Операция деления на вектор, вывод и определение Опции

[Зиновий]

Широкое распространение имело утверждение, что делить на вектор нельзя.
Причём эта операция не запрещена, а не имеет строгого определения отвечающего требованию однозначности.
Вашему вниманию предлагается вывод и получение определения деления на вектор отвечающее требованию однозначности.
Будем исходить из единообразия и преемственности численной и векторной математик.
Согласно численной математики, разделить на число это значит умножить на другое число обратное делителю.
Сохраним это и для векторов.
Тогда, разделить на вектор это значит умножить на другой вектор обратный вектору делителю.
Осталось определить вектор обратный вектору делителю.
В численной математике число обратное делителю есть такое число произведение делителя на которое равно единице.
Опять же в целях сохранения единства и преемственности математик численной и векторной, положим вектор обратный вектору делителю таким, чтобы произведение вектора делителя на обратный ему вектор равнялось единице.
отсюда получаем два условия.
1. Векторное произведение вектора делителя на обратный ему вектор равно нулю.
2. Скалярное произведение вектора делителя на обратный ему вектор равно единице.
Т.е.
[B x C] = 0;

(B * C) = 1.

Где: B - вектор делитель;
C - вектор обратный вектору делителю.

Решая полученную систему уравнений получаем значение вектора обратного вектору делителю:

C = B/B²

Т.е. Вектор обратный вектору делителю равен вектору делителю делённому на квадрат модуля вектора делителя.

Отсюда получаем однозначное определение операции деления на вектор.
Определение
Чтобы разделить на вектор надо умножить на вектор делитель и разделить на квадрат модуля вектора делителя.

1/B = B/B²

[Дедуля]

Это в ВИКЕ: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%...%B8%D0%BE%D0%BD
Обращение умножения (деление)

[Dachnik]

Это в ВИКЕ: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%...%B8%D0%BE%D0%BD
Обращение умножения (деление)

Кватернио́ны это позапрошлый век.

Сейчас векторы в физике, тензоры в теории упругости. tension англ - напряженность
Тензор это силовой вектор, по шесть по каждый кубик среды [imath]\epsilon\cdot E [/imath]
относительная деформация на модуль Юнга дает напряженность по оси в кГ/см^2..
Тензоры измерялись тензометрами, сейчас по всякому.
Теория упругости это сейчас матрицы и компьютеры, у меня бедолаги был только арифмометр.

Правила определения направления вектора при делении те же, что и при умножении.

[imath]\vec V = \vec \omega \times \vec R [/imath]

[imath] \vec \omega = \frac {\vec V }{ \vec R } [/imath]

[Зиновий]

Резюмируя высказывания участников приходим к заключению:
По существу изложенного в теме определения операции деления на вектор возражений нет.

До встречи в следующей теме этого цикла.

[Равшан]

Резюмируя высказывания участников приходим к заключению:
По существу изложенного в теме определения операции деления на вектор возражений нет.

До встречи в следующей теме этого цикла.

Если Вы, Зиновий, ищете операцию, обратную векторному или скалярному произведению - то это пустая затея. При векторном перемножении двух ненормальных (неперпендикулярных) векторов получается вектор, нормальный обоим. Но если Вы разделите его на свой квадрат и умножите на один из первоначальных, то получите не второй первоначальный, а его отображение на перпендикуляр к первому в той же плоскости, то есть опять нормальный. Первоначальный ненормальный не получится.

[Зиновий]

Если Вы, Зиновий, ищете операцию, обратную векторному или скалярному произведению - то это пустая затея. При векторном перемножении двух ненормальных (неперпендикулярных) векторов получается вектор, нормальный обоим. Но если Вы разделите его на свой квадрат и умножите на один из первоначальных, то получите не второй первоначальный, а его отображение на перпендикуляр к первому в той же плоскости, то есть опять нормальный. Первоначальный ненормальный не получится.

Внимательней читайте моё сообщение.
Где Вы увидели поиск "операцию, обратную векторному или скалярному произведению"?

Сообщение отредактировал Зиновий - 27.2.2018, 22:40

[Paraligon]

Берём плоский вектор B=(cos(п/4); sin(п/4))здесь п - число пи.

Какой будет вектор 1/B =(x; y)=? согласно вашей процедуре?

[vps137]

Берём плоский вектор B=(cos(п/4); sin(п/4))здесь п - число пи.

Какой будет вектор 1/B =(x; y)=? согласно вашей процедуре?

Поскольку [imath] \mid \vec B \mid=1[/imath], то "обратный вектор" будет равен прямому.
Но понятия обратного вектора или операции деления на вектор, насколько я знаю, в векторном анализе не существует.
Арифметика касается только скаляров.

[Dachnik]

Поскольку [imath] \mid \vec B \mid=1[/imath], то "обратный вектор" будет равен прямому.
Но понятия обратного вектора или операции деления на вектор, насколько я знаю, в векторном анализе не существует.
Арифметика касается только скаляров.

Если прямой вектор [imath] \vec B [/imath]

То обратный вектор [imath] -\vec B [/imath], типа в обратную сторону.

Берем вектор линейной скорости 10 метр/сек.
Радиус 2 метр. Длина окружности 6,28*2 = 12,56 метр.

Один оборот будет за время Т = 12,56 м /10 метр/сек. = 1,256 сек.
Угловая скорость 2pi/T = 6,28/1,256 сек = 5/сек

Вектор угловой скорости[imath]\vec \omega = \frac {\vec V}{\vec R} = 5\,орт\, вектор\,\omega/сек [/imath]
Орт вектор, это единичный вектор.

[Dachnik]

Поскольку [imath] \mid \vec B \mid=1[/imath], то "обратный вектор" будет равен прямому.
Но понятия обратного вектора или операции деления на вектор, насколько я знаю, в векторном анализе не существует.
Арифметика касается только скаляров.

Если прямой вектор [imath] \vec B [/imath]

То обратный вектор [imath] -\vec B [/imath], типа в обратную сторону.

Берем вектор линейной скорости 10 метр/сек.
Радиус 2 метр. Длина окружности 6,28*2 = 12,56 метр.

Один оборот будет за время Т = 12,56 м /10 метр/сек. = 1,256 сек.
Угловая скорость 2pi/T = 6,28/1,256 сек = 5/сек

Вектор угловой скорости[imath]\vec \omega = \frac {\vec V}{\vec R} = 5\,орт\, вектор\,\omega/сек [/imath]
Орт вектор, это единичный вектор.

[Равшан]

Внимательней читайте моё сообщение.
Где Вы увидели поиск "операцию, обратную векторному или скалярному произведению"?

Деление есть процедура обратная произведению. Умножение на обратный вектор есть операция деления на этот вектор. Следовательно поиск способа деления на вектор есть поиск операции, обратной векторному умножению (произведению).

[Paraligon]

Равшан, операция определённая Зиновием, скорее, напоминает ИНВЕРСИЮ относительно некоторой сферы ...

https://ru.m.wikipedia.org/wiki/Инверсия_(геометрия)

Dachnik, если кватернионы это позапрошлый век, то седенион это век ХХ и XXI ...

https://ru.m.wikipedia.org/wiki/Седенионы

Сообщение отредактировал Paraligon - 28.2.2018, 11:18

[vps137]

Если прямой вектор [imath] \vec B [/imath]

То обратный вектор [imath] -\vec B [/imath], типа в обратную сторону.

Это вектор, равный по величине и направленный в противоположную сторону, а не обратный.

Берем вектор линейной скорости 10 метр/сек.
Радиус 2 метр. Длина окружности 6,28*2 = 12,56 метр.

Один оборот будет за время Т = 12,56 м /10 метр/сек. = 1,256 сек.
Угловая скорость 2pi/T = 6,28/1,256 сек = 5/сек

Вектор угловой скорости[imath]\vec \omega = \frac {\vec V}{\vec R} = 5\,орт\, вектор\,\omega/сек [/imath]
Орт вектор, это единичный вектор.

Нет. Угловая скорость - это вектор (псевдовектор), получаемый через векторое произведение [imath]\frac { \vec r \times \vec V}{r^2}[/imath]. Поскольку угол между r и V прямой, то величина этого вектора равна 20/2^2=5 1/с, а направление - вдоль оси вращения ( по правилу буравчика).

Сообщение отредактировал vps137 - 28.2.2018, 11:22

[Dachnik]

Выражение [imath]\frac {\vec V}{R}\cdot \frac {\vec R}{R} = \vec \omega [/imath]
пошло от кватернионов позапрошлого века, когда современного векторного анализа не было.

[imath]\frac {\vec V}{R}[/imath] вектор по направлению вектора скорости.

[imath] \frac {\vec R}{R} [/imath] единичный вектор по радиусу.

Но, направление произведения все равно определяется перемещением вектора скорости
вектору радиуса, как и при делении вектора на вектор.

Тождественность этих операция я тут показал.
Так что меня читать надо.
Но тем, которые никогда не занимались векторными операциями в физике, этого не понять.
Тем более, когда и желания нет.

Равшану надо бы знать, что для момента произвольный силы к колесу, момент определяется проекцией вектора этой силы на плоскость колеса, а затем проекцией на касательную. [imath]\vec M = \vec F \cdot\cos \beta \cdot \cos \alpha \times \vec R[/imath]



Дело в том, что осевые вектора не складываются с линейными.
Тело вращается вокруг своей оси, независимо от поступательной скорости.
И импульс не складывается с моментом импульса.
Складывается кинетическая энергия [imath]E = mV^2/2 + J\omega^2/2 [/imath], но это не вектора, физический смысл другой.

Потому, в то время, осевые вектор называли мнимыми, псевдовекторами, сейчас за бугром
образумились, только в России эта дурка остается.

[Метафизик]

Мои 5 копеек нищим математикам:

[Равшан]

Выражение [imath]\frac {\vec V}{R}\cdot \frac {\vec R}{R} = \vec \omega [/imath]
пошло от кватернионов позапрошлого века, когда современного векторного анализа не было.

А что это за величина [imath]\vec \omega [/imath]? Как она у Вас называется?

[imath]\frac {\vec V}{R}[/imath] вектор по направлению вектора скорости.

[imath] \frac {\vec R}{R} [/imath] единичный вектор по радиусу.

Но, направление произведения все равно определяется перемещением вектора скорости вектору радиуса, как и при делении вектора на вектор.

Выделенное не понял.

Тождественность этих операция я тут показал.
Так что меня читать надо.

Опять не понятно что сказано. Каких операций?

Но тем, которые никогда не занимались векторными операциями в физике, этого не понять.
Тем более, когда и желания нет.

Равшану надо бы знать, что для момента произвольный силы к колесу, момент определяется проекцией вектора этой силы на плоскость колеса, а затем проекцией на касательную. [imath]\vec M = \vec F \cdot\cos \beta \cdot \cos \alpha \times \vec R[/imath]

Откуда это у Вас взялось можете поделиться?

[Paraligon]

Конечно, требуется точная постановка задачи, которую предлагает решить Зиновий! Сейчас такой постановки здесь нет! Вот контрпример, который показывает, что на вектор можно делить. Берём комплексный тор С*= С\{0}. Любой элемент z из С* имеет обратный w = 1/z
И z и w это двумерные вектора, однако! И кто здесь говорит, что на вектор делить нельзя? ...

[vps137]

Конечно, требуется точная постановка задачи, которую предлагает решить Зиновий! Сейчас такой постановки здесь нет! Вот контрпример, который показывает, что на вектор можно делить. Берём комплексный тор С*= С\{0}. Любой элемент z из С* имеет обратный w = 1/z
И z и w это двумерные вектора, однако! И кто здесь говорит, что на вектор делить нельзя? ...

Разве там не комплексные числа? Интерпретировать их векторами можно лишь как геометрическую иллюстрацию. И то тогда это только радиус-векторы.

Из подсказки метафизика ясно, что деление, что Вы предложили, не будет обратной операцией ни для векторного умножения, ни для скалярного.

Сообщение отредактировал vps137 - 28.2.2018, 18:52

[Dachnik]

Мои 5 копеек нищим математикам:

Отдайте лохотронщику этой фотки.
Линейные и осевые вектора не складываются, потому не могут и раскладываться.
Могут только перемножаться и делится.

[Paraligon]

vps137, Валера, вы меня окончательно разочаровали ... в математике нет никаких иллюстраций ... комплексные числа С являются самым настоящим векторным пространством над полем действительных чисел и не только, но и векторным пространством над полем комплексных чисел ... т.е. такие вектора

z=(x; y)=x+iy можно уверенно умножать и делить обычным образом, учитывая лишь одно правило - что i^2 = - 1

Помните, что вектор это совсем не то, что можно изобразить стрелкой, а это объекты, которые подчиняются вполне определённым правилам (аксиомам, если угодно) ... так вот комплексные числа С всем этим аксиомам удовлетворяют, однако!

Теперь о скалярном и векторном произведениях - это не самые удачные названия для симметричной и антисимметричной биллинейной формы, соответственно и не более того ... зачем Зиновию понадобилось решать задачу о возможности существования делителей если рассматривать эти биллинейные формы как алгебраические операции, я не знаю ... пусть пояснит, может это и не праздный интерес ...