Законы самоиндукции Опции

[Менде]

Электрическая самоиндукция

К законам самоиндукции следует отнести те законы, которые описывают реакцию таких элементов радиотехнических цепей, как ёмкость, индуктивность и сопротивление при гальваническом подключении к ним источников тока или напряжения. Эти законы являются основой теории электрических цепей. Результаты этой теории могут быть перенесены и на электродинамику материальных сред, т.к. такие среды могут быть представлены в виде эквивалентных схем с использованием таких элементов.
Движение зарядов в какой-либо цепи, которые заставляют их менять своё местоположение или двигаться, связано с потреблением энергии от источников питания. Процессы взаимодействия источников питания с такими структурами регулируются законами самоиндукции.
Еще раз уточним само понятие самоиндукции. Под самоиндукцией будем понимать реакцию материальных структур с неизменными параметрами на подключение к ним источников напряжения или тока. К самоиндукции отнесём также тот случай, когда при наличии подключенного источника питания или накопленной в системе энергии могут меняться ее параметры. Такую самоиндукцию будем называть параметрической. В дальнейшем будем использовать такие понятия: как генератор тока и генератор напряжения. Под идеальным генератором напряжения будем понимать такой источник, который обеспечивает на любой нагрузке заданное напряжение, внутреннее сопротивление у такого генератора равно нулю. Под идеальным генератором тока будем понимать такой источник, который обеспечивает в любой нагрузке заданный ток, внутреннее сопротивление у такого генератора равно бесконечности. Идеальных генераторов тока и напряжения в природе не существует, поскольку и генераторы тока и генераторы напряжения имеют свое внутреннее сопротивление, которое и ограничивает их возможности.
Если к тому или другому элементу цепи подключить генератор тока или напряжения, то ответной реакцией такого элемента является противодействие изменению своего начального состояния и это противодействие всегда равно приложенному действию, что соответствует третьему закону Ньютона.
Если в нашем распоряжении имеется емкость [imath]C[/imath] , и эта емкость заряжена до разности потенциалов [imath]U[/imath] , то заряд [imath]Q[/imath] , накопленный в емкости, определяется соотношением:
[dmath]{Q_{C,U}} = CU[/dmath] (1)
Заряд [imath]{Q_{C,U}}[/imath] , зависящий от величины ёмкости конденсатора и от разности потенциалов на нём, будем называть ещё потоком электрической самоиндукции.
Когда речь идет об изменении заряда, определяемого соотношением (1), то эта величина может изменяться путем изменения разности потенциалов при постоянной емкости, или изменением самой емкости при постоянной разности потенциалов, или и того и другого параметра одновременно.
Если величина емкости или разности потенциалов на ёмкости зависят от времени, то величина тока определяется соотношением:
[dmath]I = \frac{{d{Q_{C,U}}}}{{dt}} = C\frac{{dU}}{{dt}} + U\frac{{dC}}{{dt}}[/dmath]
Это выражение определяет закон электрической самоиндукции. Таким образом, ток в цепи, содержащей конденсатор, можно получить двумя способами, изменяя напряжение на конденсаторе при постоянной его ёмкости или изменяя саму ёмкость при неизменном напряжении на конденсаторе, или производить изменение обоих параметров одновременно.
Для случая, когда емкость [imath]{_1}[/imath] постоянна, получаем известное выражение для тока, текущего через емкость:
[dmath]I = {C_1}\frac{{dU}}{{dt}}[/dmath] (2)
В том случае, если изменяется емкость, и на ней поддерживается неизменное напряжение [imath]{U_1}[/imath] , имеем:
[dmath]I = {U_1}\frac{{dC}}{{dt}}[/dmath] (3)
Этот случай относиться к параметрической электрической самоиндукции, поскольку наличие тока связано с изменением такого параметра как ёмкость.
Рассмотрим следствия, вытекающие из соотношения (2).
Если к емкости подключить генератор постоянного тока [imath]{I_0}[/imath] , то напряжение на ней будет изменяться по закону:
[dmath]U = \frac{{{I_0}t}}{{{C_1}}}[/dmath] (4)
Таким образом, емкость, подключенная к источнику постоянного тока, представляет для него активное сопротивление
[dmath]R = \frac{t}{{{C_1}}}[/dmath] (5)
которое линейно зависит от времени. Следует отметить, что полученный результат является вполне очевидным, однако такие свойства ёмкости, которую принято считать реактивным элементом, ранее отмечены не были.
С физической точки зрения это понятно, т.к., чтобы заряжать емкость, источник должен расходовать энергию.
Мощность, отдаваемая источником тока, определяется в данном случае соотношением:
[dmath]P\left( t \right) = \frac{{{I_0}^2t}}{{{C_1}}}[/dmath] (6)
Энергию, накопленную емкостью за время , получим, проинтегрировав соотношение (6) по времени:
[dmath]{W_C} = \frac{{{I_0}^2{t^2}}}{{2{C_1}}}[/dmath]
Подставляя сюда значение тока из соотношения (4), получаем зависимость величины накопленной в емкости энергии от текущего значения напряжения на ней:
[dmath]{W_C} = \frac{1}{2}{C_1}{U^2}[/dmath]
Используя для рассмотренного случая понятие потока электрической индукции
[dmath]{J_U} = {C_1}U = Q\left( U \right)[/dmath] (7)
и используя соотношение (11.2), получаем:
[dmath]{I_0} = \frac{{d{J_U}}}{{dt}} = \frac{{dQ\left( U \right)}}{{dt}}[/dmath] (8)
т.е., если к постоянной емкости подключить источник постоянного тока, то величина тока будет равна производной потока ёмкостной индукции по времени.
Теперь будем поддерживать на емкости постоянное напряжение [imath]{U_1}[/imath] , а изменять саму ёмкость, тогда
[dmath]I = {U_1}\frac{{dC}}{{dt}}[/dmath] (9)

Видно, что величина
[dmath]{R_C} = {\left( {\frac{{dC}}{{dt}}} \right)^{ - 1}}[/dmath] (10)
играет роль активного сопротивления. Этот результат тоже физически понятен, т.к. при увеличении емкости увеличивается накопленная в ней энергия, и таким образом, ёмкость отбирает у источника напряжения энергию, представляя для него активную нагрузку. Мощность, расходуемая при этом источником, определяется соотношением:
[dmath]P\left( t \right) = \frac{{dC}}{{dt}}{U_1}^2[/dmath] (11)
Из соотношения (11) видно, что в зависимости от знака производной расходуемая мощность может иметь разные знаки. Когда производная положительная, расходуемая мощность идёт на совершение внешней работы. Если производная отрицательная, то работу совершает внешний источник.
Опять, вводя понятие поток электрической индукции

[dmath]{J_C} = C{U_1} = Q\left( C \right)[/dmath]
получаем
[dmath]I = \frac{{\partial {J_C}}}{{\partial t}}[/dmath] (12)
Соотношения (8) и (12) указывают на то, что независимо от того, каким способом изменяется поток, его производная по времени всегда равна току.
Рассмотрим еще один процесс, который ранее к законам индукции не относили, однако, он подпадает под наше расширенное определение этого понятия. Из соотношения (7) видно, что если поток, т.е. заряд, оставить неизменным (будем называть этот режим режимом замороженного электрического потока), то напряжение на емкости можно изменять путем ее изменения. В этом случае будет выполняться соотношение:

[dmath]CU = {C_0}{U_0} = const[/dmath] ,

где [imath]C[/imath] и [imath]U[/imath] - текущие значения, а [imath]{C_0}[/imath] и [imath]{U_0}[/imath] - начальные значения этих параметров, имеющие место при отключении от емкости источника питания.
Напряжение на емкости и энергия, накопленная в ней, будут при этом определяться соотношениями:
[dmath]U = \frac{{{C_0}{U_0}}}{C}[/dmath] (13)
[dmath]{W_C} = {\frac{1}{2}_{}}\frac{{{{\left( {{C_0}{U_0}} \right)}^2}}}{C}[/dmath]

Естественно, что данный процесс самоиндукции может быть связан только с изменением самой емкости, и поэтому он подпадает под определение параметрической самоиндукции.
Таким образом, имеются три соотношения (8), (12) и (13), которые определяют процессы электрической самоиндукции. Будем называть их правилами электрического потока. Соотношение (8) определяет электрическую самоиндукцию, при которой отсутствуют изменения емкости, и поэтому эта самоиндукция может быть названа просто электрической самоиндукцией. Соотношения (3) и (9–11) предполагают наличие изменений емкости, поэтому процессы, соответствующие этими соотношениями, будем называть электрической параметрической самоиндукцией.


Токовая самоиндукция.

Рассмотрим процессы, происходящие в индуктивности. Введем понятие потока токовой самоиндукции
[dmath]{J_{L,I}} = LI[/dmath]
Если индуктивность закорочена, и выполнена из материала, не имеющего активного сопротивления, например из сверхпроводника, то
[dmath]{J_{L,I}} = {L_1}{I_1} = const[/dmath]
где [imath] {L_1}[/imath] и [imath]{I_1}[/imath] - какие-то начальные значения этих параметров, которые имеются в момент короткого замыкания индуктивности при наличии в ней тока.
Этот режим будем называть режимом замороженного тока. При этом выполняется соотношение:
[dmath]I = \frac{{{I_1}{L_1}}}{L}[/dmath] (1)
где [imath]I[/imath] и [imath]L[/imath] - текущие значения соответствующих параметров.
В рассмотренном режиме поток токовой индукции остается неизменным, однако, в связи с тем, что ток в индуктивности может изменяться при ее изменении, такой процесс подпадает под определение параметрической самоиндукции. Энергия, накопленная в индуктивности, при этом будет определяться соотношением
[dmath]{W_L} = \frac{1}{2}\frac{{{{\left( {{L_1}{I_1}} \right)}^2}}}{L} = \frac{1}{2}\frac{{{{(const)}^2}}}{L}[/dmath]
Напряжение на индуктивности, равно производной потока токовой индукции по времени:

[dmath]U = \frac{{d{J_{L,I}}}}{{dt}} = L\frac{{dI}}{{dt}} + I\frac{{dL}}{{dt}}[/dmath]
Рассмотрим случай, когда индуктивность [/imath]{L_1}[/imath] постоянна, тогда
[dmath]U = {L_1}\frac{{dI}}{{dt}}[/dmath] (2)
Обозначая [imath]{J_I} = {L_1}I[/imath] , получаем [/imath]U = \frac{{d{J_I}}}{{dt}}[/imath] .
Проинтегрировав выражение (2) по времени, получим:
[dmath]I = \frac{{Ut}}{{{L_1}}}[/dmath] (3)
Таким образом, индуктивность, подключенная к источнику постоянного напряжения, представляет для него активное сопротивление
[dmath]R = \frac{{{L_1}}}{t}[/dmath] (4)
которое уменьшается обратно пропорционально времени.
Мощность, расходуемая при этом источником питания, определится соотношением:
[dmath]P\left( t \right) = \frac{{{U^2}t}}{{{L_1}}}[/dmath] (5)
Эта мощность линейно зависит от времени. Проинтегрировав соотношение (5) по времени, получим энергию, накопленную в индуктивности
[dmath]{W_L} = \frac{1}{2}\frac{{{U^2}{t^2}}}{{{L_1}}}[/dmath] (6)
Подставив в выражение (6) значение напряжения из соотношения (3), получаем:
[dmath]{W_L} = \frac{1}{2}{L_1}{I^2}[/dmath]
Эта энергия может быть возвращена из индуктивности во внешнюю цепь, если индуктивность отключить от источника питания и подключить к ней активное сопротивление.
Теперь рассмотрим случай, когда ток [imath]{I_1}[/imath] , протекающий через индуктивность, постоянен, а сама индуктивность может изменяться. В этом случае получаем соотношение
[dmath]U = {I_1}\frac{{dL}}{{dt}}[/dmath] (7)
Таким образом, величина[dmath]R\left( t \right) = \frac{{dL}}{{dt}}[/dmath] (8)
играет роль активного сопротивления. Как и в случае электрического потока, активное сопротивление может быть (в зависимости от знака производной), как положительным, так и отрицательным. Это означает, что индуктивность может, как получать энергию извне, так и отдавать её во внешние цепи.
Вводя обозначение [imath]{J_L} = L{I_1}[/imath] и, учитывая (7), получаем:
[dmath]U = \frac{{d{J_L}}}{{dt}}[/dmath] (9)
Соотношения (1), (6) и (9) будем называть правилами токовой самоиндукции, или правилами потока токовой самоиндукции. Из соотношений (6) и (9) видно, что, как и в случае с электрическим потоком, способ изменения токового потока не влияет на конечный результат, и его производная по времени всегда равна приложенной разности потенциалов. Соотношение (6) определяет токовую самоиндукцию, при которой отсутствуют изменения индуктивности, и поэтому она может быть названа просто токовой самоиндукцией. Соотношения (7,8) предполагают наличие изменений индуктивности, поэтому процессы, описываемые этими соотношениями, будем называть токовой параметрической самоиндукцией.

Новый способ получения волнового уравнения

Рассмотрим процессы, происходящих в длинных линиях, в которых емкость и индуктивность являются распределенными параметрами. Будем считать, что погонная емкость и индуктивность такой линии равны соответственно [imath]{C_0}[/imath] и [imath]{L_0}[/imath] . Если к такой линии подключить источник постоянного напряжения [imath]{U_1}[/imath] , то его фронт будет распространяться в линии с какой-то скоростью [imath]v[/imath] , и текущая координата этого фронта определится соотношением [imath]z = vt[/imath] . При этом суммарная величина заряженной ёмкости и величина суммарной индуктивности, по которой протекает ток, отсчитываемые от начала линии до места нахождения фронта напряжения, будут изменяться по закону:
[dmath] C(t) = z{C_0} = v{t_{}}{C_0}[/dmath]
[dmath]L(t) = z{L_0} = v{t_{}}{L_0}[/dmath]
Источник напряжения [imath]{U_1}[/imath] будет при этом заряжать увеличивающуюся емкость линии, для чего от источника к заряжаемой линии должен течь ток:
[dmath]{I_1} = {U_1}\frac{{dC(t)}}{{dt}} = v{U_1}{C_0}[/dmath] (1)
Этот ток будет течь через проводники линии, обладающие индуктивностью. Но, поскольку индуктивность линии в связи с движением фронта напряжения, тоже увеличивается, то на ней будет наблюдаться падение напряжения:
[dmath]U = {I_1}\frac{{dL(t)}}{{dt}} = v{I_1}{L_0} = {v^2}{U_1}{C_0}{L_0}[/dmath]
Но падение напряжения на проводниках линии по абсолютной величине равно напряжению, приложенному к её входу, поэтому в последнем выражении следует положить [imath]U = {U_1}[/imath] . С учетом этого сразу находим, что скорость движения фронта напряжения при заданных погонных параметрах и при наличии на входе линии постоянного напряжения [imath]{U_1}[/imath] должна составлять
[dmath]v = \frac{1}{{\sqrt {{L_0}{C_0}} }}[/dmath] (2)
Это выражение соответствует скорости распространения электротоковых колебаний в самой линии. Следовательно, если к бесконечно длинной линии подключить источник напряжения, то в ней будет иметь место саморасширение и электрического и токового потоков, заполняющих линию энергией, и скорость фронта постоянного напряжения и тока будет равна скорости распространения электромагнитных колебаний в такой линии. Такую волну будем называть электротоковой. Интересно отметить, что полученный результат не зависит от вида функции [imath]U[/imath] , т.е. к линии может быть подключен как источник постоянного напряжения, так и источник, напряжение которого меняется по любому закону. Во всех этих случаях величина локального значения напряжения на входе линии будет распространяться вдоль неё со скоростью описываемой соотношением (2) . Этот результат мог быть до сих пор получен только путём решения волнового уравнения, но в данном случае он указывает на физическую причину такого распространения, и даёт физическую картину самого процесса. Он показывает, что сам процесс распространения связан с энергетическими процессами заполнения линии электрической и токовой энергией. Этот процесс происходит таким образом, что фронт волны, распространяясь со скоростью [imath]v[/imath] , оставляет за собой линию, заряженную до разности потенциалов [imath]{U_1}[/imath] , что соответствует заполнению линии электростатической энергией электрического поля. На участке же линии от источника напряжения и до фронта волны течет ток [imath]{I_1}[/imath] , что соответствует заполнению линии на этом участке энергией, которая связана с движением зарядов по проводникам линии, обладающих индуктивностью.
Величину тока в линии можно получить, подставив значения скорости распространения фронта волны, определяемого соотношением (2), в соотношение (1). Сделав эту подстановку, получим
[dmath]{I_1} = {U_1}\sqrt {\frac{{{C_0}}}{{{L_0}}}} [/dmath]
где [imath]Z = \sqrt {\frac{{{L_0}}}{{{C_0}}}} [/imath] - волновое сопротивление линии.
В данном случае
[dmath]{U_1} = {I_{}}\frac{{dL}}{{dt}} = \frac{{d{J_L}}}{{dt}}[/dmath]
Так точно
[dmath]{I_1} = {U_1}\frac{{dC}}{{dt}} = \frac{{d{J_C}}}{{dt}}[/dmath]
Видно, что правила потока и для электрической и для токовой самоиндукции соблюдаются и в этом случае.
Таким образом, процессы распространения разности потенциалов вдоль проводников длинной линии и постоянного тока в ней являются связанными и взаимно дополняющими друг друга, и существовать друг без друга не могут. Такой процесс можно называть электротоковой самопроизвольной параметрической самоиндукцией. Такое название связано с тем, что расширение потоков происходят самопроизвольно и характеризует скорость процесса заполнения линии энергией. Из выше изложенного становится понятной связь между энергетическими процессами и скоростью распространения фронтов волны в длинных линиях. Поскольку при излучении электромагнитных волн свободное пространство тоже является передающей линией, то подобные законы должны характеризовать и распространение в таком пространстве.
Что будет, например, в том случае, если в качестве одного из проводников длинной линии взять спираль, или как это принято называть, длинный соленоид. Очевидно, в этом случае скорость распространения фронта напряжения в такой линии уменьшится, поскольку погонная индуктивность линии увеличится. При этом такому распространению будет сопутствовать процесс распространения не только внешних, по отношению к соленоиду полей и токов, но и процесс распространения магнитного потока внутри самого соленоида и скорость распространения такого потока будет равна скорости распространения электромагнитной волны в самой линии.
Зная ток и напряжение в линии, можно вычислить удельную энергию, заключенную в погонной ёмкости и индуктивности линии. Эти энергии будут определяться соотношениями:
[dmath]{W_C} = \frac{1}{2}{C_0}{U_1}^2[/dmath] (3)
[dmath]{W_L} = \frac{1}{2}{L_0}{I_1}^2[/dmath] (4)

Нетрудно видеть, что [imath]{W_C} = {W_L}[/imath] .
Теперь обсудим вопрос о длительности фронта электротоковой волны и о том, какое пространство этот фронт будет занимать в самой линии. Ответ на первый вопрос определяется свойствами самого источника напряжения, т.к. локальная производная [imath]\frac{{\partial U}}{{\partial t}}[/imath] на входе линии зависит от переходных процессов в самом источнике и в том устройстве, при помощи которого такой источник подключается к линии. Если процесс установления напряжения на входе линии будет длиться какое-то время [imath]\Delta t[/imath] , то в линии он займет участок длиной [imath]v\Delta t[/imath] . Если к линии приложить напряжение, меняющееся со временем по закону [imath]U\left( t \right) [/imath] , то это же значение функции будет наблюдаться в любой точке линии на расстоянии [dmath]z[/dmath] от ее начала с запаздыванием [imath]t = \frac{z}{v}[/imath] . Таким образом, функция
[dmath]U\left( {t,z} \right) = U\left( {t - \frac{z}{v}} \right) [/dmath] (5)
может быть названа функцией распространения, т.к. она устанавливает связь между локальными временными и пространственными значениями функции в линии. Длинная линия является устройством, которое локальные производные напряжения по времени на входе линии превращает в пространственные производные в самой линии. На основании функции распространения (5) можно установить связь между локальными и пространственными производными в длинной линии. Очевидно, что
[dmath]\frac{{\partial U(z)}}{{\partial z}} = {\frac{1}{v}_{}}\frac{{\partial U(t)}}{{\partial t}}[/dmath]
Важно отметить, что сам процесс распространения в данном случае обязан естественному саморасширению электрического поля и тока в линии, и он подчиняется правилам параметрической самоиндукции. Во-вторых, для решения волновых уравнений длинных линий
[dmath]\begin{gathered}
\frac{{{\partial ^2}U}}{{\partial {z^2}}} = {\frac{1}{{{v^2}}}_{}}\frac{{{\partial ^2}U}}{{\partial {t^2}}} \hfill \\
\frac{{{\partial ^2}I}}{{\partial {z^2}}} = {\frac{1}{{{v^2}}}_{}}\frac{{{\partial ^2}I}}{{\partial {t^2}}} \hfill \\
\end{gathered} [/dmath] (6)
полученных из телеграфных уравнений
[dmath]\begin{gathered}
\frac{{\partial U}}{{\partial z}} = - {L_{}}\frac{{\partial I}}{{\partial t}} \hfill \\
\frac{{\partial I}}{{\partial z}} = - {C_{}}\frac{{\partial U}}{{\partial t}} \hfill \\
\end{gathered} [/dmath]
требуется знание вторых производных напряжений и токов.
Но как быть, если на вход линии подаётся напряжение, у которого вторая производная равна нулю (случай, когда напряжение источника меняется по линейному закону)? Ответа на этот вопрос уравнения (6) не дают. Используемый же метод даёт ответ и на этот вопрос.

[diver]

Электрическая самоиндукция

К законам самоиндукции следует отнести те законы, которые описывают реакцию таких элементов радиотехнических цепей, как ёмкость, индуктивность и сопротивление при гальваническом подключении к ним источников тока или напряжения. Эти законы являются основой теории электрических цепей. Результаты этой теории могут быть перенесены и на электродинамику материальных сред, т.к. такие среды могут быть представлены в виде эквивалентных схем с использованием таких элементов.
Движение зарядов в какой-либо цепи, которые заставляют их менять своё местоположение или двигаться, связано с потреблением энергии от источников питания. Процессы взаимодействия источников питания с такими структурами регулируются законами самоиндукции.
Еще раз уточним само понятие самоиндукции. Под самоиндукцией будем понимать реакцию материальных структур с неизменными параметрами на подключение к ним источников напряжения или тока. К самоиндукции отнесём также тот случай, когда при наличии подключенного источника питания или накопленной в системе энергии могут меняться ее параметры. Такую самоиндукцию будем называть параметрической. В дальнейшем будем использовать такие понятия: как генератор тока и генератор напряжения. Под идеальным генератором напряжения будем понимать такой источник, который обеспечивает на любой нагрузке заданное напряжение, внутреннее сопротивление у такого генератора равно нулю. Под идеальным генератором тока будем понимать такой источник, который обеспечивает в любой нагрузке заданный ток, внутреннее сопротивление у такого генератора равно бесконечности. Идеальных генераторов тока и напряжения в природе не существует, поскольку и генераторы тока и генераторы напряжения имеют свое внутреннее сопротивление, которое и ограничивает их возможности.
Если к тому или другому элементу цепи подключить генератор тока или напряжения, то ответной реакцией такого элемента является противодействие изменению своего начального состояния и это противодействие всегда равно приложенному действию, что соответствует третьему закону Ньютона.
Если в нашем распоряжении имеется емкость [imath]C[/imath] , и эта емкость заряжена до разности потенциалов [imath]U[/imath] , то заряд [imath]Q[/imath] , накопленный в емкости, определяется соотношением:
[dmath]{Q_{C,U}} = CU[/dmath] (1)
Заряд [imath]{Q_{C,U}}[/imath] , зависящий от величины ёмкости конденсатора и от разности потенциалов на нём, будем называть ещё потоком электрической самоиндукции.
Когда речь идет об изменении заряда, определяемого соотношением (1), то эта величина может изменяться путем изменения разности потенциалов при постоянной емкости, или изменением самой емкости при постоянной разности потенциалов, или и того и другого параметра одновременно.
Если величина емкости или разности потенциалов на ёмкости зависят от времени, то величина тока определяется соотношением:
[dmath]I = \frac{{d{Q_{C,U}}}}{{dt}} = C\frac{{dU}}{{dt}} + U\frac{{dC}}{{dt}}[/dmath]
Это выражение определяет закон электрической самоиндукции. Таким образом, ток в цепи, содержащей конденсатор, можно получить двумя способами, изменяя напряжение на конденсаторе при постоянной его ёмкости или изменяя саму ёмкость при неизменном напряжении на конденсаторе, или производить изменение обоих параметров одновременно.
Для случая, когда емкость [imath]{_1}[/imath] постоянна, получаем известное выражение для тока, текущего через емкость:
[dmath]I = {C_1}\frac{{dU}}{{dt}}[/dmath] (2)
В том случае, если изменяется емкость, и на ней поддерживается неизменное напряжение [imath]{U_1}[/imath] , имеем:
[dmath]I = {U_1}\frac{{dC}}{{dt}}[/dmath] (3)
Этот случай относиться к параметрической электрической самоиндукции, поскольку наличие тока связано с изменением такого параметра как ёмкость.
Рассмотрим следствия, вытекающие из соотношения (2).
Если к емкости подключить генератор постоянного тока [imath]{I_0}[/imath] , то напряжение на ней будет изменяться по закону:
[dmath]U = \frac{{{I_0}t}}{{{C_1}}}[/dmath] (4)
Таким образом, емкость, подключенная к источнику постоянного тока, представляет для него активное сопротивление
[dmath]R = \frac{t}{{{C_1}}}[/dmath] (5)
которое линейно зависит от времени. Следует отметить, что полученный результат является вполне очевидным, однако такие свойства ёмкости, которую принято считать реактивным элементом, ранее отмечены не были.
С физической точки зрения это понятно, т.к., чтобы заряжать емкость, источник должен расходовать энергию.
Мощность, отдаваемая источником тока, определяется в данном случае соотношением:
[dmath]P\left( t \right) = \frac{{{I_0}^2t}}{{{C_1}}}[/dmath] (6)
Энергию, накопленную емкостью за время , получим, проинтегрировав соотношение (6) по времени:
[dmath]{W_C} = \frac{{{I_0}^2{t^2}}}{{2{C_1}}}[/dmath]
Подставляя сюда значение тока из соотношения (4), получаем зависимость величины накопленной в емкости энергии от текущего значения напряжения на ней:
[dmath]{W_C} = \frac{1}{2}{C_1}{U^2}[/dmath]
Используя для рассмотренного случая понятие потока электрической индукции
[dmath]{J_U} = {C_1}U = Q\left( U \right)[/dmath] (7)
и используя соотношение (11.2), получаем:
[dmath]{I_0} = \frac{{d{J_U}}}{{dt}} = \frac{{dQ\left( U \right)}}{{dt}}[/dmath] (8)
т.е., если к постоянной емкости подключить источник постоянного тока, то величина тока будет равна производной потока ёмкостной индукции по времени.
Теперь будем поддерживать на емкости постоянное напряжение [imath]{U_1}[/imath] , а изменять саму ёмкость, тогда
[dmath]I = {U_1}\frac{{dC}}{{dt}}[/dmath] (9)

Видно, что величина
[dmath]{R_C} = {\left( {\frac{{dC}}{{dt}}} \right)^{ - 1}}[/dmath] (10)
играет роль активного сопротивления. Этот результат тоже физически понятен, т.к. при увеличении емкости увеличивается накопленная в ней энергия, и таким образом, ёмкость отбирает у источника напряжения энергию, представляя для него активную нагрузку. Мощность, расходуемая при этом источником, определяется соотношением:
[dmath]P\left( t \right) = \frac{{dC}}{{dt}}{U_1}^2[/dmath] (11)
Из соотношения (11) видно, что в зависимости от знака производной расходуемая мощность может иметь разные знаки. Когда производная положительная, расходуемая мощность идёт на совершение внешней работы. Если производная отрицательная, то работу совершает внешний источник.
Опять, вводя понятие поток электрической индукции

[dmath]{J_C} = C{U_1} = Q\left( C \right)[/dmath]
получаем
[dmath]I = \frac{{\partial {J_C}}}{{\partial t}}[/dmath] (12)
Соотношения (8) и (12) указывают на то, что независимо от того, каким способом изменяется поток, его производная по времени всегда равна току.
Рассмотрим еще один процесс, который ранее к законам индукции не относили, однако, он подпадает под наше расширенное определение этого понятия. Из соотношения (7) видно, что если поток, т.е. заряд, оставить неизменным (будем называть этот режим режимом замороженного электрического потока), то напряжение на емкости можно изменять путем ее изменения. В этом случае будет выполняться соотношение:

[dmath]CU = {C_0}{U_0} = const[/dmath] ,

где [imath]C[/imath] и [imath]U[/imath] - текущие значения, а [imath]{C_0}[/imath] и [imath]{U_0}[/imath] - начальные значения этих параметров, имеющие место при отключении от емкости источника питания.
Напряжение на емкости и энергия, накопленная в ней, будут при этом определяться соотношениями:
[dmath]U = \frac{{{C_0}{U_0}}}{C}[/dmath] (13)
[dmath]{W_C} = {\frac{1}{2}_{}}\frac{{{{\left( {{C_0}{U_0}} \right)}^2}}}{C}[/dmath]

Естественно, что данный процесс самоиндукции может быть связан только с изменением самой емкости, и поэтому он подпадает под определение параметрической самоиндукции.
Таким образом, имеются три соотношения (8), (12) и (13), которые определяют процессы электрической самоиндукции. Будем называть их правилами электрического потока. Соотношение (8) определяет электрическую самоиндукцию, при которой отсутствуют изменения емкости, и поэтому эта самоиндукция может быть названа просто электрической самоиндукцией. Соотношения (3) и (9–11) предполагают наличие изменений емкости, поэтому процессы, соответствующие этими соотношениями, будем называть электрической параметрической самоиндукцией.


Токовая самоиндукция.

Рассмотрим процессы, происходящие в индуктивности. Введем понятие потока токовой самоиндукции
[dmath]{J_{L,I}} = LI[/dmath]
Если индуктивность закорочена, и выполнена из материала, не имеющего активного сопротивления, например из сверхпроводника, то
[dmath]{J_{L,I}} = {L_1}{I_1} = const[/dmath]
где [imath] {L_1}[/imath] и [imath]{I_1}[/imath] - какие-то начальные значения этих параметров, которые имеются в момент короткого замыкания индуктивности при наличии в ней тока.
Этот режим будем называть режимом замороженного тока. При этом выполняется соотношение:
[dmath]I = \frac{{{I_1}{L_1}}}{L}[/dmath] (1)
где [imath]I[/imath] и [imath]L[/imath] - текущие значения соответствующих параметров.
В рассмотренном режиме поток токовой индукции остается неизменным, однако, в связи с тем, что ток в индуктивности может изменяться при ее изменении, такой процесс подпадает под определение параметрической самоиндукции. Энергия, накопленная в индуктивности, при этом будет определяться соотношением
[dmath]{W_L} = \frac{1}{2}\frac{{{{\left( {{L_1}{I_1}} \right)}^2}}}{L} = \frac{1}{2}\frac{{{{(const)}^2}}}{L}[/dmath]
Напряжение на индуктивности, равно производной потока токовой индукции по времени:

[dmath]U = \frac{{d{J_{L,I}}}}{{dt}} = L\frac{{dI}}{{dt}} + I\frac{{dL}}{{dt}}[/dmath]
Рассмотрим случай, когда индуктивность [/imath]{L_1}[/imath] постоянна, тогда
[dmath]U = {L_1}\frac{{dI}}{{dt}}[/dmath] (2)
Обозначая [imath]{J_I} = {L_1}I[/imath] , получаем [/imath]U = \frac{{d{J_I}}}{{dt}}[/imath] .
Проинтегрировав выражение (2) по времени, получим:
[dmath]I = \frac{{Ut}}{{{L_1}}}[/dmath] (3)
Таким образом, индуктивность, подключенная к источнику постоянного напряжения, представляет для него активное сопротивление
[dmath]R = \frac{{{L_1}}}{t}[/dmath] (4)
которое уменьшается обратно пропорционально времени.
Мощность, расходуемая при этом источником питания, определится соотношением:
[dmath]P\left( t \right) = \frac{{{U^2}t}}{{{L_1}}}[/dmath] (5)
Эта мощность линейно зависит от времени. Проинтегрировав соотношение (5) по времени, получим энергию, накопленную в индуктивности
[dmath]{W_L} = \frac{1}{2}\frac{{{U^2}{t^2}}}{{{L_1}}}[/dmath] (6)
Подставив в выражение (6) значение напряжения из соотношения (3), получаем:
[dmath]{W_L} = \frac{1}{2}{L_1}{I^2}[/dmath]
Эта энергия может быть возвращена из индуктивности во внешнюю цепь, если индуктивность отключить от источника питания и подключить к ней активное сопротивление.
Теперь рассмотрим случай, когда ток [imath]{I_1}[/imath] , протекающий через индуктивность, постоянен, а сама индуктивность может изменяться. В этом случае получаем соотношение
[dmath]U = {I_1}\frac{{dL}}{{dt}}[/dmath] (7)
Таким образом, величина[dmath]R\left( t \right) = \frac{{dL}}{{dt}}[/dmath] (8)
играет роль активного сопротивления. Как и в случае электрического потока, активное сопротивление может быть (в зависимости от знака производной), как положительным, так и отрицательным. Это означает, что индуктивность может, как получать энергию извне, так и отдавать её во внешние цепи.
Вводя обозначение [imath]{J_L} = L{I_1}[/imath] и, учитывая (7), получаем:
[dmath]U = \frac{{d{J_L}}}{{dt}}[/dmath] (9)
Соотношения (1), (6) и (9) будем называть правилами токовой самоиндукции, или правилами потока токовой самоиндукции. Из соотношений (6) и (9) видно, что, как и в случае с электрическим потоком, способ изменения токового потока не влияет на конечный результат, и его производная по времени всегда равна приложенной разности потенциалов. Соотношение (6) определяет токовую самоиндукцию, при которой отсутствуют изменения индуктивности, и поэтому она может быть названа просто токовой самоиндукцией. Соотношения (7,8) предполагают наличие изменений индуктивности, поэтому процессы, описываемые этими соотношениями, будем называть токовой параметрической самоиндукцией.

Новый способ получения волнового уравнения

Рассмотрим процессы, происходящих в длинных линиях, в которых емкость и индуктивность являются распределенными параметрами. Будем считать, что погонная емкость и индуктивность такой линии равны соответственно [imath]{C_0}[/imath] и [imath]{L_0}[/imath] . Если к такой линии подключить источник постоянного напряжения [imath]{U_1}[/imath] , то его фронт будет распространяться в линии с какой-то скоростью [imath]v[/imath] , и текущая координата этого фронта определится соотношением [imath]z = vt[/imath] . При этом суммарная величина заряженной ёмкости и величина суммарной индуктивности, по которой протекает ток, отсчитываемые от начала линии до места нахождения фронта напряжения, будут изменяться по закону:
[dmath] C(t) = z{C_0} = v{t_{}}{C_0}[/dmath]
[dmath]L(t) = z{L_0} = v{t_{}}{L_0}[/dmath]
Источник напряжения [imath]{U_1}[/imath] будет при этом заряжать увеличивающуюся емкость линии, для чего от источника к заряжаемой линии должен течь ток:
[dmath]{I_1} = {U_1}\frac{{dC(t)}}{{dt}} = v{U_1}{C_0}[/dmath] (1)
Этот ток будет течь через проводники линии, обладающие индуктивностью. Но, поскольку индуктивность линии в связи с движением фронта напряжения, тоже увеличивается, то на ней будет наблюдаться падение напряжения:
[dmath]U = {I_1}\frac{{dL(t)}}{{dt}} = v{I_1}{L_0} = {v^2}{U_1}{C_0}{L_0}[/dmath]
Но падение напряжения на проводниках линии по абсолютной величине равно напряжению, приложенному к её входу, поэтому в последнем выражении следует положить [imath]U = {U_1}[/imath] . С учетом этого сразу находим, что скорость движения фронта напряжения при заданных погонных параметрах и при наличии на входе линии постоянного напряжения [imath]{U_1}[/imath] должна составлять
[dmath]v = \frac{1}{{\sqrt {{L_0}{C_0}} }}[/dmath] (2)
Это выражение соответствует скорости распространения электротоковых колебаний в самой линии. Следовательно, если к бесконечно длинной линии подключить источник напряжения, то в ней будет иметь место саморасширение и электрического и токового потоков, заполняющих линию энергией, и скорость фронта постоянного напряжения и тока будет равна скорости распространения электромагнитных колебаний в такой линии. Такую волну будем называть электротоковой. Интересно отметить, что полученный результат не зависит от вида функции [imath]U[/imath] , т.е. к линии может быть подключен как источник постоянного напряжения, так и источник, напряжение которого меняется по любому закону. Во всех этих случаях величина локального значения напряжения на входе линии будет распространяться вдоль неё со скоростью описываемой соотношением (2) . Этот результат мог быть до сих пор получен только путём решения волнового уравнения, но в данном случае он указывает на физическую причину такого распространения, и даёт физическую картину самого процесса. Он показывает, что сам процесс распространения связан с энергетическими процессами заполнения линии электрической и токовой энергией. Этот процесс происходит таким образом, что фронт волны, распространяясь со скоростью [imath]v[/imath] , оставляет за собой линию, заряженную до разности потенциалов [imath]{U_1}[/imath] , что соответствует заполнению линии электростатической энергией электрического поля. На участке же линии от источника напряжения и до фронта волны течет ток [imath]{I_1}[/imath] , что соответствует заполнению линии на этом участке энергией, которая связана с движением зарядов по проводникам линии, обладающих индуктивностью.
Величину тока в линии можно получить, подставив значения скорости распространения фронта волны, определяемого соотношением (2), в соотношение (1). Сделав эту подстановку, получим
[dmath]{I_1} = {U_1}\sqrt {\frac{{{C_0}}}{{{L_0}}}} [/dmath]
где [imath]Z = \sqrt {\frac{{{L_0}}}{{{C_0}}}} [/imath] - волновое сопротивление линии.
В данном случае
[dmath]{U_1} = {I_{}}\frac{{dL}}{{dt}} = \frac{{d{J_L}}}{{dt}}[/dmath]
Так точно
[dmath]{I_1} = {U_1}\frac{{dC}}{{dt}} = \frac{{d{J_C}}}{{dt}}[/dmath]
Видно, что правила потока и для электрической и для токовой самоиндукции соблюдаются и в этом случае.
Таким образом, процессы распространения разности потенциалов вдоль проводников длинной линии и постоянного тока в ней являются связанными и взаимно дополняющими друг друга, и существовать друг без друга не могут. Такой процесс можно называть электротоковой самопроизвольной параметрической самоиндукцией. Такое название связано с тем, что расширение потоков происходят самопроизвольно и характеризует скорость процесса заполнения линии энергией. Из выше изложенного становится понятной связь между энергетическими процессами и скоростью распространения фронтов волны в длинных линиях. Поскольку при излучении электромагнитных волн свободное пространство тоже является передающей линией, то подобные законы должны характеризовать и распространение в таком пространстве.
Что будет, например, в том случае, если в качестве одного из проводников длинной линии взять спираль, или как это принято называть, длинный соленоид. Очевидно, в этом случае скорость распространения фронта напряжения в такой линии уменьшится, поскольку погонная индуктивность линии увеличится. При этом такому распространению будет сопутствовать процесс распространения не только внешних, по отношению к соленоиду полей и токов, но и процесс распространения магнитного потока внутри самого соленоида и скорость распространения такого потока будет равна скорости распространения электромагнитной волны в самой линии.
Зная ток и напряжение в линии, можно вычислить удельную энергию, заключенную в погонной ёмкости и индуктивности линии. Эти энергии будут определяться соотношениями:
[dmath]{W_C} = \frac{1}{2}{C_0}{U_1}^2[/dmath] (3)
[dmath]{W_L} = \frac{1}{2}{L_0}{I_1}^2[/dmath] (4)

Нетрудно видеть, что [imath]{W_C} = {W_L}[/imath] .
Теперь обсудим вопрос о длительности фронта электротоковой волны и о том, какое пространство этот фронт будет занимать в самой линии. Ответ на первый вопрос определяется свойствами самого источника напряжения, т.к. локальная производная [imath]\frac{{\partial U}}{{\partial t}}[/imath] на входе линии зависит от переходных процессов в самом источнике и в том устройстве, при помощи которого такой источник подключается к линии. Если процесс установления напряжения на входе линии будет длиться какое-то время [imath]\Delta t[/imath] , то в линии он займет участок длиной [imath]v\Delta t[/imath] . Если к линии приложить напряжение, меняющееся со временем по закону [imath]U\left( t \right) [/imath] , то это же значение функции будет наблюдаться в любой точке линии на расстоянии [dmath]z[/dmath] от ее начала с запаздыванием [imath]t = \frac{z}{v}[/imath] . Таким образом, функция
[dmath]U\left( {t,z} \right) = U\left( {t - \frac{z}{v}} \right) [/dmath] (5)
может быть названа функцией распространения, т.к. она устанавливает связь между локальными временными и пространственными значениями функции в линии. Длинная линия является устройством, которое локальные производные напряжения по времени на входе линии превращает в пространственные производные в самой линии. На основании функции распространения (5) можно установить связь между локальными и пространственными производными в длинной линии. Очевидно, что
[dmath]\frac{{\partial U(z)}}{{\partial z}} = {\frac{1}{v}_{}}\frac{{\partial U(t)}}{{\partial t}}[/dmath]
Важно отметить, что сам процесс распространения в данном случае обязан естественному саморасширению электрического поля и тока в линии, и он подчиняется правилам параметрической самоиндукции. Во-вторых, для решения волновых уравнений длинных линий
[dmath]\begin{gathered}
\frac{{{\partial ^2}U}}{{\partial {z^2}}} = {\frac{1}{{{v^2}}}_{}}\frac{{{\partial ^2}U}}{{\partial {t^2}}} \hfill \\
\frac{{{\partial ^2}I}}{{\partial {z^2}}} = {\frac{1}{{{v^2}}}_{}}\frac{{{\partial ^2}I}}{{\partial {t^2}}} \hfill \\
\end{gathered} [/dmath] (6)
полученных из телеграфных уравнений
[dmath]\begin{gathered}
\frac{{\partial U}}{{\partial z}} = - {L_{}}\frac{{\partial I}}{{\partial t}} \hfill \\
\frac{{\partial I}}{{\partial z}} = - {C_{}}\frac{{\partial U}}{{\partial t}} \hfill \\
\end{gathered} [/dmath]
требуется знание вторых производных напряжений и токов.
Но как быть, если на вход линии подаётся напряжение, у которого вторая производная равна нулю (случай, когда напряжение источника меняется по линейному закону)? Ответа на этот вопрос уравнения (6) не дают. Используемый же метод даёт ответ и на этот вопрос.

Самоиндукция. Энергия магнитного поля
Самоиндукция является важным частным случаем электромагнитной индукции, когда изменяющийся магнитный поток, вызывающий ЭДС индукции...

Самоиндукция. Энергия магнитного поля которую напрочь отрицаете. Надо быть совсем невеждой, что бы рассказывать такую чушь. Совет, познакомитесь что из себя представляет самоиндукция. http://class-fizika.narod.ru/10_20.htm и как ее вычислить, а не ёмкость конденсатора тупейшим образом.

[Дедуля]

Закон индукции прост, как правда:
Uинд = - Ldi/dt
Это по сути второй закон Ньютона - закон инерции - как нельзя мгновенно разогнать и остановить кирпич, чему противодействует сила инерции, так нельзя мгновенно разогнать и остановить ток, чему противодействует электродвижущая сила индукции.
Но в отличие от механического закона инерции, где кинетическая энергия тела не может передаваться другому без непосредственного контакта (исключение составляет гравитационное взаимодействие тел через эфир), в электродинамике существует широко используемая ВЗАИМНАЯ индуктивность близкорасположенных токов, позволяющая передавать кинетическую энергию тока в другую цепь, поскольку кинетическая энергия тока заключена не в нём самом, а в возмущённом этим током эфире, выражающемся в возникающем вокруг проводника с током магнитном поле.
А все эти ёмкости и сопротивления лишь замазывают действие индукции, добавляя упругие связи и рассеяние электрической энергии в тепловую.

[Менде]

Закон индукции прост, как правда:
Uинд = - Ldi/dt
Это по сути второй закон Ньютона - закон инерции - как нельзя мгновенно разогнать и остановить кирпич, чему противодействует сила инерции, так нельзя мгновенно разогнать и остановить ток, чему противодействует электродвижущая сила индукции.
Но в отличие от механического закона инерции, где кинетическая энергия тела не может передаваться другому без непосредственного контакта (исключение составляет гравитационное взаимодействие тел через эфир), в электродинамике существует широко используемая ВЗАИМНАЯ индуктивность близкорасположенных токов, позволяющая передавать кинетическую энергию тока в другую цепь, поскольку кинетическая энергия тока заключена не в нём самом, а в возмущённом этим током эфире, выражающемся в возникающем вокруг проводника с током магнитном поле.
А все эти ёмкости и сопротивления лишь замазывают действие индукции, добавляя упругие связи и рассеяние электрической энергии в тепловую.

Записанное соотношение это далеко не полные возможности и следствия самоиндукции. В статье рассматривается гораздо больший круг явлений, связанных с этим понятием.

[ival]

Самоиндукция. Энергия магнитного поля
Самоиндукция является важным частным случаем электромагнитной индукции, когда изменяющийся магнитный поток, вызывающий ЭДС индукции...

Самоиндукция. Энергия магнитного поля которую напрочь отрицаете. Надо быть совсем невеждой, что бы рассказывать такую чушь. Совет, познакомитесь что из себя представляет самоиндукция. http://class-fizika.narod.ru/10_20.htm и как ее вычислить, а не ёмкость конденсатора тупейшим образом.

Если уж имеет место манипуляция понятиями эл.ток и эл. поле наравне с м.поток и м.поле - требуется ввести в оборот, наравне с "электроном" и "магнитон" со всеми причитающимися ему параллельными "свойствами". И уж тогда... Даже не могу вообразить что тогда будет с и без того навороченными до безумия формальными представлениями о фикциях с виртуальностями)).

[diver]

Если уж имеет место манипуляция понятиями эл.ток и эл. поле наравне с м.поток и м.поле - требуется ввести в оборот, наравне с "электроном" и "магнитон" со всеми причитающимися ему параллельными "свойствами". И уж тогда... Даже не могу вообразить что тогда будет с и без того навороченными до безумия формальными представлениями о фикциях с виртуальностями)).

Сначала узнайте, что такое эл. ток и индукция, потом делайте выводы и умничайте. Так и быть, помогу;
Вики
Самоиндукция — это явление возникновения ЭДС индукции в проводящем контуре при изменении протекающего через контур тока. При изменении тока в контуре пропорционально меняется и магнитный поток

[Дедуля]

Записанное соотношение это далеко не полные возможности и следствия самоиндукции. В статье рассматривается гораздо больший круг явлений, связанных с этим понятием.

Это индукция в чистом виде, без привносимого конденсатором (потенциальной энергии поляризации диэлектрика) и сопротивлением (необратимым преобразованием электрической в тепловую). А вы рассматриваете то, что к индукции не имеет никакого отношения, и потому не имеет отношения к заявленной теме.
Индуктивность катушки без сердечника обязана своим существованием эфиру (μ0!!!), но вы не признаёте существования эфира, поэтому и не понимаете физики индукции, только формулами манипулировать и можете.