Вопрос к математикам, (векторный анализ - классическая теория поля) Опции

[Paraligon]

В этой связи интересно то, что на границе могут быть гладкие поля только для одномерных сфер (для окружности), для трехмерных (т.е. для 4D!) и для семимерных. Это если верить Википедии. Но, наверное, для всех нечетных сфер?

Валера, вы говорите о касательных не нулевых полях на сферах. Это теорема о "еже". Нечётномерную сферу причесать мжно, а чётномерную сферу нельзя - всегда будет макушка ...
Сфера является топологической группой только в размерностях 1, 3 и 7 ...

[vps137]

Валера, вы говорите о касательных не нулевых полях на сферах. Это теорема о "еже". Нечётномерную сферу причесать мжно, а чётномерную сферу нельзя - всегда будет макушка ...
Сфера является топологической группой только в размерностях 1, 3 и 7 ...

Последнее предложение для меня новость. Нашёл его доказательство.
Интересно. Попытаюсь разобраться.

[Зиновий]

С точки зрения математики, вся теория поля сводится к двум соотношениям в некоторой области:

v = du

dd = 0

В первом случае, поле u называется потенциалом (различают скалярные и векторные потенциалы) поля v в заданной области,
а задача существования потенциалов, действительно Зиновий прав, является основной задачей теории поля.

Не большое уточнение.
Прав Г.Гельмгольц - автор классической теории поля.
Я только применяю её с учётом её фундаментальных теорем.

Используя второе равенство, которое читается граница границы равна нулю, мы сразу находим необходимое условие существования потенциала у поля. Достаточно подействовать оператором d на первое равенство:

dv = ddu = 0, т.е.

для заданного поля v необходимым условием существования потенциала u является равенство dv = 0

Спрашивается, когда это условие dv = 0 будет достаточным условием существования потенциала u, т.е. существования такого поля u, что v = du?

Математики выяснили, что ответ на последний вопрос существенно зависит от ТОПОЛОГИИ (ФОРМЫ) области в которой решается эта задача!

Математики называют оператор d граничным оператором (точнее кограничным, ну не будем делать для простоты различия).
Физики называют оператор d по-разному, то дивергенцией, то ротором, то градиентом.

Собственно говоря и всё! Чтобы двигаться дальше необходимо описать ТОПОЛОГИЮ области посредством различных инвариантов, например, модно говорить об односвязных областях, областях с дырками, областях с границами и т.п.
Дополнительно, могут возникнуть ограничения на классы рассматриваемых полей, как то, непрерывные, гладкие, кусочно-гладкие, бесконечно гладкие, аналитические, гармонические и т.п. Источники поля будут лежать на ГРАНИЦЕ области. Итак, кроме граничного ОПЕРАТОРА имеет место быть ещё ГРАНИЦА области. Между этими границами (чтобы их различать и используют приставку "ко") есть некоторая связь (двойственность), которую математики называют формулой Стокса, а физики формулой Гаусса (Стокса).

Теперь вернёмся к конкретной задаче темы - электрическое поле плоского воздушного конденсатора.
Все геометрические размеры конденсатора ограничены.
а. Пространство однородно, изотропно и ограничено внутри конденсатора только геометрическими размерами пластин конденсатора и расстоянием между ними и не ограничено снаружи.
В этом случае по всему бесконечному пространству в точности выполняется условие:
rotrotB ≡ -μ₀rot[ε₀grad(∂φ/∂t).
Т.е. такой ток смещения создавать магнитное поле не может.
б. В случае если где-то в пространстве вне конденсатора имеется некая неоднородность по ε, то она не приведёт к возбуждению магнитного поля B т.к. ток смещения пропорционален ε, а напряжённость электрического поля -grad(∂φ/∂t) обратно пропорциональна ε.
Где ε - относительная диэлектрическая проницаемость среды.
Т.е. ток смещения не зависит от неоднородности пространства вне конденсатора и сохраняет своё градиентное свойство по всему пространству.
в. В случае, если все пространство однородно заполнено диэлектриком с неким ε, также градиентность токов смещения сохраняется.
г. Отдельный случай, когда диэлектрик заполняет только всё внутреннее пространство между пластинами конденсатора, тогда ток смещения испытывает скачок на боковой границе диэлектрика и появится магнитное поле.
Какие будут возражения?

Сообщение отредактировал Зиновий - 23.5.2019, 20:58