Вопрос к математикам, (векторный анализ - классическая теория поля) Опции

[Зиновий]

Для описания физических процессов происходящих в переменном во времени электрическом поле плоского воздушного конденсатора, исходя из соображения симметрии уравнений, Максвелл ввёл понятие "токи электрического смещения" определив их в след. виде:
j_см = ε₀∂(-gradφ)/∂t.
Где:
j_см - вектор плотности тока смещения между пластинами плоского воздушного конденсатора;
ε₀ - диэлектрическая проницаемость вакуума;
-gradφ - вектор напряжённости электрического поля между пластинами плоского воздушного конденсатора.
В результате чего первое уравнение теории электромагнетизма Максвелла для плоского воздушного электрического конденсатора приобрело след. вид:
rotB =μ₀ε₀∂(-gradφ)/∂t,
или что тоже самое:
rotB =1/с²∂(-gradφ)/∂t. (1)
Где:
B - вектор магнитной индукции;
с - скорость света в вакууме.
В силу коммутативности частных производных по пространству и по времени перепишем уравнение (1) след. образом:
rotB =1/с²grad(-∂φ/∂t) (2)
Поскольку входящая в уравнение (2) скорость света является константой внесём 1/с² как множитель
к частной производной по времени от электрического потенциала φ и в результате получаем след. окончательное выражение:
rotB = grad{1/с²(-∂φ/∂t)}. (3)
Докажем небольшую теорему.
Если ротор некоего векторного поля F по всему пространству поля включая его границы равен градиенту некоего поля ∂Ψ/∂t (т.е. равенство тождественное), то векторное поле F и поле градиента ∂Ψ/∂t оба равны нулю тождественно.

Доказательство
Дано:
rotF ≡ grad(∂Ψ/∂t); (4)
Подействуем оператором "rot" на выражение (4).
Получаем:
rotrotF ≡ rotgrad(∂Ψ/∂t).
Но ротор градиента есть тождественный ноль и след. ротор ротора вектора F тоже тождественный ноль, что означает тождественное отсутствие в пространстве векторного поля F возбудителей поля F и следовательно поле F тождественно равно нулю.
Аналогично подействуем оператором "div" на выражение (4).
Получаем:
divrotF ≡ divgrad(∂Ψ/∂t).
Но дивергенция ротора есть тождественный ноль, а след. и дивергенция градиента частной производной по времени есть тоже тождественный ноль.
Т.е. во всём пространстве поля градиент ∂Ψ/∂t нет источников поля градиента ∂Ψ/∂t и следовательно поле градиент ∂Ψ/∂t тождественно равно нулю.
Резюме
Из выражения (4), а следовательно и из выражения (3) вытекает тождественное равенство нулю магнитного поля якобы возбуждаемого, по утверждению Максвелла, токами смещения в переменном по времени электрическом поле плоского воздушного конденсатора.
Какие возражения будут у математиков?

Сообщение отредактировал Зиновий - 30.4.2019, 20:36

[Paraligon]

С точки зрения математики, вся теория поля сводится к двум соотношениям в некоторой области:

v = du

dd = 0

В первом случае, поле u называется потенциалом (различают скалярные и векторные потенциалы) поля v в заданной области,
а задача существования потенциалов, действительно Зиновий прав, является основной задачей теории поля.

Используя второе равенство, которое читается граница границы равна нулю, мы сразу находим необходимое условие существования потенциала у поля. Достаточно подействовать оператором d на первое равенство:

dv = ddu = 0, т.е.

для заданного поля v необходимым условием существования потенциала u является равенство dv = 0

Спрашивается, когда это условие dv = 0 будет достаточным условием существования потенциала u, т.е. существования такого поля u, что v = du?

Математики выяснили, что ответ на последний вопрос существенно зависит от ТОПОЛОГИИ (ФОРМЫ) области в которой решается эта задача!

Математики называют оператор d граничным оператором (точнее кограничным, ну не будем делать для простоты различия).
Физики называют оператор d по-разному, то дивергенцией, то ротором, то градиентом.

Собственно говоря и всё! Чтобы двигаться дальше необходимо описать ТОПОЛОГИЮ области посредством различных инвариантов, например, модно говорить об односвязных областях, областях с дырками, областях с границами и т.п.
Дополнительно, могут возникнуть ограничения на классы рассматриваемых полей, как то, непрерывные, гладкие, кусочно-гладкие, бесконечно гладкие, аналитические, гармонические и т.п. Источники поля будут лежать на ГРАНИЦЕ области. Итак, кроме граничного ОПЕРАТОРА имеет место быть ещё ГРАНИЦА области. Между этими границами (чтобы их различать и используют приставку "ко") есть некоторая связь (двойственность), которую математики называют формулой Стокса, а физики формулой Гаусса (Стокса).

[Зиновий]

С точки зрения математики, вся теория поля сводится к двум соотношениям в некоторой области:

v = du

dd = 0

В первом случае, поле u называется потенциалом (различают скалярные и векторные потенциалы) поля v в заданной области,
а задача существования потенциалов, действительно Зиновий прав, является основной задачей теории поля.

Не большое уточнение.
Прав Г.Гельмгольц - автор классической теории поля.
Я только применяю её с учётом её фундаментальных теорем.

Используя второе равенство, которое читается граница границы равна нулю, мы сразу находим необходимое условие существования потенциала у поля. Достаточно подействовать оператором d на первое равенство:

dv = ddu = 0, т.е.

для заданного поля v необходимым условием существования потенциала u является равенство dv = 0

Спрашивается, когда это условие dv = 0 будет достаточным условием существования потенциала u, т.е. существования такого поля u, что v = du?

Математики выяснили, что ответ на последний вопрос существенно зависит от ТОПОЛОГИИ (ФОРМЫ) области в которой решается эта задача!

Математики называют оператор d граничным оператором (точнее кограничным, ну не будем делать для простоты различия).
Физики называют оператор d по-разному, то дивергенцией, то ротором, то градиентом.

Собственно говоря и всё! Чтобы двигаться дальше необходимо описать ТОПОЛОГИЮ области посредством различных инвариантов, например, модно говорить об односвязных областях, областях с дырками, областях с границами и т.п.
Дополнительно, могут возникнуть ограничения на классы рассматриваемых полей, как то, непрерывные, гладкие, кусочно-гладкие, бесконечно гладкие, аналитические, гармонические и т.п. Источники поля будут лежать на ГРАНИЦЕ области. Итак, кроме граничного ОПЕРАТОРА имеет место быть ещё ГРАНИЦА области. Между этими границами (чтобы их различать и используют приставку "ко") есть некоторая связь (двойственность), которую математики называют формулой Стокса, а физики формулой Гаусса (Стокса).

Теперь вернёмся к конкретной задаче темы - электрическое поле плоского воздушного конденсатора.
Все геометрические размеры конденсатора ограничены.
а. Пространство однородно, изотропно и ограничено внутри конденсатора только геометрическими размерами пластин конденсатора и расстоянием между ними и не ограничено снаружи.
В этом случае по всему бесконечному пространству в точности выполняется условие:
rotrotB ≡ -μ₀rot[ε₀grad(∂φ/∂t).
Т.е. такой ток смещения создавать магнитное поле не может.
б. В случае если где-то в пространстве вне конденсатора имеется некая неоднородность по ε, то она не приведёт к возбуждению магнитного поля B т.к. ток смещения пропорционален ε, а напряжённость электрического поля -grad(∂φ/∂t) обратно пропорциональна ε.
Где ε - относительная диэлектрическая проницаемость среды.
Т.е. ток смещения не зависит от неоднородности пространства вне конденсатора и сохраняет своё градиентное свойство по всему пространству.
в. В случае, если все пространство однородно заполнено диэлектриком с неким ε, также градиентность токов смещения сохраняется.
г. Отдельный случай, когда диэлектрик заполняет только всё внутреннее пространство между пластинами конденсатора, тогда ток смещения испытывает скачок на боковой границе диэлектрика и появится магнитное поле.
Какие будут возражения?

Сообщение отредактировал Зиновий - 23.5.2019, 20:58