для 4D!) и для семимерных. Это если верить Википедии. Но, наверное, для всех нечетных сфер? -------------------- Felix qui potuit rerum cognoscere causas. /Вергилий/
Апейроника - наука будущего? |
|
|
Текстовая версия | Сейчас: 26.4.2024, 22:14 |