"Полное доказательство" есть по ссылкам в вики. Там подъём кольца с вращением осуществлён в квадрат, но с "движением" только двух противоположных сторон квадрата. Таким образом, цельное вращение разрывалось.
Теперь же когда пытаются привить этому "полному доказательству" полное вращение, то вылезает ЗВЕЗДООБРАЗНАЯ болезнь этого кольца с вращением. И ничто из попыток эту болезнь пока не излечило.

А звёздочка, которая прёт, это ваш ёж. Но с выколотым центром, а такой ёж сразу сам рассыпается.

Посмотрим ... звёздность есть лишь следствие метода доказательства, сохранение площади тоже необходимо лишь в одну сторону, об этом я уже делал замечание в целом для гамильтоновых систем (подсмотрел у Цендлера или как еготам ... ) ... помнится у Арнольда есть чисто топологическая формулировка в его Математических началах теоретической механики ... может даже есть резон купить её последнее издание как учебника МГУ, а то у меня относительно старые два издания ...

Ёж и звёздность лишь совпадение ... В теореме Пуанкаре сплошная локальная компактность как следствие рассмотрения траекторий в конечномерном эвклидовом пространстве. Ёж не является локально компактным, а когда точку центральную выбрасывают, то действительно он рассыпается на локально компактные компоненты - полуинтервалы ...

Если уложить траектории в пространство Нёбелинга (здесь возможна потеря гладкости, но не полугруппового свойства траекторий), то задача Пуанкаре может зазвучать совсем по-другому ...

- сложно комментировать связь этой чисто математической задачи с задачей 3-тел, я её не вижу.

Если говорить о частном случае задачи 3-тел (когда два крупных притягивающих центра неподвижны), то она полностью решена насколько я знаю.

У меня она уже звучит по другому. Вместо кольца окружность вращения толщиной две точки. Противонаправленное вращение тогда никуда не выбрасывается, а представляет собой колебания по окружности по её толщине в две точки - от внутренней к внешней, от внешней к внутренней.Противонаправленное вращение окружностей кольца приводит к его смятию в звезду без центра - плоский ёж без центра. (Сохранение площади здесь на иглах ежа.)

Сама задача о кольце - лишь следствие задачи о периодических решениях в трёхмерном эвклидовом пространстве.


Сама задача о кольце - лишь следствие задачи о периодических решениях в трёхмерном эвклидовом пространстве.

Три эвклидовы размерности не описывают парные отношения, которые являются сквозными, что для физики, что для математики, что для арифметики.
Трёхмерный эвклид - это даже не привязка к "статичному объёму", а скорее сплошное представление пространства нульмерными точками, каждая из которых может выступить центром координат. Но никаких парных отношений эвклидово пространство не содержит, а потому не информативно.

Вращение окружности для эвклидового пространства рассматривается лишь через малые углы на повороте.

Периодические решения есть в матрицах на блоках. Но статичное понимание не дало видения вращений для блочных матриц. Всё упрощалось в подгонки под дискриминант. От него и танцевали Кэли вместе с Сильвестром. А после их матричных основ мало что пересматривалось.
"Ортогональное преобразование" (как матрицу) придумали из уравнения окружности под трёхмерный эвклид в угоду дискриминанту. (Мёртвое вращение на эвклиде с такими же "периодическими решениями".)

И сама задача о кольце прежде всего об увязке противонаправленного вращения. Гармония встречного вращения на трёхмерном эвклиде болеет звёздной болезнью при сохранении площади от кольца. И только на малом вращении лучи звезды (вынос точек за пределы кольца) будут короткими.
_____________________________________
трёхмерное наследие с подгонкой дискриминанта:

ортогональное преобразование (матрица-блок):
и та же идея пошла и в кососимметричную матрицу:
и матрица Плюккера меня тоже не радует

Видел "на просторах" книгу Бернард Больцано, УЧЕНИЕ О НАУКЕ (Избранное), но она мне "не показалась". Это "наукоучение" похоже на методическое пособие по написанию научных работ. Вот, например, пара страниц из Оглавления.

(Пролистал всю.) К сожалению и ученики Больцано, которые и издали первоначально весь трёхтомник, ничего не продвинули из этого наукочтения. (И куда все эти ученики подевались?)
Тоже избранные выжимки (на русском) "не показались".

Ещё раз - трёхмерное пространство Эвклида над полем действительных чисел это "плохая" и "грубая" модель бесконечномерного пространства Гильберта, это относится и к R^n.

Другая модель бесконечномерного пространства Гильберта это конечномерное пространство Нёбелинга v^n, это тоже "плохая" модель, но лучше чем R^n.

Только в этом смысле я рассматриваю универсальные конечномерные пространства Нёбелинга. Здесь есть несколько нерешённых задач. Давайте в сравнении с пространствами Эвклида R^n.

Говорят (по определению), что пространство обладает свойством неподвижной точки если всякое непрерывное отображение пространства в себя имеет неподвижную точку. Например, n-мерный куб I^n обладает свойством неподвижной точки. n-мерная сфера S^n не обладает свойством неподвижной точки и т.д.

Вот решённая задача (К.Куратовский): Описать все ретракты пространства Эвклида R^n, которые обладают свойством неподвижной точки. Ответ: Ретракт пространства R^n обладает свойством неподвижной точки тогда и только тогда когда он является компактным пространством!

Вот нерешённая задача (моя постановка): Описать все ретракты пространства Нёбелинга v^n, которые обладают свойством неподвижной точки. Ответ, что это только компактные пространства здесь НЕ проходит, поскольку, например, ёж со счётным числом иголок есть ретракт одномерного пространства Нёбелинга v^1 и это некомпактное пространство со свойством неподвижной точки!

Аналогично, не описаны до настоящего времени ретракты бесконечномерного пространства Гильберта, обладающие свойством неподвижной точки!

Для чего нужны подобные теоремы о свойстве неподвижной точки некоторых пространств? Всё дело в том, что 99,999% математических результатов о существовании решений уравнений или даже более общих объектов, в математике могут быть сведены к теореме о существовании неподвижных точек некоторого оператора, т.е к решению ураанения вида x=F(x), где F и есть оператор, а х - решение - неподвижная точка оператора F.
Например, если мы рассматриааем дифференциальные уравнения, то его решения есть неподвижные точки некоторого ИНТЕГРАЛЬНОГО оператора, а периодические решения есть неподвижные точки, так называемого, оператора сдвига по траекториям дифференциального уравнения (оператора Пуанкаре).

К такому же операторному уравнению может быть сведена и задача тысячелетия для Уравнения Навье-Стокса. В своё время, для ряда случаев УНС, эта задача была решена Темамом (французский математик XX века и для двумерного случая УНС решена Ладыженской (российский, советский математик XX века) ... к сожалению, в общем случае, использованный ими принцип неподвижной точки (принцип Лере-Шаудера) НЕ работает ... и нельзя исключать, что нахождение НОВОГО принципа неподвижной точки и есть ключ к решению этой задачи Института Клэя, за которую готовы выплатить миллион USD ...

Такие новые принципы неподвижной точки и возникают при исследовании пространств Нёбелинга и Гильберта, а поскольку это УНИВЕРСАЛЬНЫЕ пространства (т.е. они содержат в себе все остальные "допустимые" пространства), то и новые принципы неподвижной точки носят УНИВЕРСАЛЬНЫЙ (т.е. исчерпывающий) характер ...

Теперь о теореме Пуанкаре о кольце. Да, у Арнольда в Математических началах теоретической механики от 1989 года издания в Приложениях всё есть. Достаточно заметить, что кольцо это есть произведение интервала на окружность (одномерный тор). Парадоксально, но ситуация с многомерными торами оказывается более простой чем с кольцом ... в своей методе Арнольд уклоняется от методтики Пуанкаре, видио, он нутром ощущал там некоторую неуверенность ... задача о кольце возникает в динамических ситемах с ДВУМЯ стеменями свободы ...

Теперь о математической логике у Больцано - двести лет назад она только начиналась ... и как мы знаем сегодня, там тоже основной теоремой будет теорема о неподвижной точке! Без углублённых комментариев это что-то вроде программы, которая печатает сама себя (формально это будет квазинеподвижная точка, но логики привыкли тоже говорить о принципе неподвижной точки в логике ... )

Теперь, что представляет из себя основная теорема Анализа, доказанная Больцано 200 лет назад в 1817 году - теорема о нулях непрерывной функции, принимающей на концах отрезка значения разных знаков, т.е. теорема о нулях непрерывной функции f(x) = 0 ... здесь нули это точки пересечения графика функции f с осью абсцисс (горизонтальная ось координат) ... уравнение f(x) = 0 можно переписать так F(x) = x+f(x) = x, т.е. нули f это неподвижные точки F ... т.е. Больцано доказал теорему о неподвижных точках для одномерного отрезка, т.е. что отрезок обладает свойством неподвижной точки! Здесь неподвижные точки F это точки пересечения графика F с биссектрисой первого и третьего координатных квадрантов у=х её ещё называют диагональю.

Paraligon, в конце концов, приходим к мысли, что любая математическая теорема есть теорема о неподвижной точке, квазинеподвижной точке ... всё остальное излишний технический хлам ...

Спокойно можно расстаться и с натуральными числами ... в конце концов, в каждом топосе они свои ... числа доступны для понимания, только во всей своей совокупности, как универсального объекта ...

Анвилу4 надо подготовить статью для публикации, в которой описать перспективы, в общем то, известного факта о представлении булевых бинарных операций через алфавит четырёх оснований ...

Только для начинающих.
Маститым математикам нужно показывать сквозную цельность "булевых функций" в развёртке:

нульарная (0 и 1) → унарная (00, 01, 10, 11) → бинарная (всего 16 от 0000 до 1111)
В скобках значения булевых функций - все "неподвижные булевы ЦИФРЫ".
Обобщение на Числах - седенион и пара октонионов. (Здесь же структура информации и энергии.)

Применение аналога "неподвижных точек" выносит булевы Цифры (булевы коды) в многочлены.
Войти из многочленов в булевый седенион возможно только ущербно (искажённо).

Дальше есть "тернарная булева функция" - для сотовых звёзд, а обобщение через дуги на "цветке жизни".
Все остальные разновидности булевых функций - дают булевых цепных ежей. (С "неподвижными цифрами" просто булевы ежи.)

Клод Шеннон окончательно произвёл разрыв развёртки, расщепив унарную булеву функцию на раздельный перебор состояний истина-ложь (активность-пассивность): 0 - 0, 0 - 1, 1 - 0, 1 - 1.
Вот основной костяк для статьи.
------------------------------------------------------------
Четыре элементы это блок 4 на 4 на седенионе. Графическое представление (геометрия сечений потока) можно привязать к декартовым координатам. И представить сечение седениона.
Нульарная булева функция - ось абсцисс 1, ось ординат 0.
Унарная булева функция - отдельный квадрант декартовых координат свёрнутый в окружность; четыре квадранта - четыре окружности вращения.
Бинарная булева функция - каждая окружность вращения (один свёрнутый декартов квадрант) представляется направленным квадратом (отображается в положении ромб); каждая направленная сторона квадрата привязывается к одному (из 16) значений булевой функции. Четыре таких сечения дают картинку вращения квадрата в декартовом квадранте (это блок седениона 4 на 4 в потоке). Ещё четыре таких сечения дают вращение самого квадрата по всем декартовым квадрантам (поток трубок седениона).
В центре декартовых координат астроида. Читается на седенионе ломаная следа блока 4 на 16.

Уважаемый Paraligon, пожалуйста, попытайтесь пояснить мне бестолковому, что такое неподвижная точка, коль уж она так фундаментальна. С моей дилетантской, лягушачьей по Ф.Дайсону, точки зрения (нет базы знаний, необходимых для понимания глубоких мат-абстракций) в математике все точки неподвижны. Другое дело - физика, где с неподвижностью проще. Там точка неподвижна относительно системы отсчёта.
Это всего лишь моё "мнение", а, как верно заметил OsB, мнение есть у того, кто не знает.

После ужина объясню ...

- Paraligon, я правильно понял что здесь Вы сами к себе обращаетесь? Ну чем не изоморфизм ...

Academic, изоморфизм может быть без неподвижной точки ...

Анатолию ... начал с объяснения что такое "точка" ... много написал, но не удержал текст и поэтому дальше говорю кратко ...

Под точками в теоретико-множественной математике понимают эквивалент понятия элементы (множества), т.е. точкой может быть элемент любого множества, следовательно, математик может называть точкой что угодно - число, фигуру, функцию, оператор, и даже, целое пространство ... сохраним текст ...

Paraligon,

Теперь, что означает термин "неподвижная точка", английский аналог "the fixed point"? Сохраним текст ...

Итак, вместо слов "рассмотрим элемент множества" можно говорить "расмотрим точку, лежащую в множестве" ... математики такой оборот речи воспринимают спокойно, как допустимый уровень абстракции ...

Кроме точек (элементов множеств) в математике есть ещё отношения, для которых используется специальное название "функция", которое имеет синонимы оператор, отображение, морфизм ... для функций используется специальное обозначение, например, такое (стрелка)

f: X --> Y

Читается "f есть функция из множества Х в множество Y.

Другое обозначение y = f(x)

Множества X и Y неявно предполагаются в уме ... ну, детали я опускаю ... сохраним текст ... при этом образно говорят, что точка y есть образ точки х при отображении f или что точка х переходит в точку y под действием отображения (функции) f.

Рассмотрим функцию f: X --> X
Т.е. множество Х отображается функцией f в самого себя.
Если y = f(x), то y тоже точка (элемент) из множества Х.

Так понятно, Анатолий, о чём я говорю?
так вот, элемент(точка) х множества Х называется НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ отображения f если f(x) = x

Пример

Пусть f: R --> R задаётся формулой f(x) = x^2 функция возведения действительного числа в квадрат, тогда неподвижные точки это решения уравнения f(x) = x^2 =x

Ну, как решить такое каадратное уравнение

x^2 = x
Его корни х = 0 и х = 1 это и есть неподвижные точки этой функции

f(0) = 0 и f(1) = 1

Так понятно, что такое неподвижная точка? В данном примере это ЧИСЛО.

ВОТ другой пример

Рассмотрим оператор дифференцирования на множестве K всех дифференцируемых функций на всём множестве действительных чисел R

D: K --> P

Если f: R --> R дифференцируемая функция, то на неё можно подействовать этим оператором D по правилу:

D(f) = f'

Штрих означает взятие производной.

Чтобы найти неподвижные точки этого оператора D
Необходимо решить дифференциальное уравнение

D(f) = f' = f

f' = f

ЧАСТО, обозначая функцию f буквой у это уравненин записывают так

y' = y

Или так

dy/dx = y

Или так

dy(x)/dx = y(x)

Или так

y'(x) = y(x)

Можете найти общее решение такого уравнения?

Оно выглядит так у(х) = Се^х=Сеxp(x)

Где С произвольная константа (действительное число).

Таким образом, оператор D имеет бесконечно много неподвижных точек и каждая неподвижная точка оператора D имеет вид функции Се^х

Так понятно?

Paraligon
- ну а если правило задается так f(f(x)) = x ?

Если для любого х f(f(x)) = x, то такое отображение f можно назвать периодическим с периодом 2, например, таким будет антиподальное отображение на сфере, которое переводит каждую точку сферы в симметричную точку относительно центра сферы. Например, если это сфера в векторном пространстве с центром в начале 0, можно такое антиподальное отображение задать формулой

f(x) = - x для любого х

Тогда f(f(x)) = - (- x) = x

По изучению подобных периодических отображений на многообразиях есть даже целая книжка полувековой давности. Если интересно, то могу дать ссылку:

http://urss.ru/cgi-bin/db.pl?lang=Ru&b...ook&id=4289

Ещё такие отображения, о которых спрашивает Академик, называют ИНВОЛЮЦИЯМИ.

https://ru.m.wikipedia.org/wiki/Инволюция_(математика)

Как бы даже хочется найти способ что либо сделать, упростить, посредством небелинга например, сложную нейронную сеть ... небелингезировать

- не совсем понятно, почему отображение периодическое, вот например функция f(x) = 1/sinx

Тогда f(f(x)) = 1/(sin {1/sinx}) ... какая же там периодичность? это будет фантомная квази-периодичность

Может, Вы имели ввиду отображение кратности 2, или степени 2?