Дана сложная функция F{r(t);t}, в дальнейшем F
Согласно правилам взятия полной производной сложной функции по параметру t имеем:

Нажмите для просмотра прикрепленного файла

Для выяснения вида (векторное или скалярное) имеющихся произведений П рассмотрим полную производную по времени от векторных полей по определению классической теории поля, согласно теореме единственности векторного анализа - теореме Гельмгольца.
В силу аддитивности операции "производная" рассмотрим случай чисто градиентного поля.
Т.е. F = gradφ.
Тогда Нажмите для просмотра прикрепленного файла.
Но т.к. векторное произведение векторного оператора набла на градиент φ есть ротор градиента, что тождественно равно нулю, то не тождественно нулевое решение будет только от скалярного произведения векторного оператора набла на градиент φ.
Как следствие определилось и второе произведение, как скаляр на вектор.
Окончательно получаем:
Нажмите для просмотра прикрепленного файла.

Продолжение следует.

Желательно за основу взять учебник со "стандартной" терминологией и обозначением математических операций. Когда-то в школе преподаватель посоветовал купить трёхтомник Фихтенгольца по ВМ. Все лекции читались с использованием "стандартных" обозначений из этого учебника. Кроме того, настоятельно рекомендовалось записывать изучаемое в конспекты. Весьма полезная и даже необходимая методика. Строки собственноручно записанных выражений служат "реперными" метками для зрительной памяти и позволяют сохранить в памяти информацию практически навсегда.

В данном цикле тем не идёт простое изложение учебника, а устраняются ляпы и фальшивки изложенного в научной и учебной литературе по данным вопросам.

В этом случае необходимо указывать область применения информации из Вашего сообщения.

Область применения очевидна, векторный анализ основа классической теории физических полей независимо от их физической природы.

Продолжение темы.
Выше мы получили тождественную роспись полной производной по времени от от сложной функции вида F = F{r(t);t}.
А именно: Нажмите для просмотра прикрепленного файла

Это выражение имеет огромное прикладное значение, но именно по нему огромное количество разночтений, как в математической, так и в физической литературе.
Рассмотрим полную производную по времени от векторного потенциала магнитного поля - вектора A = A{r(t);t}:
Нажмите для просмотра прикрепленного файла
Действие векторного дифференциального оператора ∇ на вектор A{r(t);t} может быть скалярным и/или векторным.
Но т.к. нам задано, что вектор магнитной индукции B есть ротор А, а мы ищем величину векторного потенциала A характеризующую именно магнитное поле, то мы должны положить, что скалярное произведение оператора набла на векторный потенциал магнитного поля тождественно равно нулю.
С учётом этого получаем тождественное выражение для отличной от тождественного нуля полной производной по времени от векторного потенциала магнитного поля A{r(t);t}:
Нажмите для просмотра прикрепленного файла

Но учитывая то, что векторное произведение векторного дифференциального оператора набла на вектор есть тождественно ротор вектора, а производная вектора по параметру есть вектор, то получаем окончательное выражение для полной производной векторного потенциала магнитного поля по времени.
Нажмите для просмотра прикрепленного файла

Далее.
Прикладное значение полученного выражения.
Продолжение следует.

Чтобы было меньше разночтений, Ваше выражение лучше переписать так.
[dmath]\frac {d \textbf{F}}{dt}=( \textbf v \cdot \nabla) \textbf F+\frac {\partial \textbf F} {\partial t}[/dmath]

В такой записи видно, что набла не действует на вектор непосредственно, что привело бы к матрице Якоби, а вместе с вектором v. Первый член в компонентах запишется поэтому так [imath] \sum_k v_k \partial_k F_i[/imath] или [imath] \sum_{k=1}^3 v_k \frac {\partial F_i} {\partial r_k}[/imath]для i-той компоненты.

Я Вам очень признателен за то, что Вы отобразили ту путаницу, что имеет место в официальной научной и учебной литературе при росписи полной производной по времени сложной функции.
Набла именно действует на вектор согласно правилу взятия полной производной по времени от сложной функции.
А то, что Вы написали противоречит правилу и является широко распространённой ошибкой, целью которой было замазать возникшую неопределённость действия оператора набла на неопределённый вектор.
Тогда как вектор строго определён теоремой единственности векторного анализа - теоремой Гельмгольца.

Я не вижу противоречия. Ведь тот член мы можем записать и так [imath] \sum_{k=1}^3 \frac {\partial F_i} {\partial r_k} v_k [/imath], где [imath]v_k=\frac {\partial x_k}{\partial t}[/imath].
В Вашей записи, конечно, тоже можно, но тогда надо иметь в виду, что эти производные [imath]\frac {\partial F_i} {\partial r_k} [/imath] образуют матрицу Якоби 3х3, которая по правилам для матриц умножается на вектор-столбец {v_i}.

Я специально в начальном выражении не указывал вид функции скалярная или векторная.
Чтобы много не писать несущественного по обсуждаемому вопросу рассмотрим функцию Ф[r(t)]
Так для скалярной функции имеем:
dФ[r(t)]/(dt) ≡ (∂Φ/(∂r) ⋅ dr/(dt)) ≡ (∂Φ/(∂r) ⋅ v) ≡ (gradΦ⋅v).
Для векторной функции имеем:
а) пусть функция будет градиентом некоего скалярного потенциала и назовём её "gradФ[r(t)]".
Тогда
d{gradФ[r(t)]}/dt ≡ ∂{gradФ[r(t)]}/∂r ⋅ dr/dt ≡ divgradФ[r(t)] ⋅ v,
т.к. rotgrad ≡ 0.
b)Пусть функция будет ротором некоего векторного потенциала и назовём её "rotP[r(t)]".
Тогда
d[rotP[r(t)]/dt ≡ [rotrotP[r(t)] × v],
т.к. divrot ≡ 0.
Все преобразования тождественны, инвариантны (не зависят от выбора системы координат), строго соответствуют фундаментальным положениям векторного анализа, не допускают разночтения и геометрически очевидны.

Это так, если Ф не зависит явно от t. Иначе будет слагаемое [imath]\frac {\partial Ф}[\partial t}[/imath]

Для проверки распишем в компонентах. [imath]\frac {d}{d t} \frac {\partial Ф}{\partial_i x}=\frac {\partial}{\partial t} \frac {\partial Ф}{\partial_i x}+\frac {\partial^2 Ф}{\partial_{ik} x} v_k[/imath]. Т.е. в общем виде имеем[imath]\frac {d} {d t} \nabla Ф=\nabla \dot Ф+(\vec v \cdot \nabla) \nabla Ф[/imath]
Точка над символом означает частную производную по времени.

Для ротора получим аналогично - [imath]\frac {d} {d t} rot \vec P=rot \dot {\vec P}+(\vec v \cdot grad) rot \vec P[/imath]
(Не отображается почему-то. Не пойму где тут ошибка. Анатолий помоги!)

В посте две ошибки.

Внимательней читайте моё предыдущее сообщение.


Вы ошибаетесь в росписи компонент допуская несуществующую операцию.

Большое спасибо!_{Оказывается, если на формулу нажать правой кнопкой мыши, то можно вывести tex-код. Я, гладишь, смогу тут и руку набить на этих формулах. Сам я пишу в либреофисе, где удобная прога для написания формул и возможность экспорта в пдф-файл. Всё что в принципе нужно. Но серьёзные журналы часто требуют статьи в tex-формате.}


Мне думается, это у Вас ошибка, когда Вы вводите дивергенцию

Выбор не велик.
Либо ротор, либо дивергенция.
Третьего не дано правилами произведения векторов.
Но ротор градиента тождественный ноль, следовательно остаётся только дивергенция.
Другого векторный анализ для физических полей, определённых теоремой единственности - теоремой Гельмгольца, не допускает.

Вы сами писали, что есть третий, смешанный тип.
Теорема Гельмгольца - это теорема о представлении вектора. Но здесь другой случай, который обозначен в названии темы, и надо пользоваться лишь правилом дифференцирования сложной функции - как Вы и говорили.
Дивергенция при этом никак не может возникнуть - достаточно расписать по компонентам.

Теорема единственности векторного анализа определяет самый общий вид физических полей.
Это смешанное поле - сумма вихревого и градиентного полей.
Других физических полей быть не может ( по аналогии с механикой - поступательное и вращательное).
Вот и распишите по компонентам не произвольный вектор, а вихревой плюс градиент.
Именно это я Вам и расписал ранее, но раздельно.
Если вектор градиент, то получится дивергенция вектора умноженная на скорость.
Если вектор ротор, то получится ротор вектора векторно умноженный на скорость.
Результирующий вектор смешанного поля будет векторной суммой этих двух.
Надеюсь Вы не откажете полной производной по времени в свойстве аддитивности.

Иначе говоря, Вы утверждаете, что, напр. для скалярной функции Ф [imath]\frac {d} {d t} \nabla Ф=\nabla \dot Ф+(\vec v \cdot \nabla) \nabla Ф=\nabla \times {\vec A}+\nabla \phi[/imath]. Но отсюда следует лишь, что [imath]\nabla \times {\vec A} \equiv 0[/imath] и что [imath] \vec A = \nabla \psi[/imath]. В результате не видно никакой дивергенции.
Произведение вектора на дивергенцию по формулам векторного анализа можно выразить лишь так
[dmath]\vec v \nabla \cdot \vec B=\vec B \nabla \cdot \vec v +\nabla \times (\vec v \times \vec B)+(\vec v \cdot \nabla) \vec B-(\vec B \cdot \nabla) \vec v[/dmath]

Ничего подобного я не утверждаю.
Вы мне приписываете ошибочное утверждение получившее широкое распространение с чьей-то "лёгкой руки".
Запишите произвольное векторное поле в явном виде согласно теореме единственности - теореме Гельмгольца и возьмите от него полную производную по времени согласно правилам взятия полной производной по времени от сложной функции.
Произведение вектора на дивергенцию есть просто произведение скалярной функции на вектор.
Не надо чудить.

Хорошо. Вот поле [imath]\vec F=\nabla \times \vec A+\nabla \phi[/imath]
Полная производная [imath]\frac {d}{d t} \vec F=\dot {\vec F}+( \vec v \cdot \nabla) \vec F= \nabla \times {\dot {\vec A}}+\nabla \dot \phi+( \vec v \cdot \nabla) {\nabla \times \vec A}+( \vec v \cdot \nabla) \nabla \phi [/imath]
Не вижу, что здесь можно сделать сверх этого.

Тождественный, последовательный вывод полной производной по времени для физических полей изложен мной в сообщении #6 от 18.3.2018, 12:50
Что там неправильно?

На мой взгляд, там неверна запись первого уравнения, где в правой части скалярно умножается вектор на градиент вектора, про который мы уже много друг другу сказали.

Где Вы увидели "градиент вектора"?
Там фигурирует "градиент скалярной функции".
По поводу "градиента вектора" мы уже ранее пришли к выводу, что такой операции в векторном анализе не существует.

Тождественная роспись полной производной по времени:
d()/dt ≡ ∂П()/∂r П v + ∂()/∂t ≡ ∇П() П v + ∂()/∂t.
Где:
П - вид произведения дающий результат отличный от тождественно нулевого и сохраняющий результат производной как вектор или скаляр в зависимости от вида дифференцируемой функции.
() - дифференцируемая функция.

Ладно с первым уравнением.
Возьмем второе Ваше уравнение, где рассматривается полная производная от вектора . Разве ∇A{r(t);t} не градиент вектора?

Вообще, Зиновий, было бы проще, если Вы тоже пользовались латехом, благо он тут появился. Тогда бы было меньше недоразумений, потому что Ваши записи трудно понять.

Мы с Вами ранее уже определились, что такой операции "градиент вектора" нет в векторном анализе.
(Проба пера с редактором)
И так, в самом общем виде, согласно правилу взятия полной производной от сложной функции по параметру имеем:
Нажмите для просмотра прикрепленного файла
Определимся в виде имеющихся произведений П.
Т.к. Вектор А имеет тождественно вихревой характер, т.е. Нажмите для просмотра прикрепленного файла
След. действие оператора набла на него дающее отличный от тождественного нуля результат есть только векторное произведение, т.е. "rot".
Тогда, с учётом этого замечания, а также то, что полная производная радиус вектора по времени есть скорость v перемещения объекта в поле вектора А, перепишем:
Нажмите для просмотра прикрепленного файла.
Но так-как полная производная вектора А по скаляру t есть вектор, то оставшееся произведение может быть только векторным.
Откуда окончательно имеем:
Нажмите для просмотра прикрепленного файла.

Прикладное значение полученного выражения полной производной векторного потенциала магнитного поля по времени.
Домножив полученное выражение на величину движущегося в поле вектора А электрического заряда с знаком минус, получим самое общее, в векторной форме выражение силы F_м действующей на электрические заряды в магнитном поле векторного потенциала А:
F_м ≡ Нажмите для просмотра прикрепленного файла.
Или, что тоже самое:
F_м ≡ Нажмите для просмотра прикрепленного файла.
Где:
Нажмите для просмотра прикрепленного файла - всем известная сила Лоренца;
Нажмите для просмотра прикрепленного файла - сила индукции, которую Максвелл ошибочно принял за напряжённость вихревого электрического поля.

P.S.
Прошу обратить внимание на то, что все преобразования тождественны и не имеют никаких ограничивающих допущений кроме фундаментальных положений векторного анализа.