Операция деления на вектор, вывод и определение Опции

[Зиновий]

Широкое распространение имело утверждение, что делить на вектор нельзя.
Причём эта операция не запрещена, а не имеет строгого определения отвечающего требованию однозначности.
Вашему вниманию предлагается вывод и получение определения деления на вектор отвечающее требованию однозначности.
Будем исходить из единообразия и преемственности численной и векторной математик.
Согласно численной математики, разделить на число это значит умножить на другое число обратное делителю.
Сохраним это и для векторов.
Тогда, разделить на вектор это значит умножить на другой вектор обратный вектору делителю.
Осталось определить вектор обратный вектору делителю.
В численной математике число обратное делителю есть такое число произведение делителя на которое равно единице.
Опять же в целях сохранения единства и преемственности математик численной и векторной, положим вектор обратный вектору делителю таким, чтобы произведение вектора делителя на обратный ему вектор равнялось единице.
отсюда получаем два условия.
1. Векторное произведение вектора делителя на обратный ему вектор равно нулю.
2. Скалярное произведение вектора делителя на обратный ему вектор равно единице.
Т.е.
[B x C] = 0;

(B * C) = 1.

Где: B - вектор делитель;
C - вектор обратный вектору делителю.

Решая полученную систему уравнений получаем значение вектора обратного вектору делителю:

C = B/B²

Т.е. Вектор обратный вектору делителю равен вектору делителю делённому на квадрат модуля вектора делителя.

Отсюда получаем однозначное определение операции деления на вектор.
Определение
Чтобы разделить на вектор надо умножить на вектор делитель и разделить на квадрат модуля вектора делителя.

1/B = B/B²

[Paraligon]

Берём плоский вектор B=(cos(п/4); sin(п/4))здесь п - число пи.

Какой будет вектор 1/B =(x; y)=? согласно вашей процедуре?

[Зиновий]

Берём плоский вектор B=(cos(п/4); sin(п/4))здесь п - число пи.

Какой будет вектор 1/B =(x; y)=? согласно вашей процедуре?

Согласно определению изложенному в первом посте темы имеем:
1/B = B/(B * B).

Если прямой вектор [imath] \vec B [/imath]

То обратный вектор [imath] -\vec B [/imath], типа в обратную сторону.

................................................................................
..............

Это верно для операции сложения (вычитания).

Деление есть процедура обратная произведению. Умножение на обратный вектор есть операция деления на этот вектор. Следовательно поиск способа деления на вектор есть поиск операции, обратной векторному умножению (произведению).

Ничего страшного, т.к. речь идёт не о произвольных векторах, а о параллельных векторах равных по модулю.
См. определение.

Конечно, требуется точная постановка задачи, которую предлагает решить Зиновий! Сейчас такой постановки здесь нет! Вот контрпример, который показывает, что на вектор можно делить. Берём комплексный тор С*= С\{0}. Любой элемент z из С* имеет обратный w = 1/z
И z и w это двумерные вектора, однако! И кто здесь говорит, что на вектор делить нельзя? ...

Я не предлагаю "решить".
Я предложил к обсуждению готовое решение.

Сообщение отредактировал Зиновий - 3.3.2018, 14:19

[vps137]

Согласно определению изложенному в первом посте темы имеем:
1/B = B/(B * B).

То, что стоит справа - это вектор, умноженный на скаляр - операция известная в векторном анализе. Но то, что стоит слева - это не вектор. Мне, по крайней мере, такая конструкция нигде не встречалась.

[Dachnik]

То, что стоит справа - это вектор, умноженный на скаляр - операция известная в векторном анализе. Но то, что стоит слева - это не вектор. Мне, по крайней мере, такая конструкция нигде не встречалась.

Выражение [imath]\frac {1}{\vec R} = \vec r[/imath] встречается в механике.

Где [imath] \vec r[/imath] радиус кривизны.

med.academic.ru›dic.nsf/ruwiki/102903
Радиус кривизны характеризует величину соответствия кривой от прямой. Чем больше радиус кривизны, тем больше кривая похожа на прямую.

Академики путают радиус кривой с радиусом кривизны.


При [imath] \vec R = \infty[/imath]
[imath] \vec r = 0[/imath]
Значит линия прямая, а не кривая.

Скаляр умноженный (деленный) на вектор дает направление по этому вектору.

При сопряжении прямого пути с круговым, в промежутке устраивается переходная кривая
с плавным переходом от [imath] \vec r = 0[/imath] до [imath] \vec r = \frac {1}{\vec R}[/imath]

Также плавно на переходной кривой повышается правый рельс.
Без переходной кривой будет удар и тепловоз кувырнется.

[vps137]

Выражение [imath]\frac {1}{\vec R} = \vec r[/imath] встречается в механике.

Где [imath] \vec r[/imath] радиус кривизны.

med.academic.ru›dic.nsf/ruwiki/102903
Радиус кривизны характеризует величину соответствия кривой от прямой. Чем больше радиус кривизны, тем больше кривая похожа на прямую.

Академики путают радиус кривой с радиусом кривизны.


При [imath] \vec R = \infty[/imath]
[imath] \vec r = 0[/imath]
Значит линия прямая, а не кривая.

Скаляр умноженный (деленный) на вектор дает направление по этому вектору.

При сопряжении прямого пути с круговым, в промежутке устраивается переходная кривая
с плавным переходом от [imath] \vec r = 0[/imath] до [imath] \vec r = \frac {1}{\vec R}[/imath]

Также плавно на переходной кривой повышается правый рельс.
Без переходной кривой будет удар и тепловоз кувырнется.

Мне кажется, академики не путают радиус кривой с радиусом кривизны, потому что у них нет определения радиус кривой. Ведь то, что у Вас обозначено буквой R у них называется просто кривизной и является скаляром. Может быть, как раз поэтому тепловозы не кувыркаются, что у них нет путаницы.

vps137, Валера, а об алгебрах на векторных пространствах разве ничего не слышали?

Там я встречал лишь понятие обратного вектора в смысле [math]\vec A=-\vec B[/imath]. Но как говорится, век живи - век учись. Дайте ссылку, где по-другому.

Т.е. Вы предлагаете математикой пользоваться не по правилам математической логики, а по прецедентам.
Я Вас правильно понял?

Нет. Понятие, которое Вы вводите, вектор, обратный вектору делителя, мне кажется излишним. Во всех случаях достаточно использовать [imath] \frac {\vec B}{B^2}[/imath] - обозначение, которое всем понятно.