Что такое число, Нумерология от Пифагора до наших дней Опции

[Paraligon]

Есть ещё аналоговые вычислители ...

[Равшан]

Не вижу разницы какими знаками или системами счисления выражать числа. Ну разве что для упрощения операций с ними... Так лучше сразу переходить к алгебраической записи. А,В,С... Это позволит параллельно развивать и матлогику.

Разница есть. Десятичная система записи чисел (0 - 9) нам более понятна и удобна, потому, что на руках и ногах по 10 пальцев, а еще есть свойства кратных пяти, трех, четных, нечетных. Десятичная система предоставляет немало удобств в счете, хотя у других систем 7-, 8-, 12-, 13-, 16-ричных систем есть свои преимущества для быстрого счета. Двоичная система - это пока единственная, которую возможно использовать в счетных автоматах. Какими символами записывать неважно, лишь бы было самим интуитивно понятно какие цифры какие.

Разница есть. Десятичная система записи чисел (0 - 9) нам более понятна и удобна, потому, что на руках и ногах по 10 пальцев, а еще есть свойства кратных пяти, трех, четных, нечетных.

Суть то от этого не меняется. Реки текут как и текли при любой системе счета. Я не вижу смысла в обсуждении этого. Число это количество,как и написано в энциклопедии. И дальше, чем оно принципиально является,как говорится не плюнешь. Есть только одно не указанное в энциклопедиях. Число это количество равнозначных единиц,но это его свойство принимается по умолчанию и как бы всем вокруг понятно. Число подчинено эталону. Время,метры,килограммы,джоули,байты и т.д.

[Равшан]

Разница есть. Десятичная система записи чисел (0 - 9) нам более понятна и удобна, потому, что на руках и ногах по 10 пальцев, а еще есть свойства кратных пяти, трех, четных, нечетных.

Суть то от этого не меняется. Реки текут как и текли при любой системе счета. Я не вижу смысла в обсуждении этого. Число это количество,как и написано в энциклопедии. И дальше, чем оно принципиально является,как говорится не плюнешь. Есть только одно не указанное в энциклопедиях. Число это количество равнозначных единиц,но это его свойство принимается по умолчанию и как бы всем вокруг понятно. Число подчинено эталону. Время,метры,килограммы,джоули,байты и т.д.

Согласен. Все зависит от стоящих перед исследователем задач. Число представляет собой символическое представление величины. В этом его абстрактная сущность. Если число наглядно передает собой величину значения и больше от него ничего не требуется, значит нет необходимости копать дальше его природу. Но. Число принимает на себя еще отображение динамических между числами отношений - вычислений, а там его роли показателя величины уже недостаточно. В игру вступают другие свойства числа - соизмеримости, иррациональности и сходимости. Например функция выдает реультат - 100, и уже по результату она более-менее интуитивно понятна, но если результат 171 или что-то в этом роде, то функцию труднее понять, придется вдумчиво водить пальцем по всему ходу вычисления и сомневаться была ли ошибка. И это только потому, что наш ум привычно воспринимает десятичные числа, все другие - это просто другие числа.

[Paraligon]

Для того, чтобы «уверенно и грамотно» оперировать числами приходиться вводить новые объекты, которсые уже числами не явля юбУб тся ...

[Равшан]

Ну да, эти объекты = контейнеры для чисел. И тогда оперируем не самими числами, а уже контейнерами. Но когда число ссыпано в оболочки мы облегчили себе труд, предоставив непосредственно работать с ним автомату, тем самым отгородились от него, чтобы не видеть его лица. Вот поэтому число сейчас и кажется таким странным и порождает вопросы "а что такое единица?", "а что такое число?"

[Paraligon]

Хорошее образное сравнение с контейнером, а последний ну просто обязан иметь «форму» (фигуру), о которой я выше и говорил ...

[Равшан]

Не, ну конечно подбирались наиболее подходящие символы, были удачные объединения их, но поскольку символика родственна магии, то что призывалось как способство лаконичности и ясности стало примером громоздкости и просто апофезом сложности даже для самих учителей.

[Paraligon]

Ну, я немного о другом, например, есть действительные и натуральные числа ...натуральные числа являются действительными ...но форма у их разная, скажем, действительные числа ассоциируются с прямой линией, а натуральные числа - см. тему об открытии Хренова ...

Если копнуть глубже, то вся математика как бы нанизана своими формами на то, что мы называем числами ...

Конечно, и индивидуальное число есть «монада», даже если оно целое ...

Можно конечно и далее развивать тему про число. Как выделяется единица почему и зачем,но все это прописные истины и в теме они уже были озвучены. Далее идет обозначение причины и следствия и это уже совсем другая опера. Если топикстартер не против,то можно и в этом поковыряться конечно.

[Равшан]

Ну, я немного о другом, например, есть действительные и натуральные числа ...натуральные числа являются действительными ...но форма у их разная, скажем, действительные числа ассоциируются с прямой линией, а натуральные числа - см. тему об открытии Хренова ...

Если копнуть глубже, то вся математика как бы нанизана своими формами на то, что мы называем числами ...

Конечно, и индивидуальное число есть «монада», даже если оно целое ...

Действительное число - это множество вещественных чисел, представленное рациональными и иррациональными числами.
википедия:

Иррациона́льное число́ — это вещественное число, которое не является рациональным, то есть которое не может быть представленным в виде дроби , где — целое число, — натуральное число. Представляет собой бесконечную непериодическую десятичную дробь. О существовании иррациональных чисел, точнее отрезков, несоизмеримых с отрезком единичной длины, знали уже древние математики: им была известна, например, несоизмеримость диагонали и стороны квадрата, что равносильно иррациональности числа .

Такое же определение иррациональных во всех справочниках. То есть сначала определяются рациональные как дроби целых, а затем иррациональные - как "которые не рациональные". А говорите, математики не любят исключающих определений.

*пш-пщ. Вы говорили даже не об определении, а о доказательстве "от противного".
** Кстати у древних, в частности у Евклида не является иррациональным. Диагональные величины у него соизмеримы, но в степени. Вся его десятая книга - это разбор рациональных и иррациональных соизмеримостей.

Равшан

Слишком доверчивые суждения. Здесь что ни слово, то термин. В математике всякий термин имеет определение. Поэтому, когда составляются фразы при обсуждении фильма (скажем), то метафоры, синонимы и переносный смысл, используют. В математике всё вычисляется. И высказывания вычисляются тоже, с помощью правил исчисления высказываний. Иначе на каком основании у претендента на степень комиссия заворачивает его работу с доказательством того-и-того-то? На основании, например, того, что утверждения пропонента не следуют из его условия. Или, что в доказательстве пробел. Или доказательство содержит одну из известных логических ошибок. Но суть здесь одна, и пропонент с этим не спорит, как это делают на политических ток-шоу, где говорят кухонным языком. Логически, его высказывание вычислено как неопределенное или ложное. И всё.

Если под термином А в начале рассуждения определили высказывание Б, то в процессе рассуждения нельзя применить синоним Ц вместо А.

Если Ц не определено, то вычислить истинностное значение не представляется возможным, и вся фраза становится обычным житейско-бытовым пустословием.

Если Ц определено иначе, то это софизм или непреднамеренная ошибка.

Если же Ц определено и определение дословно совпадает с Б, то А и Ц это одна и та же фигура (речи).

Наверное, не раз встречали фразу: если одна фигура поточечно совпадает с другой фигурой, то это одна и та же фигура.

Но как-то я уже спрашивал, в Вашей теме про окружность. Пусть дана линия AB. На линии АВ в точке А радиусом r построена окружность. Доказать, что окружность любого радиуса пересекает линию AB.

[Paraligon]

Равшану: я знаю позитивное определение иррациональных чисел, конструктивно опирающееся на понятие натурального числа (см. пространство Бэра, или нульмерное пространство Бэра) ...здесь на форуме я уже рассказывал об этом (на пространстве последовательностей натуральных чисел N^N можно ввести метрику (метрика Бэра) и это пространство будет просто гомеоморфно пространству иррациональных чисел)

Определение на отрицании, которое не годится в логическом смысле, это определение существования через отрицание. Попробуйте что-нибудь простенькое сконструировать на отрицании, ну например, определение термина человек, и сразу станет всё понятно...

Отрицание, как и метод RAA, тогда законен в логическом смысле, если дано разбиение множества А, о котором что-то утверждается, на два непересекающихся множества Б и В, и составляющие в объединении снова множество А. В этом случае, мы говорим, что вот эти элементы 'а' из А все не 'б' из Б, что равносильно, они в В.

В случае с иррациональными "числами" немножко не так. Там обычный порочный круг. Сначала нужно утверждать, что существуют все числа, и в том числе иррациональные... и только затем отрицание, что иррациональные не включены в другие множества, начинает быть осмысленным. А дается шиворот-навыворот, что полностью логически незаконно.

[Равшан]

Равшан

Слишком доверчивые суждения. Здесь что ни слово, то термин. В математике всякий термин имеет определение. Поэтому, когда составляются фразы при обсуждении фильма (скажем), то метафоры, синонимы и переносный смысл, используют. В математике всё вычисляется. И высказывания вычисляются тоже, с помощью правил исчисления высказываний. Иначе на каком основании у претендента на степень комиссия заворачивает его работу с доказательством того-и-того-то? На основании, например, того, что утверждения пропонента не следуют из его условия. Или, что в доказательстве пробел. Или доказательство содержит одну из известных логических ошибок. Но суть здесь одна, и пропонент с этим не спорит, как это делают на политических ток-шоу, где говорят кухонным языком. Логически, его высказывание вычислено как неопределенное или ложное. И всё.

Со всем сказанным согласен. Речь, по моему мнению, - это зародыш математики, то есть в нас вложено природой вычислять, сочленять, расставлять, сокращать, наращивать, рассекать, умножать, делить понятия в виде слогов, слов и их символов интуитивно, без всякого напряжения, естественно, хотя внутри сознания за пределами нашего восприятия идет интенсивная работа природы.

Если под термином А в начале рассуждения определили высказывание Б, то в процессе рассуждения нельзя применить синоним Ц вместо А.

Если Ц не определено, то вычислить истинностное значение не представляется возможным, и вся фраза становится обычным житейско-бытовым пустословием.

Если Ц определено иначе, то это софизм или непреднамеренная ошибка.

Если же Ц определено и определение дословно совпадает с Б, то А и Ц это одна и та же фигура (речи).

Наверное, не раз встречали фразу: если одна фигура поточечно совпадает с другой фигурой, то это одна и та же фигура.

Конечно. Здесь еще нужно учесть вот что. Если термин Ц не противоречит суждению Б иначе, то есть поскольку термин Ц не просто омоним А, но еще связан с другим суждением Д, а это суждение Д связано с другим термином Е, которое в своем определении противоречит с Б, то тогда смысловая конструкция противоречива (а именно этот вид логического противоречия любят софисты) и неустойчива. То есть говоря нашими словами суждение имеет нехорошую ассоциативную связь.

Но как-то я уже спрашивал, в Вашей теме про окружность. Пусть дана линия AB. На линии АВ в точке А радиусом r построена окружность. Доказать, что окружность любого радиуса пересекает линию AB.

Решение задачи зависит от полноты поставленного условия. Если линия прямая и представляет собой отрезок, окружность строится в той же плоскости, где лежит линия, ее центр расположен в точке А, то есть на конце отрезка АВ и ее радиус не превышает длины АВ. То есть сама постановка вопроса сначала должна дать ответ, а доказывать нужно будет исходя из набора предварительно доказанных определений, который будет зависеть от цели исследования, то есть чего-то ради чего действительно стоит ломать голову. Причем в этом случае можно будет уже доказывать от противного, то есть "Предположим окружность не пересекает прямую АВ, а пересекает другую прямую АС, не лежащую в этой плоскости или вообще не пересекает никакую прямую..."

[Paraligon]

Равшан прав - многое о точках пересечения будет зависеть от понимания, что такое «линия», в том числе и в алгебраическом смысле ...целая математическая теория так и называется «Теория пересечений» ...алгебраическая геометрия её часть ...

[Paraligon]

И строится эта пресловутая АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ над разными числами (ПОЛЯМИ) ...конечными и бескогечными, ну а самая знаменитая теорема здесь называется ...теорема Безу ...все в школе изучали?

...теорема Безу ...все в школе изучали?

Вы издеваетесь? Это в школе не проходили.

[Paraligon]

Ну, а квадратные то уравнения вы как то научились в школе решать?

Ну, а квадратные то уравнения вы как то научились в школе решать?

Ну и что? Y=X^n; То что икс равен корню эн степени игрек разве кто в школе доказывал? Чтото не припоминаю.