Градиент вектора, что это?, (математическая корректность операции!?) Опции

[Зиновий]

Это определение градиента тензора приведено в книге Дубровина, Новикова, Фоменко Современная геометрия в самом начале гл. IV. Здесь его приводить из-за громоздкости нет смысла, потому что к нему надо было бы писать две страницы текста пояснений. Достаточно напомнить, наверное, что и скаляр, и вектор являются тоже тензорами.

Я очень уважаю указанных вами авторов, "но истина дороже".
И так из определения имеем:
1. Градиентом называется действие векторного оператора набла на скаляр.
gradφ ≡ ∇φ.
2. Действие векторного оператора набла на вектор, согласно правилам векторного анализа возможен только в двух видах.
А именно:
а. Скалярное произведение векторного оператора на вектор есть дивергенция вектора
divF ≡ (∇ ⋅ F);
б. Векторное произведение векторного оператора набла на вектор есть ротор вектора.
rotF ≡ [∇ × F].
А градиент вектора, это как?

Сообщение отредактировал Зиновий - 5.3.2018, 21:28

[vps137]

Я очень уважаю указанных вами авторов, "но истина дороже".
И так из определения имеем:
1. Градиентом называется действие векторного оператора набла на скаляр.
gradφ ≡ ∇φ.
2. Действие векторного оператора набла на вектор, согласно правилам векторного анализа возможен только в двух видах.
А именно:
а. Скалярное произведение векторного оператора на вектор есть дивергенция вектора
divF ≡ (∇ ⋅ F);
б. Векторное произведение векторного оператора набла на вектор есть ротор вектора.
rotF ≡ [∇ × F].
А градиент вектора, это как?

Это определения из векторного анализа. Мы же имеем дело с тензорным.
Про градиент вектора мне лучше Википедии не сказать.

[Зиновий]

Это определения из векторного анализа. Мы же имеем дело с тензорным.

Т.е. Вы хотите сказать, что могут быть два правильных математических аппарата получающих два разных, но правильных решения?

Про градиент вектора мне лучше Википедии не сказать.

Получается весьма своеобразная ситуация.
Векторное исчисление и векторный анализ операцию градиент вектора исключают, но тем не менее она фигурирует в математических манипуляциях не имея никакого геометрического смысла.
Слово за математиками...

Сообщение отредактировал Зиновий - 10.2.2018, 11:22

[vps137]

Я думаю, а Paraligon меня поправит, что градиент вектора можно определить в виде якобиана так:
[dmath]\partial \vec A=\frac {\partial (A_1, A_2, A_3)}{\partial (x_1, x_2, x_3)}= \begin{pmatrix}
\partial_1 A_1 & \partial_1 A_2 & \partial_1 A_3 \\
\partial_2 A_1 & \partial_2 A_2 & \partial_2 A_3 \\
\partial_3 A_1 & \partial_3 A_2 & \partial_3 A_3
\end{pmatrix}[/dmath]
След его является дивергенцией вектора А, а недиагональные члены можно представить как ротор вектора А, в котором [imath](\nabla \times \vec A)_3 =\partial_1 A_2-\partial_2 A_1[/imath] + циклические перестановки индексов.

Т.е. Вы хотите сказать, что есть два правильных математических аппарата получающих два разных, но правильных решения?

Это одно и тоже, но по-разному представленные.

Получается весьма своеобразная ситуация.
Векторное исчисление и векторный анализ операцию градиент вектора исключают, но тем не менее она фигурирует в математических манипуляциях не имея никакого геометрического смысла.
Слово за математиками...

Векторный анализ - это тоже тензорный анализ, только более общий. Для 3D пространства в нём есть специфика, связанная с векторным произведением, которая очень хорошо описана в книге Новикова и др.

Поэтому, в частности, в 4D нельзя ввести векторное произведение и ротор так просто, как в 3D.

Сообщение отредактировал vps137 - 10.2.2018, 11:22

[Зиновий]

Я думаю, а Paraligon меня поправит, что градиент вектора можно определить в виде якобиана так:
[dmath]\partial \vec A=\frac {\partial (A_1, A_2, A_3)}{\partial (x_1, x_2, x_3)}= \begin{pmatrix}
\partial_1 A_1 & \partial_1 A_2 & \partial_1 A_3 \\
\partial_2 A_1 & \partial_2 A_2 & \partial_2 A_3 \\
\partial_3 A_1 & \partial_3 A_2 & \partial_3 A_3
\end{pmatrix}[/dmath]
След его является дивергенцией вектора А, а недиагональные члены можно представить как ротор вектора А, в котором [imath](\nabla \times \vec A)_3 =\partial_1 A_2-\partial_2 A_1[/imath] + циклические перестановки индексов.


Это одно и тоже, но по-разному представленные.

Векторный анализ - это тоже тензорный анализ, только более общий. Для 3D пространства в нём есть специфика, связанная с векторным произведением, которая очень хорошо описана в книге Новикова и др.

Поэтому, в частности, в 4D нельзя ввести векторное произведение и ротор так просто, как в 3D.

Если я Вас правильно понял, Вы хотите сказать, что градиент вектора можно представить как ротор вектора или/и дивергенцию вектора?
Я Вас правильно понял?

[vps137]

Если я Вас правильно понял, Вы хотите сказать, что градиент вектора можно представить как ротор вектора или/и дивергенцию вектора?
Я Вас правильно понял?

Да, всё верно. Якобиан - это более общий объект, чем дивергенция и ротор, потому что в нем есть все производные и причем он легко обобщается на любые размерности. Напр. в размерности 4 уже нельзя из него выделить 4-вектор, который бы обладал теми же свойствами, что и ротор. Так получается из-за того, что два таких вектора нормальны не одному направлению, как в 3D, а плоскости.

Поэтому наш Мир такой уникальный.

[Зиновий]

Да, всё верно. Якобиан - это более общий объект, чем дивергенция и ротор, потому что в нем есть все производные и причем он легко обобщается на любые размерности
..............................................................

Обсуждается не "якобиан", а получившая широкое распространение операция "градиент вектора".
По определению градиент есть вектор характеризующий величину возрастания функции в направлении наибольшего её возрастания.
Как может дивергенция (скаляр) быть вектором?

Сообщение отредактировал Зиновий - 10.2.2018, 14:07

[vps137]

Обсуждается не "якобиан", а получившая широкое распространение операция "градиент вектора".
По определению градиент есть вектор характеризующий величину возрастания функции в направлении наибольшего её возрастания.
Как может дивергенция (скаляр) быть вектором?

Эта операция широко применяется в тензорном анализе. В векторном её нет. Поэтому дивергенция, как и след якобиана, - скаляр.

Можно, наверное, говорить о градиенте вектора в векторном анализе тоже, но понимая, что это ротор и дивергенция в одном флаконе - потому что, как я уже сказал, векторный анализ - это раздел тензорного.

[Зиновий]

Эта операция широко применяется в тензорном анализе. В векторном её нет. Поэтому дивергенция, как и след якобиана, - скаляр.
Можно, наверное, говорить о градиенте вектора в векторном анализе тоже, но понимая, что это ротор и дивергенция в одном флаконе - потому что, как я уже сказал, векторный анализ - это раздел тензорного.

Если это ротор и дивергенция в одном флаконе, то эта операция некорректна и недопустима как в векторной, так и в тензорной форме в силу требования тождественности отображения в любых различных математических системах.

Сообщение отредактировал Зиновий - 10.2.2018, 15:54

[vps137]

Если это ротор и дивергенция в одном флаконе, то эта операция некорректна и недопустима как в векторной, так и в тензорной форме в силу требования тождественности отображения в любых различных математических системах.

Ув. Зиновий. Во-первых, я сказал "наверное". Во-вторых, никто не запрещает использовать градиент применительно только к скалярам.

Просто в тензорном анализе используется более широкое определение. Можно ведь расписать градиенты для каждой компоненты вектора, считая их скалярами, и назвать получившуюся матрицу Якоби градиентом вектора. Точно также и можно получить определение для градиента тензора любого ранга.

При этом, ещё раз подчеркну, ротор и дивергенция получаются из градиента вектора лишь в 3D. Лишь в трёхмерном евклиде можно так ввести аксиальный вектор, что он будет нормально расположен к двум другим полярным векторам.

В общем, я надеюсь, Вы мне поставите трояк по математике. Всё, что я знал на эту тему, я выложил.

[Зиновий]

Ув. Зиновий. Во-первых, я сказал "наверное". Во-вторых, никто не запрещает использовать градиент применительно только к скалярам.

Что значит "не запрещает использовать градиент применительно только к скалярам"?
Математическая корректность запрещает использовать оператор "градиент" к векторам согласно определению.

Просто в тензорном анализе используется более широкое определение. Можно ведь расписать градиенты для каждой компоненты вектора, считая их скалярами, и назвать получившуюся матрицу Якоби градиентом вектора. Точно также и можно получить определение для градиента тензора любого ранга.

В этом и заключается ошибка математиков спутавших геометрию с алгеброй функций многих переменных.

При этом, ещё раз подчеркну, ротор и дивергенция получаются из градиента вектора лишь в 3D. Лишь в трёхмерном евклиде можно так ввести аксиальный вектор, что он будет нормально расположен к двум другим полярным векторам.

Дело в том, что операторы "grad", "div", "rot" являются геометрическими пространственными инвариантами, характеризуя положение физических объектов в нём и становятся абсолютно бессмысленными в произвольном алгебраическом пространстве.

В общем, я надеюсь, Вы мне поставите трояк по математике. Всё, что я знал на эту тему, я выложил.

Я не ставил перед собой цель экзаменовать Вас, но хотел обратить ваше внимание и внимание заинтересованных специалистов в ошибочности использования геометрических операторов "grad", "div", "rot" в решении алгебраических задач функций не пространственных переменных.
Задачи с числом пространственных переменных больше 3-ёх не являются геометрическими и потому применение в них геометрических операторов неправомочно.

Сообщение отредактировал Зиновий - 10.2.2018, 19:17

[Dachnik]

Я очень уважаю указанных вами авторов, "но истина дороже".
И так из определения имеем:
1. Градиентом называется действие векторного оператора набла на скаляр.
gradφ ≡ ∇φ.
2. Действие векторного оператора набла на вектор, согласно правилам векторного анализа возможен только в двух видах.
А именно:
а. Скалярное произведение векторного оператора на вектор есть дивергенция вектора
divF ≡ (∇ ⋅ F);
б. Векторное произведение векторного оператора набла на вектор есть ротор вектора.
rotF ≡ [∇ Ч F].
А градиент вектора, это как?

Здравствуйте уважаемый Зиновий.
Зарегистрировался, когда у видел, что теперь вы тут модератор.

Для меня основным является определение !.
Для потенциального гравитационного поля функция поля U = GMm/R Размерность кг*метр²/сек² - джоуль, скаляр.
Градиент это производная (dGMm/R)/dr = -GMm/R² = -ma вектор к центру сферы.
Запись для потенциала U = GM/R не корректна.

А что такое градиент вектора.
Чтобы была производная, надо чтобы он был переменным.
Например на плоскости модуль R = C*T угол Fi = w*T Угловая скорость на время.
Производная по времени даст вектор С + вектор W
Вектора взаимно перпендикулярны.

Складывать такие вектора я не умею.
Если конец вектора масса m, то могу сложить энергию E = mC²/2 + JW²/2
Энергия поступательно-вращательного движения.

Перемножавшие даcт третий вектор. Перпендикулярный плоскости этих двух.
А в объемных координатах, будет четвертое иизмерение?

Энергии без массы не бывает.
Так что там в электродинамике Максвелла вращается?
Фиктивный вектор тока?

[Paraligon]

Друзья, вы все здесь правы и не правы одновременно, а всё потому, что математика - это искусство называть одни и теже вещи разными именами (с) ...

По существу темы, нечто вразумительное можно почитать по ссылке:

https://ru.m.wikipedia.org/wiki/Оператор_набла

Посетить мою домашнюю страницу


Хотя и там написана, в большей части, "абстрактная чепуха" (с) ... поразительно, но в теме о Числах мы всё это уже разбирали достаточно подробно ...

Вот скажем это



Действительно, в математике ОПРЕДЕЛЕНИЕ просто обязано быть предельно корректным и точным ... вот, например, по той же ссылке, которую я привёл выше, авторы рассуждают о каких-то операторах, забывая, что ОПЕРАТОР это синоним слова ОТОБРАЖЕНИЕ, и не более того, а что такое ОТОБРАЖЕНИЕ F в категории множеств это специального типа ОТНОШЕНИЕ, которое для наглядности принято записывать так:

F: X --> Y

И из этой записи нельзя ничего опустить ... нельзя сказать "просто оператор F", не указывая область определения оператора X и область его значений Y ... ибо,

F: A --> B

это будет ДРУГОЙ оператор, если только X или Y отличаются от A или В, соответственно, хотя бы даже одним элементом (точкой) ... тем более нелепо выглядит описание "оператора" "набла" без указания области определения и области его значений ... именно отсюда идут "оправдания" его использования как удобного символа некоторого "исчисления" ... такая метода восходит ещё к дифференциальному и интегральному ИСЧИСЛЕНИЮ Лейбница и Ньютона, когда выучив несколько табличных правил, можно "брать" производные и интегралы не зная что это такое, но так происходит до поры до времени, пока мы не сталкиваемся в тех же задачах естествознания с ситуацией что исчисление не работает для функций недифференцируемых (с "уголками") разрывных и т.п. всё это возникает уже в электротехнике (функция Хевисайда, дельта функция и т.п.), в том числе, и в так называемой теории поля, векторном анализе, а в новейшее время в Нелинейном Анализе и т.п. ...

Как вы тут ссылки вставляете? ... :(

Гиперссылки не работают ... чтобы посмотреть копируйте ссылку и вставляйте в строку браузера ... плохо ...

Не понял юмора - почему в одних темах (например, о Числах) ссылки вставляются простым копированием, а здесь не вставляется ...

Сообщение отредактировал Paraligon - 12.2.2018, 20:45

[vps137]

Друзья, вы все здесь правы и не правы одновременно, а всё потому, что математика - это искусство называть одни и теже вещи разными именами (с) ...

По существу темы, нечто вразумительное можно почитать по ссылке:

Оператор_набла

Посетить мою домашнюю страницу


Хотя и там написана, в большей части, "абстрактная чепуха" (с) ... поразительно, но в теме о Числах мы всё это уже разбирали достаточно подробно ...

Вот скажем это



Действительно, в математике ОПРЕДЕЛЕНИЕ просто обязано быть предельно корректным и точным ... вот, например, по той же ссылке, которую я привёл выше, авторы рассуждают о каких-то операторах, забывая, что ОПЕРАТОР это синоним слова ОТОБРАЖЕНИЕ, и не более того, а что такое ОТОБРАЖЕНИЕ F в категории множеств это специального типа ОТНОШЕНИЕ, которое для наглядности принято записывать так:

F: X --> Y

И из этой записи нельзя ничего опустить ... нельзя сказать "просто оператор F", не указывая область определения оператора X и область его значений Y ... ибо,

F: A --> B

это будет ДРУГОЙ оператор, если только X или Y отличаются от A или В, соответственно, хотя бы даже одним элементом (точкой) ... тем более нелепо выглядит описание "оператора" "набла" без указания области определения и области его значений ... именно отсюда идут "оправдания" его использования как удобного символа некоторого "исчисления" ... такая метода восходит ещё к дифференциальному и интегральному ИСЧИСЛЕНИЮ Лейбница и Ньютона, когда выучив несколько табличных правил, можно "брать" производные и интегралы не зная что это такое, но так происходит до поры до времени, пока мы не сталкиваемся в тех же задачах естествознания с ситуацией что исчисление не работает для функций недифференцируемых (с "уголками") разрывных и т.п. всё это возникает уже в электротехнике (функция Хевисайда, дельта функция и т.п.), в том числе, и в так называемой теории поля, векторном анализе, а в новейшее время в Нелинейном Анализе и т.п. ...

Как вы тут ссылки вставляете? ... :(

Гиперссылки не работают ... чтобы посмотреть копируйте ссылку и вставляйте в строку браузера ... плохо ...

Не понял юмора - почему в одних темах (например, о Числах) ссылки вставляются простым копированием, а здесь не вставляется ...

Я здесь подправил. Вы наверное, поторопились со ссылками.

[Paraligon]

vps137, спасибо, Друг! Я думаю, что большинство математиков ничего не понимают в связном наборе слов "векторный дифференциальный оператор" ... если кто и понимает, то требуется гораздо больше слов, чем написано в вики ...

Сообщение отредактировал Paraligon - 13.2.2018, 11:01

[SBK]

Друзья, вы все здесь правы и не правы одновременно, а всё потому, что математика - это искусство называть одни и теже вещи разными именами (с) ... .

Вот именно, создавать птичий язык, догматизируя то, что достигнуто моделированием в физике и устраивая из этого пляски абстракции ан костях познания.
В динамике градиент/оператор набла имеет вид

О градиенте потенциальной функции
Это выражение получается физическим моделированием, но не может быть получено абстрактными математическими ухищрениями.
При этом в динамике уже стандартное применение математических операторов
rotgrad φ ≠ 0
И весь птичий язык переходит в пустое карканье.
Развитие же математики возможно не придумыванием заумных слов, чем она, собственно, так увлеклась, а решением до сих пор не решённых задач в физике. Только тогда будет здоровое развитие, а не самолюбование.

[vps137]

Вот именно, создавать птичий язык, догматизируя то, что достигнуто моделированием в физике и устраивая из этого пляски абстракции ан костях познания.
В динамике градиент/оператор набла имеет вид

О градиенте потенциальной функции
Это выражение получается физическим моделированием, но не может быть получено абстрактными математическими ухищрениями.
При этом в динамике уже стандартное применение математических операторов
rotgrad φ ≠ 0
И весь птичий язык переходит в пустое карканье.
Развитие же математики возможно не придумыванием заумных слов, чем она, собственно, так увлеклась, а решением до сих пор не решённых задач в физике. Только тогда будет здоровое развитие, а не самолюбование.

Здесь, Сергей, Вы, похоже, изобрели велосипед.

Есть в математике понятие полной производной, которое близко к тому, что в Вас написано.
[dmath] \frac {d \phi}{dt}=\dot \phi+(\vec u \cdot \nabla) \phi[/dmath]
Если положить скорость u постоянной и равной c, то приходим к Вашему выражению. ([imath]\dot \phi=\frac{\partial \phi}{\partial t}[/imath])

Сообщение отредактировал vps137 - 13.2.2018, 13:26

[SBK]

Здесь, Сергей, Вы, похоже, изобрели велосипед.

Есть в математике понятие полной производной, которое близко к тому, что в Вас написано.
[dmath] \frac {d \phi}{dt}=\dot \phi+(\vec u \cdot \nabla) \phi[/dmath]
Если положить скорость u постоянной и равной c, то приходим к Вашему выражению. ([imath]\dot \phi=\frac{\partial \phi}{\partial t}[/imath])

Вот видите, как Вы переворачиваете, забыв, что в градиенте потенциала используются уже частные производные...
∇ = ex ∂ ∂x + ey ∂ ∂y + ez ∂ ∂z
Что Вы можете после этого решить? Да, ничего. Только плескаться в догмате, играя словами.
А между тем, если источник поля движется, будет уже другая формула...

[vps137]

А между тем, если источник поля движется, будет уже другая формула...

Это тогда уж берите выше - ковариантная производная.

Сообщение отредактировал vps137 - 13.2.2018, 14:06

[SBK]

Это тогда уж берите выше - ковариантная производная.

Опять игры в слова... Далее начнёте пространства изгибать, символы поднимать/опускать символом Кроннекера и проч.
И здесь ковариантная?

Это для движущегося источника (с. 7 статьи)
А с учётом трансцендентного уравнения для самого запаздывания и этого не запишешь...
А Вы говорите - велосипед... Ручка отмахнутая, а не велосипед..