Цитата из https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/91832
В статье Латекс не раскрыт, делаю это здесь .[imath] .[/imath]
Начинаем с лагранжевой механики, уравнения движения в которой основаны на обобщённых координатах
[imath] \{q_1, q_2, \dots, q_N\} или \left\{\, q_j | j=1, \ldots,N \,\right\}[/imath] , или, совсем сокращенно ~q - подразумевающее весь набор координат, если их больше одной,
и соответствующих обобщённых скоростях
.[imath] \{\dot q_1, \dot q_2, \dots, \dot q_N\} или \left\{\, \dot{q}_j | j=1, \ldots ,N \,\right\} .[/imath] , или совсем сокращенно .[imath] \dot{q} .[/imath] - подразумевающее весь набор обобщенных скоростей.
Лагранжиан запишется в виде
.[imath] L(q, \dot{q}, t), означающем L(q_1, q_2, \dots, q_N, \dot q_1, \dot q_2, \dots, \dot q_N, t) .[/imath]
.[imath] с q, \dot q .[/imath] представляющими в краткой записи все N координат и N скоростей. Гамильтонова механика ставит своей целью заменять обобщённые скорости обобщёнными переменными импульса, также известными как сопряжённые импульсы. Таким образом можно упростить определённые системы, например, в квантовой механике, которая иначе была бы ещё более сложной.
Для каждой обобщённой скорости существует соответствующий ей обобщённый импульс, определённый как
.[imath] p_j = {\partial L \over \partial \dot{q}_j}. .[/imath]
В декартовых координатах обобщённые импульсы — это физические линейные импульсы. В полярных координатах обобщённый импульс, соответствующий угловой скорости — физический угловой момент. Для произвольного выбора обобщённых координат трудно получить интуитивную интерпретацию сопряжённых этим координатам импульсов или угадать их выражение, не используя прямо приведённую выше формулу.
Впрочем, если какая-то координата оказалась циклической, то есть если функция Лагранжа от неё не зависит, а зависит только от её производной по времени, то сопряжённый ей импульс является интегралом движения (сохраняется во времени), что несколько проясняет смысл обобщённых импульсов. Полезно также заметить, что вообще именно временная производная обобщённого импульса является одним из слагаемых уравнения Лагранжа: .[imath] \dot{p_j} = \frac{d}{dt}{\partial L \over \partial \dot{q}_j}. .[/imath]
В этой формулировке, зависящей от выбора системы координат, не слишком очевиден тот факт, что различные обобщённые координаты являются в действительности не чем иным, как различными координатизациями одного и того же симплектического многообразия.
Функция Гамильтона — преобразование Лежандра лагранжиана:
.[imath] H\left(q,p,t\right) = \sum_i \dot{q}_i p_i - L(q,\dot{q},t). .[/imath]
Если уравнения преобразования, определяющие обобщённые координаты, независимы от t, можно показать, что H равен полной энергии: E = T + V.
Полный дифференциал гамильтониана запишется в виде:
.[imath] \begin{matrix}
dH &=& \sum_i \left[ \left({\partial H \over \partial q_i}\right) dq_i + \left({\partial H \over \partial p_i}\right) dp_i \right] + \left({\partial H \over \partial t}\right) dt\qquad\qquad\quad\quad \\ \\
&=& \sum_i \left[ \dot{q}_i\, dp_i + p_i\, d\dot{q}_i - \left({\partial L \over \partial q_i}\right) dq_i - \left({\partial L \over \partial \dot{q}_i}\right) d\dot{q}_i \right] - \left({\partial L \over \partial t}\right) dt
\end{matrix} .[/imath]
Подставляя предыдущее определение сопряжённых импульсов в это уравнение и сравнивая коэффициенты, мы получаем уравнения движения гамильтоновой механики, известные как канонические уравнения Гамильтона:
.[imath] {\partial H \over \partial q_j} = - \dot{p}_j, \qquad
{\partial H \over \partial p_j} = \dot{q}_j, \qquad
{\partial H \over \partial t } = - {\partial L \over \partial t} .[/imath]
Уравнения Гамильтона представляют собой дифференциальные уравнения первого порядка, и, таким образом, их легче решать, чем уравнения Лагранжа, которые являются дифференциальными уравнениями второго порядка. Однако шаги, приводящие к уравнениям движения, более трудоёмки, чем в лагранжевой механике — начиная с обобщённых координат и функции Лагранжа, мы должны вычислить гамильтониан, выразить каждую обобщённую скорость в терминах сопряжённых импульсов и заменить обобщённые скорости в гамильтониане сопряжёнными импульсами. В целом, есть небольшой выигрыш в работе от решения проблемы в гамильтоновом, а не в лагранжевом формализме, хотя в конечном счёте это приводит к тем же решениям, что и лагранжева механика и законы движения Ньютона.
Основное предназначение гамильтонова подхода — то, что он обеспечивает основу для более фундаментальных результатов в классической механике.
Получение уравнений Гамильтона непосредственно из принципа стационарного действия
Простое прямое получение гамильтоновой формы механики исходит из гамильтоновой записи действия:
.[imath] S = \int (\sum_j p_j dq_j - H(p,q)dt) = \int (\sum_j p_j \dot{q}_j - H(p,q))dt, .[/imath]
которое можно считать фундаментальным постулатом механики в этой формулировке[1]. (Под p и q без индексов тут имеется в виду весь набор обобщённых импульсов и координат). Условие стационарности действия
.[imath] \ \delta S = 0 .[/imath]
дает возможность получить канонические уравнения Гамильтона, причем варьирование тут ведется независимо по .[imath] \ \delta p_j и \ \delta q_j. .[/imath] Так получаем (снова, но теперь без использования лагранжева способа) канонические уравнения Гамильтона:
.[imath] \dot{p}_j = - {\partial H \over \partial q_j}, .[/imath]
.[imath] \dot{q}_j = {\partial H \over \partial p_j}, .[/imath]
Используя второе, можно выразить все \ p_j через набор \ q_i и \ \dot{q_i}, после чего выражение под интегралом станет, очевидно, просто функцией Лагранжа. Таким образом мы получаем лагранжеву формулировку принципа стационарного (наименьшего) действия из гамильтоновой.
Математический формализм
Любая гладкая функция H: M \to \mathbb{R} на симплектическом многообразии M может использоваться, чтобы определить гамильтонову систему. Функция H известна как гамильтониан или энергетическая функция. Симплектическое многообразие называют фазовым пространством. Гамильтониан порождает специальное векторное поле на симплектическом многообразии, известном как симплектическое векторное поле.
Симплектическое векторное поле (также называется гамильтоновым векторным полем) порождает гамильтонов поток на многообразии. Интегральные кривые векторного поля являются однопараметрическим семейством преобразований многообразия с параметром, называемым время. Эволюция во времени задаётся симплектоморфизмами. Из теоремы Лиувилля следует, что каждый симплектоморфизм сохраняет форму объёма в фазовом пространстве. Множество симплектоморфизмов, порождаемых гамильтоновым потоком, обычно называют гамильтоновой механикой гамильтоновой системы.
Оказывается гамильтонова механика - Множество симплектоморфизмов, порождаемых гамильтоновым потоком.
Попробуем разобраться, что это такое и зачем.