Широкое распространение имело утверждение, что делить на вектор нельзя.
Причём эта операция не запрещена, а не имеет строгого определения отвечающего требованию однозначности.
Вашему вниманию предлагается вывод и получение определения деления на вектор отвечающее требованию однозначности.
Будем исходить из единообразия и преемственности численной и векторной математик.
Согласно численной математики, разделить на число это значит умножить на другое число обратное делителю.
Сохраним это и для векторов.
Тогда, разделить на вектор это значит умножить на другой вектор обратный вектору делителю.
Осталось определить вектор обратный вектору делителю.
В численной математике число обратное делителю есть такое число произведение делителя на которое равно единице.
Опять же в целях сохранения единства и преемственности математик численной и векторной, положим вектор обратный вектору делителю таким, чтобы произведение вектора делителя на обратный ему вектор равнялось единице.
отсюда получаем два условия.
1. Векторное произведение вектора делителя на обратный ему вектор равно нулю.
2. Скалярное произведение вектора делителя на обратный ему вектор равно единице.
Т.е.
[B x C] = 0;

(B * C) = 1.

Где: B - вектор делитель;
C - вектор обратный вектору делителю.

Решая полученную систему уравнений получаем значение вектора обратного вектору делителю:

C = B/B²

Т.е. Вектор обратный вектору делителю равен вектору делителю делённому на квадрат модуля вектора делителя.

Отсюда получаем однозначное определение операции деления на вектор.
Определение
Чтобы разделить на вектор надо умножить на вектор делитель и разделить на квадрат модуля вектора делителя.

1/B = B/B²

Это в ВИКЕ: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%...%B8%D0%BE%D0%BD
Обращение умножения (деление)

Кватернио́ны это позапрошлый век.

Сейчас векторы в физике, тензоры в теории упругости. tension англ - напряженность
Тензор это силовой вектор, по шесть по каждый кубик среды [imath]\epsilon\cdot E [/imath]
относительная деформация на модуль Юнга дает напряженность по оси в кГ/см^2..
Тензоры измерялись тензометрами, сейчас по всякому.
Теория упругости это сейчас матрицы и компьютеры, у меня бедолаги был только арифмометр.

Правила определения направления вектора при делении те же, что и при умножении.

[imath]\vec V = \vec \omega \times \vec R [/imath]

[imath] \vec \omega = \frac {\vec V }{ \vec R } [/imath]

Резюмируя высказывания участников приходим к заключению:
По существу изложенного в теме определения операции деления на вектор возражений нет.

До встречи в следующей теме этого цикла.

Если Вы, Зиновий, ищете операцию, обратную векторному или скалярному произведению - то это пустая затея. При векторном перемножении двух ненормальных (неперпендикулярных) векторов получается вектор, нормальный обоим. Но если Вы разделите его на свой квадрат и умножите на один из первоначальных, то получите не второй первоначальный, а его отображение на перпендикуляр к первому в той же плоскости, то есть опять нормальный. Первоначальный ненормальный не получится.

Внимательней читайте моё сообщение.
Где Вы увидели поиск "операцию, обратную векторному или скалярному произведению"?

Берём плоский вектор B=(cos(п/4); sin(п/4))здесь п - число пи.

Какой будет вектор 1/B =(x; y)=? согласно вашей процедуре?

Поскольку [imath] \mid \vec B \mid=1[/imath], то "обратный вектор" будет равен прямому.
Но понятия обратного вектора или операции деления на вектор, насколько я знаю, в векторном анализе не существует.
Арифметика касается только скаляров.

Если прямой вектор [imath] \vec B [/imath]

То обратный вектор [imath] -\vec B [/imath], типа в обратную сторону.

Берем вектор линейной скорости 10 метр/сек.
Радиус 2 метр. Длина окружности 6,28*2 = 12,56 метр.

Один оборот будет за время Т = 12,56 м /10 метр/сек. = 1,256 сек.
Угловая скорость 2pi/T = 6,28/1,256 сек = 5/сек

Вектор угловой скорости[imath]\vec \omega = \frac {\vec V}{\vec R} = 5\,орт\, вектор\,\omega/сек [/imath]
Орт вектор, это единичный вектор.

Если прямой вектор [imath] \vec B [/imath]

То обратный вектор [imath] -\vec B [/imath], типа в обратную сторону.

Берем вектор линейной скорости 10 метр/сек.
Радиус 2 метр. Длина окружности 6,28*2 = 12,56 метр.

Один оборот будет за время Т = 12,56 м /10 метр/сек. = 1,256 сек.
Угловая скорость 2pi/T = 6,28/1,256 сек = 5/сек

Вектор угловой скорости[imath]\vec \omega = \frac {\vec V}{\vec R} = 5\,орт\, вектор\,\omega/сек [/imath]
Орт вектор, это единичный вектор.

Деление есть процедура обратная произведению. Умножение на обратный вектор есть операция деления на этот вектор. Следовательно поиск способа деления на вектор есть поиск операции, обратной векторному умножению (произведению).

Равшан, операция определённая Зиновием, скорее, напоминает ИНВЕРСИЮ относительно некоторой сферы ...

https://ru.m.wikipedia.org/wiki/Инверсия_(геометрия)

Dachnik, если кватернионы это позапрошлый век, то седенион это век ХХ и XXI ...

https://ru.m.wikipedia.org/wiki/Седенионы

Это вектор, равный по величине и направленный в противоположную сторону, а не обратный.

Нет. Угловая скорость - это вектор (псевдовектор), получаемый через векторое произведение [imath]\frac { \vec r \times \vec V}{r^2}[/imath]. Поскольку угол между r и V прямой, то величина этого вектора равна 20/2^2=5 1/с, а направление - вдоль оси вращения ( по правилу буравчика).

Выражение [imath]\frac {\vec V}{R}\cdot \frac {\vec R}{R} = \vec \omega [/imath]
пошло от кватернионов позапрошлого века, когда современного векторного анализа не было.

[imath]\frac {\vec V}{R}[/imath] вектор по направлению вектора скорости.

[imath] \frac {\vec R}{R} [/imath] единичный вектор по радиусу.

Но, направление произведения все равно определяется перемещением вектора скорости
вектору радиуса, как и при делении вектора на вектор.

Тождественность этих операция я тут показал.
Так что меня читать надо.
Но тем, которые никогда не занимались векторными операциями в физике, этого не понять.
Тем более, когда и желания нет.

Равшану надо бы знать, что для момента произвольный силы к колесу, момент определяется проекцией вектора этой силы на плоскость колеса, а затем проекцией на касательную. [imath]\vec M = \vec F \cdot\cos \beta \cdot \cos \alpha \times \vec R[/imath]



Дело в том, что осевые вектора не складываются с линейными.
Тело вращается вокруг своей оси, независимо от поступательной скорости.
И импульс не складывается с моментом импульса.
Складывается кинетическая энергия [imath]E = mV^2/2 + J\omega^2/2 [/imath], но это не вектора, физический смысл другой.

Потому, в то время, осевые вектор называли мнимыми, псевдовекторами, сейчас за бугром
образумились, только в России эта дурка остается.

Мои 5 копеек нищим математикам:

А что это за величина [imath]\vec \omega [/imath]? Как она у Вас называется?

Выделенное не понял.

Опять не понятно что сказано. Каких операций?

Откуда это у Вас взялось можете поделиться?

Конечно, требуется точная постановка задачи, которую предлагает решить Зиновий! Сейчас такой постановки здесь нет! Вот контрпример, который показывает, что на вектор можно делить. Берём комплексный тор С*= С\{0}. Любой элемент z из С* имеет обратный w = 1/z
И z и w это двумерные вектора, однако! И кто здесь говорит, что на вектор делить нельзя? ...

Разве там не комплексные числа? Интерпретировать их векторами можно лишь как геометрическую иллюстрацию. И то тогда это только радиус-векторы.

Из подсказки метафизика ясно, что деление, что Вы предложили, не будет обратной операцией ни для векторного умножения, ни для скалярного.

Отдайте лохотронщику этой фотки.
Линейные и осевые вектора не складываются, потому не могут и раскладываться.
Могут только перемножаться и делится.

vps137, Валера, вы меня окончательно разочаровали ... в математике нет никаких иллюстраций ... комплексные числа С являются самым настоящим векторным пространством над полем действительных чисел и не только, но и векторным пространством над полем комплексных чисел ... т.е. такие вектора

z=(x; y)=x+iy можно уверенно умножать и делить обычным образом, учитывая лишь одно правило - что i^2 = - 1

Помните, что вектор это совсем не то, что можно изобразить стрелкой, а это объекты, которые подчиняются вполне определённым правилам (аксиомам, если угодно) ... так вот комплексные числа С всем этим аксиомам удовлетворяют, однако!

Теперь о скалярном и векторном произведениях - это не самые удачные названия для симметричной и антисимметричной биллинейной формы, соответственно и не более того ... зачем Зиновию понадобилось решать задачу о возможности существования делителей если рассматривать эти биллинейные формы как алгебраические операции, я не знаю ... пусть пояснит, может это и не праздный интерес ...

Обратная операция, не обратный вектор


Свойства векторного произведения:https://studfiles.net/preview/3061993/

1.При изменении порядка сомножителей векторное произведение меняет свой знак на обратный, сохраняя модуль, т.е. [imath] [\vec R\times \vec V] = -[\vec V \times \vec R] [/imath]

Согласно определению изложенному в первом посте темы имеем:
1/B = B/(B * B).


Это верно для операции сложения (вычитания).


Ничего страшного, т.к. речь идёт не о произвольных векторах, а о параллельных векторах равных по модулю.
См. определение.


Я не предлагаю "решить".
Я предложил к обсуждению готовое решение.

Интерес далеко не праздный и имеет самое широкое приложение к массе физических задач, о чём и пойдёт речь в последующих темах этого цикла.
Жду критического обсуждения предложенного мной решения в рамках векторного анализа.
P.S.
Убедительная просьба, не забивать тему сообщениями типа "а в такой-то книжке написано не так", или "такой-то автор пишет иначе".
Так же не заваливать тему вопросами чисто терминологическими, не вызывающими путаницы.

То, что стоит справа - это вектор, умноженный на скаляр - операция известная в векторном анализе. Но то, что стоит слева - это не вектор. Мне, по крайней мере, такая конструкция нигде не встречалась.

vps137, Валера, а об алгебрах на векторных пространствах разве ничего не слышали?

Т.е. Вы предлагаете математикой пользоваться не по правилам математической логики, а по прецедентам.
Я Вас правильно понял?

???

Выражение [imath]\frac {1}{\vec R} = \vec r[/imath] встречается в механике.

Где [imath] \vec r[/imath] радиус кривизны.

med.academic.ru›dic.nsf/ruwiki/102903
Радиус кривизны характеризует величину соответствия кривой от прямой. Чем больше радиус кривизны, тем больше кривая похожа на прямую.

Академики путают радиус кривой с радиусом кривизны.


При [imath] \vec R = \infty[/imath]
[imath] \vec r = 0[/imath]
Значит линия прямая, а не кривая.

Скаляр умноженный (деленный) на вектор дает направление по этому вектору.

При сопряжении прямого пути с круговым, в промежутке устраивается переходная кривая
с плавным переходом от [imath] \vec r = 0[/imath] до [imath] \vec r = \frac {1}{\vec R}[/imath]

Также плавно на переходной кривой повышается правый рельс.
Без переходной кривой будет удар и тепловоз кувырнется.

Мне кажется, академики не путают радиус кривой с радиусом кривизны, потому что у них нет определения радиус кривой. Ведь то, что у Вас обозначено буквой R у них называется просто кривизной и является скаляром. Может быть, как раз поэтому тепловозы не кувыркаются, что у них нет путаницы.


Там я встречал лишь понятие обратного вектора в смысле [math]\vec A=-\vec B[/imath]. Но как говорится, век живи - век учись. Дайте ссылку, где по-другому.


Нет. Понятие, которое Вы вводите, вектор, обратный вектору делителя, мне кажется излишним. Во всех случаях достаточно использовать [imath] \frac {\vec B}{B^2}[/imath] - обозначение, которое всем понятно.

В интернете все можно найти, только не всему можно верить.
Самим думать надо.

Когда угол Fi стремится у нулю, то [imath] \sin Fi = Fi[/imath] этому надо верить.

При бесконечно малых
[imath] d\vec S = \vec R dFi[/imath]

[imath] L = \vec R \int_0^{2pi} dFi = 2\pi \vec R [/imath]

[imath] \vec R = \frac {L}{2pi}[/imath]

Тут академики призадумались. Чтобы радиус был вектором, надо чтобы L был кривым вектором что ли???.
Забыли бедолаги, что L это сумма векторов
[dmath]\sum_{\vec s_i}^{n = \infty} = \vec L[/dmath]
Вот и помалкивают.


Ссылку я давал.
Другая может быть любой, при условии, что она будет такой
[imath]\vec A=-\vec B[/imath].

Не всем это лохотронство с буковками понятно.
Главное, зачем оно непонятно.
Физики обязаны в уравнениях взаимодействия сил писать так.

[dmath]\vec F_{1.2} =-\vec F_{2.1} = m \omega^2\vec R = m \frac {V^2}{\vec R}[/dmath].

Я подправил Ваши формулы, но в последней у Вам нет того, что суммируется.
Если Вы изобретёте кривой вектор, Вам при жизни поставят памятник.

Я не принимаю ваши правки моих формул.
А памятники уже стоят Ньютону, который определял вектор центростремительного ускорения вписыванием в окружность правильных многоугольников, в которых каждая сторона
единичный вектор линейной скорости, стремящийся к нулю.
Изучайте историю науки, это проще физики, да приврать можно.

Зиновий, по-видимому, ваша конструкция частный случай ИНВЕРСИИ, как я и говорил выше см.здесь

.

М.Берже, Геометрия

Спасибо Paraligon, но я не математик и мне важно знать насколько тождественно в рамках векторного анализа выведенное мной определение операции деления на вектор.
Не упустил ли я какие ни будь тонкости дифференциальной геометрии?

Как не математик не математику:
сдается мне, что, как только вектор загнали в знаменатель, он теряет ориентацию (его направление не определено, = бесконечности)
Т.е., он теряет звание вектора...
Но коль математикам разрешено делать нечто похожее со скалярным произведением, то почему бы и нет...
Другое дело, что, а если вам-таки нужен вектор после деления?..

Лепет Википедии
Аксиальный вектор (англ. axial, осевой) или псевдовектор — величина, компоненты которой преобразуются как вектор при поворотах системы координат, но меняющие свой знак противоположно тому, как ведут себя компоненты вектора при любой инверсии (обращении знака) координат. Т.е. псевдовектор меняет направление на противоположное при сохранении абсолютной величины (домножается на минус единицу) при любой инверсии координатной системы.
В механике наиболее часто встречающаяся псевдовекторная величина — вектор угловой скорости и связанные с нею (например, момент импульса).


Как видите, угловая скорость это истинный вектор.
Дебильное умножение на минус 1 не требуется, так как минус*минус дает плюс и при умножении и при делении.

Я действительно не математик.
Я физик.
Но нас учили скрупулёзно относиться к математике и придерживаться жёсткой математической логики означенной правилами математических действий, а не на "сдаётся мне".

Вопрос "истинности" или "псевдовости" векторов чисто терминологический и не соответствует вопросу обсуждаемому в этой теме.
Откройте соответствующую свою тему.

Зиновий, скажем, на комплексной плоскости инверсия будет конформным (сохраняющим величины углов) отображением, но не будет отображением аналитическим (здесь совпадает с понятием дифференцируемости) ... если вас это устраивает, Зиновий, то можно пользоваться вашим определением сколько душе угодно ... конечно, введённая операция не совпадает с делением на комплексное число, именно, это я преследовал в своём примере ...

Тема о делимости вектора на вектор.
Я показал, что при делении вектора на вектор получается истинный вектор.
Значит так и надо делить, как я показал.
Если бы получался псевдовектор, тогда так делить нельзя.

Dachnik Вы получаете предупреждение за не выполнение указания модератора.


Т.е. насколько я Вас правильно понял предложенный мной вывод операции деления на вектор в векторном анализе не нарушает свойства тождественности.
Благодарю.

Зиновий, инверсия и есть "обращение" вектора ...

https://ru.m.wikipedia.org/wiki/Инверсия_(геометрия)

На этом можно завершить тему следующим определением.
Операция деления на вектор тождественно равна умножению на вектор делитель делённый на квадрат его модуля.