Градиент вектора, что это?, (математическая корректность операции!?) Опции

[vps137]

Градиент по определению есть действие оператора набла на скаляр.
1. Что такое градиент тензора?
2. Что такое градиент вектора?

Это определение градиента тензора приведено в книге Дубровина, Новикова, Фоменко Современная геометрия в самом начале гл. IV. Здесь его приводить из-за громоздкости нет смысла, потому что к нему надо было бы писать две страницы текста пояснений. Достаточно напомнить, наверное, что и скаляр, и вектор являются тоже тензорами.

[Зиновий]

Это определение градиента тензора приведено в книге Дубровина, Новикова, Фоменко Современная геометрия в самом начале гл. IV. Здесь его приводить из-за громоздкости нет смысла, потому что к нему надо было бы писать две страницы текста пояснений. Достаточно напомнить, наверное, что и скаляр, и вектор являются тоже тензорами.

Я очень уважаю указанных вами авторов, "но истина дороже".
И так из определения имеем:
1. Градиентом называется действие векторного оператора набла на скаляр.
gradφ ≡ ∇φ.
2. Действие векторного оператора набла на вектор, согласно правилам векторного анализа возможен только в двух видах.
А именно:
а. Скалярное произведение векторного оператора на вектор есть дивергенция вектора
divF ≡ (∇ ⋅ F);
б. Векторное произведение векторного оператора набла на вектор есть ротор вектора.
rotF ≡ [∇ × F].
А градиент вектора, это как?

Сообщение отредактировал Зиновий - 5.3.2018, 21:28

[Paraligon]

Зиновий, ссылка в посте #2 темы, приведённая vps137 вполне удовлетворительная ... там прямо написана формула градиента для трёхмерного векторного поля (не скалярного!) ...

Упоминая субдифференциал Кларка, я лишь хотел сказать, что это понятие градиента можно написать даже для недифференцируемых полей ... конечно он становится многозначным отображением, но тем не менее сохраняет свои основные свойства в той форме, как они формулируются для таких отображений. В содержательной форме нашего дискурса следует остановиться на варианте приведённом vps137 ... это для того, чтобы я не вздумал объявлять градиент кограничным оператором, действующим на нульмерные дифференциальные формы (скаляры) и переводящим их в одномерные дифференциальные формы некоторого коцепного комплекса ...

Так что скажите, чем вас не устроила формула vps137 (или я уже это пропустил?)?

[Зиновий]

Зиновий, ссылка в посте #2 темы, приведённая vps137 вполне удовлетворительная ... там прямо написана формула градиента для трёхмерного векторного поля (не скалярного!) ...

Упоминая субдифференциал Кларка, я лишь хотел сказать, что это понятие градиента можно написать даже для недифференцируемых полей ... конечно он становится многозначным отображением, но тем не менее сохраняет свои основные свойства в той форме, как они формулируются для таких отображений. В содержательной форме нашего дискурса следует остановиться на варианте приведённом vps137 ... это для того, чтобы я не вздумал объявлять градиент кограничным оператором, действующим на нульмерные дифференциальные формы (скаляры) и переводящим их в одномерные дифференциальные формы некоторого коцепного комплекса ...

Так что скажите, чем вас не устроила формула vps137 (или я уже это пропустил?)?

В связи с ответом vps137 я задал вопрос математикам.
Хотелось бы получить Ваш ответ.
Уточняю, речь идёт о реальных физических полях в физическом пространстве.

[vps137]

В связи с ответом vps137 я задал вопрос математикам.
Хотелось бы получить Ваш ответ.
Уточняю, речь идёт о реальных физических полях в физическом пространстве.

Мне кажется, там теорему разложения Гельмгольца можно выразить более кратко с помощью якобиана.

Как-то так. [dmath] \vec F= \delta \cdot \partial A[/dmath], где [imath]d A=0[/imath], а дельта нужна, чтобы выделить из якобиана вектор.
Док-во за Paraligonom.

Сообщение отредактировал vps137 - 16.2.2018, 5:26

[SBK]

Мне кажется, там теорему разложения Гельмгольца можно выразить более кратко с помощью якобиана.

Как-то так. [dmath] \vec F= \delta \cdot \partial A[/dmath], где [imath]d A=0[/imath], а дельта нужна, чтобы выделить из якобиана вектор.
Док-во за Paraligonom.

Это вот это Вы считаете якобианом, vps137 (№ 4)?
[dmath]\partial \vec A=\frac {\partial (A_1, A_2, A_3)}{\partial (x_1, x_2, x_3)}= \begin{pmatrix}
\partial_1 A_1 & \partial_1 A_2 & \partial_1 A_3 \\
\partial_2 A_1 & \partial_2 A_2 & \partial_2 A_3 \\
\partial_3 A_1 & \partial_3 A_2 & \partial_3 A_3
\end{pmatrix}[/dmath]
А Вы раскрывали этот определитель, чтобы там записать: "След его является дивергенцией вектора А, а недиагональные члены можно представить как ротор вектора А"?
Вот это и есть та самая абстрактная алгебра, основанная на извращении высшей математики.
Я уже не говорю, что у Вас слева стоит частный дифференциал, который равен частной производной.Так можно что угодно с формулами накрутить по внешней похожести в отдельных компонентах.
Тем более, что строгий вывод динамического градиента показывает совсем иную зависимость, а не то, что Вы нафантазировали. А потом ещё и в Гельмгольца суёте... Вот к чему приводит птичий язык.

[vps137]

Это вот это Вы считаете якобианом, vps137 (№ 4)?
[dmath]\partial \vec A=\frac {\partial (A_1, A_2, A_3)}{\partial (x_1, x_2, x_3)}= \begin{pmatrix}
\partial_1 A_1 & \partial_1 A_2 & \partial_1 A_3 \\
\partial_2 A_1 & \partial_2 A_2 & \partial_2 A_3 \\
\partial_3 A_1 & \partial_3 A_2 & \partial_3 A_3
\end{pmatrix}[/dmath]
А Вы раскрывали этот определитель, чтобы там записать: "След его является дивергенцией вектора А, а недиагональные члены можно представить как ротор вектора А"?
Вот это и есть та самая абстрактная алгебра, основанная на извращении высшей математики.
Я уже не говорю, что у Вас слева стоит частный дифференциал, который равен частной производной.Так можно что угодно с формулами накрутить по внешней похожести в отдельных компонентах.
Тем более, что строгий вывод динамического градиента показывает совсем иную зависимость, а не то, что Вы нафантазировали. А потом ещё и в Гельмгольца суёте... Вот к чему приводит птичий язык.

Нет, слева стоит градиент вектора, из-за которого весь сыр-бор, а справа - матрица Якоби, которую я ошибочно называл якобианом (точнее, так в англоязычной литературе называют и матрицу и детерминант).

Динамический градиент - как я уже отвечал, это, по-видимому, то, что называется полной производной.

[SBK]

Нет, слева стоит градиент вектора, из-за которого весь сыр-бор, а справа - матрица Якоби, которую я ошибочно называл якобианом (точнее, так в англоязычной литературе называют и матрицу и детерминант).

Динамический градиент - как я уже отвечал, это, по-видимому, то, что называется полной производной.

Во-первых,
"В частном случае m=n матрица Якоби становится квадратной и тогда ее определитель называется якобианом или определителем Якоби или функциональным определителем системы из n функций {f₁(x₁, ..., x_n) ... f_n(x₁, ..., x_n)} по переменным x₁, ..., x_n

В этом же случае след матрицы Якоби называется дивергенцией вектора (f₁,f₂,...,f_n):"
"В частном случае m_{}=1 матрица Якоби состоит из одной строки: этот вектор в Rⁿ или Cⁿ называется градиентом функции f (в точке (x₁, ..., x_n):

"
Матрица Якоби и якобиан
Во-вторых, я уже Вам показывал, что в общем случае динамический градиент не сводится к Вашей записи. Не появляется там Ваших псевдо роторов и проч. Там другие зависимости.
Так всегда бывает, когда вместо решения задач начинают абстрактную формализацию частных решений.

[vps137]

Во-первых,
"В частном случае m=n матрица Якоби становится квадратной и тогда ее определитель называется якобианом или определителем Якоби или функциональным определителем системы из n функций {f₁(x₁, ..., x_n) ... f_n(x₁, ..., x_n)} по переменным x₁, ..., x_n

В этом же случае след матрицы Якоби называется дивергенцией вектора (f₁,f₂,...,f_n):"
Матрица Якоби и якобиан
Во-вторых, я уже Вам показывал, что в общем случае динамический градиент не сводится к Вашей записи. Не появляется там Ваших псевдо роторов и проч. Там другие зависимости.
Так всегда бывает, когда вместо решения задач начинают абстрактную формализацию частных решений.

По первому замечанию уже было. По сторому - тоже.

[SBK]

По первому замечанию уже было. По сторому - тоже.

И по первому Вы так и не поняли, что есть что и куда совать, и по второму было показано, что не сводится ни к Вашему, ни к ковариантной производной. Более того, показанные диаграммы динамических полей демонстрируют, что там вообще в общем случае нельзя записать подобные уравнения из-за трансцендентных выражений.
Я же говорю, у Вас примитивная формализация частного решения, характерная для ревизионистов. Развитие только при физическом моделировании. Подобная формализация не способна учесть нюансы оригинальных моделей.
Впрочем, это Ваше дело перебирать старые кубики... :-)

[vps137]

И по первому Вы так и не поняли, что есть что и куда совать, и по второму было показано, что не сводится ни к Вашему, ни к ковариантной производной. Более того, показанные диаграммы динамических полей демонстрируют, что там вообще в общем случае нельзя записать подобные уравнения из-за трансцендентных выражений.
Я же говорю, у Вас примитивная формализация частного решения, характерная для ревизионистов. Развитие только при физическом моделировании. Подобная формализация не способна учесть нюансы оригинальных моделей.
Впрочем, это Ваше дело перебирать старые кубики... :-)

Согласен на то, чтобы Вы тоже поставили двойку за мои ответы.

[SBK]

Согласен на то, чтобы Вы тоже поставили двойку за мои ответы.

Я не оценивал Ваш ответ по баллам. То, что делаете Вы, слишком распространено, чтобы выделять в этом Вас.
Я просто сказал и показал, что этот путь тупиковый, но
"Каждый, право, имеет право
На то, что слева и то, что справа.
На черное поле, на белое поле
На вольную волю и на неволю.
В этом мире случайностей нет,
Каждый шаг оставляет след"
(Макаревич)

[vps137]

Я не оценивал Ваш ответ по баллам. То, что делаете Вы, слишком распространено, чтобы выделять в этом Вас.
Я просто сказал и показал, что этот путь тупиковый, но
"Каждый, право, имеет право
На то, что слева и то, что справа.
На черное поле, на белое поле
На вольную волю и на неволю.
В этом мире случайностей нет,
Каждый шаг оставляет след"
(Макаревич)

Поэты всегда в чем-то правы.

Эта тема началась из этого поста. Похоже, здесь мне не удалось никого убедить, поэтому я попытаюсь, наверное, сделать заметку о том, как предполагается брать ротор 4-вектора и т.п.

[SBK]

Поэты всегда в чем-то правы.

Эта тема началась из этого поста. Похоже, здесь мне не удалось никого убедить, поэтому я попытаюсь, наверное, сделать заметку о том, как предполагается брать ротор 4-вектора и т.п.

Смысл продавливать то, что не лезет? ВЫ в трёхмерии не сводите концы с концами, а лезете в четырхмерие.

[vps137]

Смысл продавливать то, что не лезет? ВЫ в трёхмерии не сводите концы с концами, а лезете в четырхмерие.

Это Ваше замечание не по теме.

Т.е. Вы допускаете, что одни и те же физические поля записанные в векторноскалярной форме и тензорной форме могут давать различные правильные результаты?
Или, если оператора набла достаточно для полного описания электрических и магнитных полей, то применение тензорного аппарата даёт избыточную и недостоверную информацию.

Это не верно. Когда на ЭМП смотрим как на единую сущность, может получиться более полное описание каждого поля.

Тогда, что Вы подразумеваете под "компонента вектора" если она лишена направления?

Это буквоедство.

Направлением обладает вектор. Компонента - нет. Она относится к одному направлению какой-нибудь оси координат, но сама по себе имеем смысл скаляра. Напр. вектор А=(1,2.3). Каждое число здесь -это компонента вектора А, скаляр.

[Зиновий]

................................................................................
Это буквоедство.

Направлением обладает вектор. Компонента - нет. Она относится к одному направлению какой-нибудь оси координат, но сама по себе имеем смысл скаляра. Напр. вектор А=(1,2.3). Каждое число здесь -это компонента вектора А, скаляр.

Вектор - понятие инвариантное и не зависит от поворота и переноса системы координат.
Его проекции, их численные значения каждой компоненты в отдельности инвариантами не являются.
То, что Вам написал по этому поводу SBK правильно, но недостаточно жёстко.
То, что Вы написали грубая геометрическая ошибка.
Но именно эта ошибка основанная на непонимании геометрического смысла координатного отображения породила в том числе и ваше четырёхмерие.

[SBK]

но недостаточно жёстко.

А можно жёстче?

Но именно эта ошибка основанная на непонимании геометрического смысла координатного отображения породила в том числе и ваше четырёхмерие.

Просто есть два пути решения задач. Первый путь основан на углублённом моделировании с учётом нюансов модели. Второй путь - "размножения" существующего представления на многомерие. Второй путь значительно проще. Потому по нему и пошли релятивисты, теория струн, теорфизическое представление ЭМ процессов, как и вся абстрактная алгебра. Кстати, и догматы классической физики не отстают, пытаясь всунуть динамику в прокрустово ложе существующих закономерностей.

[Зиновий]

А можно жёстче?

Я изложил:

То, что Вы (vps137) написали грубая геометрическая ошибка.

Просто есть два пути решения задач. Первый путь основан на углублённом моделировании с учётом нюансов модели. Второй путь - "размножения" существующего представления на многомерие. Второй путь значительно проще. Потому по нему и пошли релятивисты, теория струн, теорфизическое представление ЭМ процессов, как и вся абстрактная алгебра. Кстати, и догматы классической физики не отстают, пытаясь всунуть динамику в прокрустово ложе существующих закономерностей.

В процессе поиска решения конкретной задачи можно идти любым путём, но нельзя нарушать правила используемого математического аппарата.
В данном случае правила векторного анализа.

Сообщение отредактировал Зиновий - 17.2.2018, 13:12

[SBK]

В процессе поиска решения конкретной задачи можно идти любым путём, но нельзя нарушать правила используемого математического аппарата.
В данном случае правила векторного анализа.

Правильно, но нельзя и догматизировано смотреть на полученные векторным анализом формулы без учёта особенности моделирования.

[Зиновий]

Правильно, но нельзя и догматизировано смотреть на полученные векторным анализом формулы без учёта особенности моделирования.

Правила математического аппарата не "догма", жёсткое правило счёта.
Любая деформация нарушает корректность работы мат. аппарата.
Если существующий мат. аппарат по каким-то причинам Вас не устраивает, создайте свой новый, но корректировать старый под свои интересы есть грубая ошибка.
Коррекция существующего математического аппарата возможна только при обнаружении его внутреннего противоречия.
Что требует строгого доказательства.

[SBK]

Правила математического аппарата не "догма", жёсткое правило счёта.
Любая деформация нарушает корректность работы мат. аппарата.
Если существующий мат. аппарат по каким-то причинам Вас не устраивает, создайте свой новый, но корректировать старый под свои интересы есть грубая ошибка.
Коррекция существующего математического аппарата возможна только при обнаружении его внутреннего противоречия.
Что требует строгого доказательства.

А у меня как раз всё строго и никаких отхождений от классического формализма. Просто учитывается динамика. А то, что Вы не желая разбираться сразу вердикты выносите, та это уже на уровень моей доказательности никак не влияет. Очернить с порога можно всё, что угодно, как и прицепиться даже к фонарному столбу...
если вникните, поймёте, что всё строго.

Догадываюсь, что это Вы мне пытаетесь приписать коррекцию. Так должен доложить, никакой коррекции я не придумывал - не по зубам.

Какая не по зубам, а какую Вы вносите, моделируя догматом якобиана, не наблюдаемым четвёртым материальным измерением со своими иносказаниями. Это тоже "коррекция", но ограниченная абстрактной игрой со старыми кубиками. Если бы физически моделировали, этого не было бы.

[Зиновий]

А у меня как раз всё строго и никаких отхождений от классического формализма. Просто учитывается динамика. А то, что Вы не желая разбираться сразу вердикты выносите, та это уже на уровень моей доказательности никак не влияет. Очернить с порога можно всё, что угодно, как и прицепиться даже к фонарному столбу...
если вникните, поймёте, что всё строго.

Вопрос применения дифференциальных пространственных операторов к динамическим физическим полям будет изложен в одной из следующих тем этого цикла.

Догадываюсь, что это Вы мне пытаетесь приписать коррекцию. Так должен доложить, никакой коррекции я не придумывал - не по зубам.

Может быть придумали и не Вы, но Вы используете некорректные выдумки других.
Тензорное исчисление в физическом пространстве при корректном применении ничего нового по отношению к векторному анализу дать не может.
Возникновение новых представлений по отношению к векторному анализу говорит о некорректности применения тензорного отображения.

[vps137]

Может быть придумали и не Вы, но Вы используете некорректные выдумки других.
Тензорное исчисление в физическом пространстве при корректном применении ничего нового по отношению к векторному анализу дать не может.
Возникновение новых представлений по отношению к векторному анализу говорит о некорректности применения тензорного отображения.

Хорошо. Давайте считать, что моя попытка, которую я предпринял в посту #8 обосновать понятие градиента вектора в 3D, неудачная - поскольку получается тензор, представляемый матрицей Якоби.

Это, однако, не отменит того очевидного факта, что тензорный анализ более общий и включает в себя векторный.

[Зиновий]

Хорошо. Давайте считать, что моя попытка, которую я предпринял в посту #8 обосновать понятие градиента вектора в 3D, неудачная - поскольку получается тензор, представляемый матрицей Якоби.

Это, однако, не отменит того очевидного факта, что тензорный анализ более общий и включает в себя векторный.

Тензорное отображение позволяет однообразно записать как векторные поля так и скалярные.
Однако это однообразие записи легко приводит к путанице и порождает ошибки.
Теперь возвращаясь к основной задаче темы.
На основании проведенной дискуссии стало очевидным, что операция градиент вектора никак не определена, вступает в прямое противоречие с правилами произведения векторов и потому некорректна и не может рассматриваться как математическая операция.
Собственно, доказательно огласить это и было главной задачей этой темы.
Спасибо всем за активное участие в теме.

Сообщение отредактировал Зиновий - 21.3.2018, 6:09