Что такое число, Нумерология от Пифагора до наших дней Опции

[Paraligon]

Зиновий, можно почитать здесь

https://www.google.ru/url?sa=t&source=w...FMa-7q5z_iVXl-C

[ORG100H]

Если Вас не затруднит, то ответьте пожалуйста на главный вопрос темы "Градиент вектора, что это?".
Очень нужно мнение квалифицированного математика.

Сразу сообщаю: квалификацию по математике мне не присваивали.

Градиентом функции [imath]f(x,y)[/imath] называется вектор [imath]g(x,y)[/imath], который, (возможно, это сюрприз?) сам есть функция от [imath](x,y)[/imath].

Координаты вектора-функции [imath]g[/imath] есть частные производные исходной функции [imath]f[/imath] по [imath]dx, dy[/imath].

Поэтому, вопрос темы "Градиент вектора, что это?" оказывается вопросом "что получится в результате дифференцирования функции?". Ответ: новая функция. А её градиент? Возможно, ещё одна функция, и т.д. пока от функции в результате дифференцирования не останется константа, а от неё — ноль.

Возьмём готовый содержательный пример. Я нашёл тетеньку-профессора:
https://youtu.be/v0_LlyVquF8?t=7m47s
В этом видео есть запутывающая нить. Человека в этой лекции ведут через дебри строительных лесов, которые составлены из стрелочек. А почему не из бантиков? -- это первое, что мы должны спросить. Нужно отбросить эти леса, и взглянуть на написанное выше, тогда можно уяснить более общую картину, более абстрактную. Никаких отдельных стрелочек в понятии вектор-функция, нет. Это может быть гладкая, непрерывная, а может, с разрывами или точками/линиями излома, какая угодно, новая функция скоростей. Видео короткое, просмотрите.

[Paraligon]

ORG100H, всё правильно, классика определяет градиент для функции нескольких переменных принимающих числовое значение, например, трёх, заданной в некоторой области классического пространства RxRxR и имеющей там частные производные по всем трём координатам ... такие функции называются скалярными функциями и мы определяем градиент скалярной функции ...

Спрашивается, а можно ли определить ГРАДИЕНТ ВЕКТОРОЗНАЧНОЙ ФУНКЦИИ (ОТОБРАЖЕНИЯ, ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ И Т.П.)? Или обобщение понятия градиента и т.п. Если можно, то как и для чего? Если нельзя, то почему нельзя?

[ORG100H]

Спрашивается, а можно ли определить ГРАДИЕНТ ВЕКТОРОЗНАЧНОЙ ФУНКЦИИ (ОТОБРАЖЕНИЯ, ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ И Т.П.)? Или обобщение понятия градиента и т.п. Если можно, то как и для чего? Если нельзя, то почему нельзя?

Да, Paraligon, можно.
В том примере у тётеньки было использовано уравнение функций: [imath]z(x,y)= x^2 - 4x + y^2 + 2y[/imath]
Понятно, что это кусок какой-то гладкой поверхности.

Координаты вектора-функции [imath]g[/imath] есть частные производные исходной функции [imath]f[/imath] по [imath]dx, dy[/imath].

В аналитическом виде координаты градиента-вектора-функции получится: [imath](2x-4,2y+2)[/imath]

Что это означает? Параметрическое задание функции:
[imath]
\left\{\begin{matrix}
z & = & C \\
u & = & 2y+2\\
v & = & 2x-4
\end{matrix}\right.
[/imath]

Это и есть наш градиент-вектор-функция. Поскольку это уравнение бомбят со стороны переменными x,y (закона изменения их в уравнении нет), то мы получим в общем случае всё-что-угодно, но на поверхности, параметрически заданной этой системой. Можно ещё раз градиент вычислить? Можно. Графиком будет точка (z,q,t)=(C,2,2).

[Зиновий]

Да, Paraligon, можно.
В том примере у тётеньки было использовано уравнение функций: [imath]z(x,y)= x^2 - 4x + y^2 + 2y[/imath]
Понятно, что это кусок какой-то гладкой поверхности.


В аналитическом виде координаты градиента-вектора-функции получится: [imath](2x-4,2y+2)[/imath]

Что это означает? Параметрическое задание функции:
[imath]
\left\{\begin{matrix}
z & = & C \\
u & = & 2y+2\\
v & = & 2x-4
\end{matrix}\right.
[/imath]

Это и есть наш градиент-вектор-функция. Поскольку это уравнение бомбят со стороны переменными x,y (закона изменения их в уравнении нет), то мы получим в общем случае всё-что-угодно, но на поверхности, параметрически заданной этой системой. Можно ещё раз градиент вычислить? Можно. Графиком будет точка (z,q,t)=(C,2,2).

Уточняю вопрос.
И так из определения имеем:
1. Градиентом называется действие векторного оператора набла на скаляр.
gradφ ≡ ∇φ.
2. Действие векторного оператора набла на вектор, согласно правилам векторного анализа возможен только в двух видах.
А именно:
а. Скалярное произведение векторного оператора набла на вектор есть дивергенция вектора
divF ≡ (∇ ⋅ F);
б. Векторное произведение векторного оператора набла на вектор есть ротор вектора.
rotF ≡ [∇ × F].
А градиент вектора, это как?

Сообщение отредактировал Зиновий - 26.2.2018, 18:57

[ORG100H]

А градиент вектора, это как?

Я так вижу, что путаница — в терминах. Термин один, но подразумеваются под ним разное.

Точка и её запись: A(Б,В,Г), где Б,В,Г это константы. Или скаляры, если нравится.
Вектор и его запись: Точка А и несовпадающая с ней точка Д.
Функция и её запись: A(z,x,y), где z,x,y это символы, за которыми подразумевают какие-то множества.

Если мы напишем f(z,x,y), то это не вектор. Если желаете подчеркнуть, что каждая пара точек в f образует вектор, можно назвать это вектор-функцией.

Разделив таким образом термины, мы разведём несовместимые объемы понятий, и путаница исчезает.

"А градиент вектора, это как?" Градиент вектора можно вычислять. Если вектор определялся на скалярном поле, то его градиент есть точка. Однако, в записи f(z,x,y) кто-то может подразумевать за символами z,x,y не множества скаляров, а множество функций, да ещё от 150 переменных, которые сами тоже функции. Это "подразумевание" есть технический приём в математике, говорят: "на таком-то шаге сделана подстановка (то есть, вместо выражения бу-бу-бу подставили букву u)" и называется это "подстановка вместо выражения с целью упрощения". Вычислив упрощённое выражение, конечно, не нули получают, и проводят обратную подстановку. В этом случае <градиент вектора> имеет смысл.

[Зиновий]

Я так вижу, что путаница — в терминах. Термин один, но подразумеваются под ним разное.

Точка и её запись: A(Б,В,Г), где Б,В,Г это константы. Или скаляры, если нравится.
Вектор и его запись: Точка А и несовпадающая с ней точка Д.
Функция и её запись: A(z,x,y), где z,x,y это символы, за которыми подразумевают какие-то множества.

Если мы напишем f(z,x,y), то это не вектор. Если желаете подчеркнуть, что каждая пара точек в f образует вектор, можно назвать это вектор-функцией.

Разделив таким образом термины, мы разведём несовместимые объемы понятий, и путаница исчезает.

"А градиент вектора, это как?" Градиент вектора можно вычислять. Иногда это бессмысленно, если вектор определялся на скалярном поле. Это нули. Однако, в записи f(z,x,y) кто-то может подразумевать за символами z,x,y не множества скаляров, а множество функций, да ещё от 150 переменных, которые сами тоже функции. Это "подразумевание" есть технический приём в математике, говорят: "на таком-то шаге сделана подстановка (то есть, вместо выражения бу-бу-бу подставили букву u)" и называется это "подстановка вместо выражения с целью упрощения". Вычислив упрощённое выражение, конечно, не нули получают, и проводят обратную подстановку. В этом случае <градиент вектора> имеет смысл.

Ещё раз уточняю вопрос.
Как должен действовать векторный оператор набла на вектор, чтобы результатом был градиент?
Где "вектор" - классическое геометрическое понятие.

[ORG100H]

Ещё раз уточняю вопрос.
Как должен действовать векторный оператор набла на вектор, чтобы результатом был градиент?
Где "вектор" - классическое геометрическое понятие.

Если интересует столь глубоко теоретический вопрос, то исчерпывающий ответ дал Paraligon. В виде ссылки на лекции. Если же к возникающим трудностям есть содержательный пример, так его и надо написать.

[vps137]

Ещё раз уточняю вопрос.
Как должен действовать векторный оператор набла на вектор, чтобы результатом был градиент?
Где "вектор" - классическое геометрическое понятие.

Очевидно, что в такой постановке нет решения. Набла действует на вектор лишь в операции скалярного умножения, получая в результате скаляр, и в операции векторного умножения, получая в результате псевдовектор Вы это отлично знаете.

С другой стороны, можно трактовать действие наблы на вектор расширительно, напр.как я Вам отвечал, понимая, что при этом мы выходим из области векторного анализа и вторгаемся в область тензорного. Результатом этого является объект, который тоже называется градиентом, но имеет смысл, отличающийся от градиента в векторном анализе.

[alal]

Тензоры
Три оператора, там ниже расписаны покомпонентные формулы для разных систем координат:

1.4.2 Spatial derivatives of a vector function
For a vector function a(x) the variation can be expressed as the inner product of the difference
vector dx and the gradient of the vector a. The latter entity is a dyad. The inner product of
the gradient operator ∇ and a is called the divergence of a. The outer product is referred to
as the rotation or curl.
When cylindrical or spherical coordinates are used, the base vectors are (partly) functions
of coordinates. Differentiaion must than be done with care.
The gradient, divergence and rotation can be written in components w.r.t. a vector basis.
The rather straightforward algebric notation can be easily elaborated. However, the use of
column/matrix notation results in shorter and more transparent expressions.
grad(a) = ∇ a ; div(a) = ∇ ·a ; rot(a) = ∇ ∗ a
 CRT.JPG ( 57.39 килобайт ) Кол-во скачиваний: 2


Еще пример
Тензор

 CRT1.JPG ( 48.35 килобайт ) Кол-во скачиваний: 0

 CRT2.JPG ( 73.64 килобайт ) Кол-во скачиваний: 1

[Зиновий]

Очевидно, что в такой постановке нет решения. Набла действует на вектор лишь в операции скалярного умножения, получая в результате скаляр, и в операции векторного умножения, получая в результате псевдовектор Вы это отлично знаете.

Спасибо.
Это то, что нужно для корректного (тождественного) решения физических задач.
Что я и продемонстрирую в последующих темах этого цикла.

С другой стороны, можно трактовать действие наблы на вектор расширительно, напр.как я Вам отвечал, понимая, что при этом мы выходим из области векторного анализа и вторгаемся в область тензорного. Результатом этого является объект, который тоже называется градиентом, но имеет смысл, отличающийся от градиента в векторном анализе.

Уверен, что при корректной росписи тензора в физическом пространстве (3D) мы получим результат тождественно совпадающий с результатом векторного анализа.
Т.к. не может быть двух правильных математик дающих два разных правильных решений одной и той же задачи.

[Зиновий]

Тензоры
Три оператора, там ниже расписаны покомпонентные формулы для разных систем координат:

1.4.2 Spatial derivatives of a vector function
For a vector function a(x) the variation can be expressed as the inner product of the difference
vector dx and the gradient of the vector a. The latter entity is a dyad. The inner product of
the gradient operator ∇ and a is called the divergence of a. The outer product is referred to
as the rotation or curl.
When cylindrical or spherical coordinates are used, the base vectors are (partly) functions
of coordinates. Differentiaion must than be done with care.
The gradient, divergence and rotation can be written in components w.r.t. a vector basis.
The rather straightforward algebric notation can be easily elaborated. However, the use of
column/matrix notation results in shorter and more transparent expressions.
grad(a) = ∇ a ; div(a) = ∇ ·a ; rot(a) = ∇ ∗ a
 CRT.JPG ( 57.39 килобайт ) Кол-во скачиваний: 2


Еще пример
Тензор

 CRT1.JPG ( 48.35 килобайт ) Кол-во скачиваний: 0

 CRT2.JPG ( 73.64 килобайт ) Кол-во скачиваний: 1

Большое спасибо за ответ.
Насколько я понял здесь речь идёт об изменении вектора при переходе из одной системы отсчёта к другой.
Но физические свойства физических объектов не зависят от выбора системы отсчёта.
След, при корректном применении ничего нового это преобразование по сравнению с векторным анализом дать не может.

[vps137]

Спасибо.
Это то, что нужно для корректного (тождественного) решения физических задач.
Что я и продемонстрирую в последующих темах этого цикла.

Уверен, что при корректной росписи тензора в физическом пространстве (3D) мы получим результат тождественно совпадающий с результатом векторного анализа.
Т.к. не может быть двух правильных математик дающих два разных правильных решений одной и той же задачи.

Конечно, это так. Но надо уметь работать с тензорами на их языке, потому что они "выползают" во множестве задач и формулами векторного анализа с ними не справиться. Напр. в теормехе - тензоры деформации, напряжений, упругости, инерции, скоростей деформации и т.п.

[Зиновий]

Конечно, это так. Но надо уметь работать с тензорами на их языке, потому что они "выползают" во множестве задач и формулами векторного анализа с ними не справиться. Напр. в теормехе - тензоры деформации, напряжений, упругости, инерции, скоростей деформации и т.п.

Отнюдь.
Теорема единственности векторного анализа - теорема Гельмгольца даёт однозначное решение для полей деформаций в общем виде.
И тензорное исчисление ничего нового дать не может, кроме возможности ошибок.

Сообщение отредактировал Зиновий - 27.2.2018, 19:26

[ORG100H]

Мое личное мнение, математику надо делить ровно на две части:
- чистая
- вычислительная

Все эти наблы-швабры гамильтонианы-обамианы-трампианы, к ним надо относиться с подозрением. Математики из разных областей едва понимают друг друга, но когда им нужно посоветоваться, они внезапно переходят на классическую терминологию и классические понятия. Чтобы работать именно в чистой математике, нужен широчайший кругозор как фундамент, и память об историческом дискурсе в интересующей области как небольшой устойчивый постамент для местного приложения своих усилий. Но часто можно видеть, как появление птичьего языка, вот этих вот новых терминов, связано отнюдь не с математическими причинами. В математике известно уже очень многое, и нет места для приложения усилий в самом низу, в элементарном. И вот тогда берут несколько известных понятий и сплавляют их в кентавров. Затем ищут, как бы этого кентавра представить публике так, чтобы она не заметила, что этот кентавр при его использовании вынужден лавировать в математике, как лыжник на горном спуске, чтобы не посшибать деревья и не обломать себе рога. Причина такого безответственного поведения математиков? Человеческая. Тщеславие. Человек-математик потратил жизнь на математику, и никакой маленькой подвижки в этой области не назвали его именем? Ой-ей, как это тоскливо.

С другой стороны, никакой чистый результат не был выведен из чистых понятий. Всегда был сначала огрызок карандаша, график, и таблица координат точек к нему, если мы берём отсчёт с Декарта. До Декарта вспомните, в чём обвиняли Архимеда. Всегда, сначала, идёт вычислительная математика, а потом приходят чистые математики. Они видят: у вычислителей всё получается, значит, практика подтверждает, здесь что-то есть. Бывает, как с Архимедом, Галилеем, Ньютоном, ... что сначала вычислитель, а потом чистый математик совмещены в одном лице. Чистые математики берутся за сложную задачу: доказать, что на множестве Икс данный метод вычислений истинный. В этой области вычислительная математика совершенно бессильна. Однако у чистых математиков весьма ненадёжный аппарат, в их аксиомах и в их первых теоремах. Поэтому они тоже лавируют как горные лыжники, пытаясь провести доказательство так, чтобы не напороться на сук. Сукам в общем-то ничего не будет, если на них напорется наш лыжник, а вот жизнь лыжника будет потрачена впустую.

Поэтому, наблы-швабры выбрасывайте в мусорную корзину. Есть понятие производная. Да и её можно выбросить. Есть разные методы конечных разностей, это вообще арифметика. Никаких новых результатов никто не получит, если не станет на классический путь. Огрызок карандаша, график, точки, таблицы координат, и... попытка заполнить дыры между точками. А что там, между точками, как раз спрашивает чистый математик.

[ORG100H]

Давайте ещё раз вспомним нашу тетеньку-профессора:
https://youtu.be/v0_LlyVquF8?t=7m47s

В этом примере у неё уравнение функций: [imath]z(x,y)= x^2 - 4x + y^2 + 2y [/imath]
Можно заставить компьютер, несколькими способами, нарисовать своими огрызками цветных карандашей эту функцию:







Здесь мы попросили машину работать своими огрызками разными методами: у нас контуры, сетка, и разноцветные лоскуты. Так из чего на самом деле состоит функция, которые вы будете вынужденно визуализировать? Из контуров или сеток? Вы видите одеяло, поднятое за концы? Не верьте глазам своим, это всё артефакты выбранного алгоритма рисования. Вот ещё одна визуализация той же функции, но: мы бомбим как в методе Монте-Карло, случайными числами:

Где сетки, лоскуты, острые концы одеяла? Это на "подумать", какой метод построения графика более общий, более абстрактный.

[Paraligon]

ORG100H, вы знаете, Господа, словно и не было рассуждений всей темы о числах здесь ... вот вспомните, что писал Станислав Улам в своей книге "Приключения математика" (кстати, он и придумал метод Монте-Карло, когда работал в атомном американском проекте), что все четыре картинки одеяла выше это всего лишь разные подходы, разные уровни абстракции одного и того же феномена ... непрерывный, гладкий, комбинаторный, случайный ... вот вам про градиент, что пишет, например, Ботт ... это уже было в теме, но повторюсь ещё раз последовательно ... да, классический градиент определяется в векторном анализе, но надо помнить с какой целью!









0-формы и есть скалярные функции в классическом гладком векторном анализе, а градиент переводит эти 0-формы в 1-формы, последние есть векторные поля ... эти векторные поля дальше ротор переводит снова в векторные поля 2-формы, а потом дивергенция переводит их дальше снова в скалярные функции в виде 3-форм (там на фото дивергенцию обрезало) ... ну, а условие что rotgrad=0 и divrot=0 позволяет определить пресловутые когомологии в этом комплексе из отображений градиента, ротора и дивергенции ... по-русский это означает, что вычисление когомологий позволяет сказать сказать когда у векторного поля есть СКАЛЯРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ, и когда есть ВЕКТОРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ или когда их нет и почему их нет!

В общем случае, роль 0-мерных форм могут играть не только СКАЛЯРНЫЕ функции, но и более абстрактные объекты (любые из четырёх одеял перечисленных ORG100H) ...

Повторю ещё раз фото, чтобы были видны все ТРИ оператора градиент, ротор и дивергенция



Сообщение отредактировал Paraligon - 28.2.2018, 0:11

[Paraligon]

Paraligon: об алгебрах фон Неймана можно послушать здесь

https://www.lektorium.tv/course/22948

Они появились в 1929 году, за год до того как Нёбелинг придумал свои пространства.

[ORG100H]

Paraligon
Пример из книжки это тропинка, которая заводит в бурелом (моё личное мнение). Но, конечно, каждый математик волен идти своим путём. Остальным решать, идти по этой тропинке за ним, или нет.

Я давал другое определение, его можно обозначить "градиент2", чтобы не путать с определением под обозначением "градиент" в теории Де Рама, из книжки.
Давайте возьмем содержательный пример для вычисления градиента. Пусть у нас есть функция "эф", которая определена на трех множествах:
месяцы на интервале [1..12],
года [1949..1960],
количество пассажиров [1..1000]
функция задаёт распределение скаляров, количеств пассажиров "зэт" какой-то авиакомпании, по месяцам "икс" и годам "игрек".
дэ-икс равно одному месяцу
дэ-игрек равно одному году
дэ-зэт равно изменению на сетке (икс,игрек)


Что будет означать градиент, по формуле из книжки, вычисленный как сложение скоростей: течения месяцев, течения лет и изменения кол-ва пассажиров?

[Paraligon]

ORG100H, графическое представление градиента выразительно ... сам по себе градиент это абстрактное понятие, в которое можно вкладывать РАЗЛИЧНЫЕ (прикладные) смыслы, например, смысл из векторного анализа, смысл их теории оптимизации, в том числе, негладкой, смысл из математической экономики и т.п. ... Зиновий предлагал нам ограничиться только векторным анализом ... математическое понятие градиента много шире ... тем более оно не замыкается на теорию размерностей физических величин ...