Механика Гамильтона, стационарное действие?? Опции

[Dachnik]

Цитата из https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/91832
В статье Латекс не раскрыт, делаю это здесь .[imath] .[/imath]

Начинаем с лагранжевой механики, уравнения движения в которой основаны на обобщённых координатах

[imath] \{q_1, q_2, \dots, q_N\} или \left\{\, q_j | j=1, \ldots,N \,\right\}[/imath] , или, совсем сокращенно ~q - подразумевающее весь набор координат, если их больше одной,
и соответствующих обобщённых скоростях

.[imath] \{\dot q_1, \dot q_2, \dots, \dot q_N\} или \left\{\, \dot{q}_j | j=1, \ldots ,N \,\right\} .[/imath] , или совсем сокращенно .[imath] \dot{q} .[/imath] - подразумевающее весь набор обобщенных скоростей.
Лагранжиан запишется в виде

.[imath] L(q, \dot{q}, t), означающем L(q_1, q_2, \dots, q_N, \dot q_1, \dot q_2, \dots, \dot q_N, t) .[/imath]
.[imath] с q, \dot q .[/imath] представляющими в краткой записи все N координат и N скоростей. Гамильтонова механика ставит своей целью заменять обобщённые скорости обобщёнными переменными импульса, также известными как сопряжённые импульсы. Таким образом можно упростить определённые системы, например, в квантовой механике, которая иначе была бы ещё более сложной.

Для каждой обобщённой скорости существует соответствующий ей обобщённый импульс, определённый как

.[imath] p_j = {\partial L \over \partial \dot{q}_j}. .[/imath]
В декартовых координатах обобщённые импульсы — это физические линейные импульсы. В полярных координатах обобщённый импульс, соответствующий угловой скорости — физический угловой момент. Для произвольного выбора обобщённых координат трудно получить интуитивную интерпретацию сопряжённых этим координатам импульсов или угадать их выражение, не используя прямо приведённую выше формулу.

Впрочем, если какая-то координата оказалась циклической, то есть если функция Лагранжа от неё не зависит, а зависит только от её производной по времени, то сопряжённый ей импульс является интегралом движения (сохраняется во времени), что несколько проясняет смысл обобщённых импульсов. Полезно также заметить, что вообще именно временная производная обобщённого импульса является одним из слагаемых уравнения Лагранжа: .[imath] \dot{p_j} = \frac{d}{dt}{\partial L \over \partial \dot{q}_j}. .[/imath]
В этой формулировке, зависящей от выбора системы координат, не слишком очевиден тот факт, что различные обобщённые координаты являются в действительности не чем иным, как различными координатизациями одного и того же симплектического многообразия.

Функция Гамильтона — преобразование Лежандра лагранжиана:

.[imath] H\left(q,p,t\right) = \sum_i \dot{q}_i p_i - L(q,\dot{q},t). .[/imath]
Если уравнения преобразования, определяющие обобщённые координаты, независимы от t, можно показать, что H равен полной энергии: E = T + V.

Полный дифференциал гамильтониана запишется в виде:

.[imath] \begin{matrix}
dH &=& \sum_i \left[ \left({\partial H \over \partial q_i}\right) dq_i + \left({\partial H \over \partial p_i}\right) dp_i \right] + \left({\partial H \over \partial t}\right) dt\qquad\qquad\quad\quad \\ \\
&=& \sum_i \left[ \dot{q}_i\, dp_i + p_i\, d\dot{q}_i - \left({\partial L \over \partial q_i}\right) dq_i - \left({\partial L \over \partial \dot{q}_i}\right) d\dot{q}_i \right] - \left({\partial L \over \partial t}\right) dt
\end{matrix} .[/imath]
Подставляя предыдущее определение сопряжённых импульсов в это уравнение и сравнивая коэффициенты, мы получаем уравнения движения гамильтоновой механики, известные как канонические уравнения Гамильтона:


.[imath] {\partial H \over \partial q_j} = - \dot{p}_j, \qquad
{\partial H \over \partial p_j} = \dot{q}_j, \qquad
{\partial H \over \partial t } = - {\partial L \over \partial t} .[/imath]
Уравнения Гамильтона представляют собой дифференциальные уравнения первого порядка, и, таким образом, их легче решать, чем уравнения Лагранжа, которые являются дифференциальными уравнениями второго порядка. Однако шаги, приводящие к уравнениям движения, более трудоёмки, чем в лагранжевой механике — начиная с обобщённых координат и функции Лагранжа, мы должны вычислить гамильтониан, выразить каждую обобщённую скорость в терминах сопряжённых импульсов и заменить обобщённые скорости в гамильтониане сопряжёнными импульсами. В целом, есть небольшой выигрыш в работе от решения проблемы в гамильтоновом, а не в лагранжевом формализме, хотя в конечном счёте это приводит к тем же решениям, что и лагранжева механика и законы движения Ньютона.

Основное предназначение гамильтонова подхода — то, что он обеспечивает основу для более фундаментальных результатов в классической механике.

Получение уравнений Гамильтона непосредственно из принципа стационарного действия
Простое прямое получение гамильтоновой формы механики исходит из гамильтоновой записи действия:

.[imath] S = \int (\sum_j p_j dq_j - H(p,q)dt) = \int (\sum_j p_j \dot{q}_j - H(p,q))dt, .[/imath]
которое можно считать фундаментальным постулатом механики в этой формулировке[1]. (Под p и q без индексов тут имеется в виду весь набор обобщённых импульсов и координат). Условие стационарности действия

.[imath] \ \delta S = 0 .[/imath]
дает возможность получить канонические уравнения Гамильтона, причем варьирование тут ведется независимо по .[imath] \ \delta p_j и \ \delta q_j. .[/imath] Так получаем (снова, но теперь без использования лагранжева способа) канонические уравнения Гамильтона:

.[imath] \dot{p}_j = - {\partial H \over \partial q_j}, .[/imath]

.[imath] \dot{q}_j = {\partial H \over \partial p_j}, .[/imath]

Используя второе, можно выразить все \ p_j через набор \ q_i и \ \dot{q_i}, после чего выражение под интегралом станет, очевидно, просто функцией Лагранжа. Таким образом мы получаем лагранжеву формулировку принципа стационарного (наименьшего) действия из гамильтоновой.

Математический формализм
Любая гладкая функция H: M \to \mathbb{R} на симплектическом многообразии M может использоваться, чтобы определить гамильтонову систему. Функция H известна как гамильтониан или энергетическая функция. Симплектическое многообразие называют фазовым пространством. Гамильтониан порождает специальное векторное поле на симплектическом многообразии, известном как симплектическое векторное поле.

Симплектическое векторное поле (также называется гамильтоновым векторным полем) порождает гамильтонов поток на многообразии. Интегральные кривые векторного поля являются однопараметрическим семейством преобразований многообразия с параметром, называемым время. Эволюция во времени задаётся симплектоморфизмами. Из теоремы Лиувилля следует, что каждый симплектоморфизм сохраняет форму объёма в фазовом пространстве. Множество симплектоморфизмов, порождаемых гамильтоновым потоком, обычно называют гамильтоновой механикой гамильтоновой системы.


Оказывается гамильтонова механика - Множество симплектоморфизмов, порождаемых гамильтоновым потоком.

Попробуем разобраться, что это такое и зачем.

[Dachnik]

Что такое симплекс

Симплекс (точнее, n-симплекс, где число n называется размерностью симплекса) — это выпуклая оболочка n + 1 точки аффинного пространства (размерности n или больше), которые предполагаются аффинно независимыми (то есть не лежат в подпространстве размерности n − 1). Эти точки называются вершинами симплекса[1][2].

В символике барицентрического исчисления n-мерный симплекс может быть охарактеризован как множество всевозможных барицентрических комбинаций своих вершин {\displaystyle A_{i}} A_{i} с неотрицательными коэффициентами[3]:

Как пример, можно привести множество разных многоугольных тел, имеющих один неподвижный центр масс.
От центра масс к каждой вершине проводится свой радиус, координаты которого и рассматриваться.
Такую систему называют обычно замкнутой.

Что такое морфизм?

Морфизм
Тео́рия катего́рий — раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов.

Тогда я понимаю механику Гамильтона, как механическую абстракцию, все равно чего.
Но если в его механику ввести физику Ньютона, то получится механика Ньютона.
[imath]{\partial H \over \partial q_j} = - \dot{p}_j, [/imath]

H у Гамильтона энергия.
[imath]\frac {dH}{dS} = \frac {FS}{dS}= F [/imath] Сила.

[imath]\frac {dH}{dt} = N [/imath] Мощность

Если кто думает по другому, то никто этого ему не запрещает.
Как и мне.

[ahedron]

Dachnik
Зачем вы здесь всё это пишите, собирайте до кучи и издавайте книгу - ваше мнение, кому нужно, прочтут и оценят.
Зайдёт человек интересующийся наукой, а здесь симплексы да морфизмы с производными - данунах!
Даже в числах, где собрались математики и то меньше формул.

[Dachnik]

Dachnik
Зачем вы здесь всё это пишите, собирайте до кучи и издавайте книгу - ваше мнение, кому нужно, прочтут и оценят.
Зайдёт человек интересующийся наукой, а здесь симплексы да морфизмы с производными - данунах!
Даже в числах, где собрались математики и то меньше формул.

Вы бы спросили у Гамильтона, Эйлера ... зачем они создали свои механики.
Назло Ньютону? Что ли?

Я пишу именно для людей, интересующихся наукой.
Не каждый понимает, что такое "весь набор обобщённых импульсов и координат) при стационарности действия при условии δS=0."
Да еще в виде симплектоморфизмов, порождаемых гамильтоновым потоком.

Вот и думают, что это высшая наука, им недоступная , что им может быть обидно.
Почитают мое и осознают, что эти механики бредятина математиков,

Физики собираются в Математической физике, которая отвергает фантазии математиков.
Каждое уравнение Математической физики несет определенный физический смысл.
Если при выводе физической формулы бой в логике, то в "караганду".

В ней нет ИСО - неИСО. В механике только одна точка отсчета по принципу относительности движения Галилея и никакой другой относительности.
Допускается равноправие ИСО, только прыгать по ИСО нельзя.

При постулате независимости скорости излучения от скорости источника,
Х. Лоренц направил луч под углом tgFi = C/V.
Потому СТО давно в "караганде".
Хотя в интернете треугольнички Лоренца и Эйнштейна тоже исчезли.
Замели следы релятивисты.
Поздно пить боржоми, когда. Церновский БАК накрылся.

[vps137]

H у Гамильтона энергия.
[imath]\frac {dH}{dS} = \frac {FS}{dS}= F [/imath] Сила.

[imath]\frac {dH}{dt} = N [/imath] Мощность

Если кто думает по другому, то никто этого ему не запрещает.
Как и мне.

У Гамильтона энергия - это стационарный гамильтониан.

[Dachnik]

У Гамильтона энергия - это стационарный гамильтониан.

Проще сказать Статика.
Стационарная гиря, это на столе. Тогда только потенциальная энергия.

Принцип наименьшего действия - действие по градиенту, по кратчайшему направлению,
на самого действия нет [imath]\delta S = 0 [/imath]

Их набла не дифференцируется по времени, дифференцируется только по положительной полусфере прямоугольных координат.. Другая зеркальная . При движении координаты Х вправо в левой полусфере Х убывает, в правой возрастает.

[imath]\frac {-\delta Y}{-\delta X} =\frac {\delta Y}{\delta X} [/imath]

По времени дифференцируется векторная механика Ньютона в полярных и сферических координатах. Будет похоже на наблу, но не набла.

Например функция U(\vec R,Fi), радиус переменный и угол переменный производная

[imath]\frac {dU}{dt}= \vec V + \vec {\omega R} [/imath]

Векторная сумма радиальной и линейной скоростей.
Если луч, то больше С, или нет?

[vps137]

Проще сказать Статика.
Стационарная гиря, это на столе. Тогда только потенциальная энергия.

Принцип наименьшего действия - действие по градиенту, по кратчайшему направлению,
на самого действия нет [imath]\delta S = 0 [/imath]

Их набла не дифференцируется по времени, дифференцируется только по положительной полусфере прямоугольных координат.. Другая зеркальная . При движении координаты Х вправо в левой полусфере Х убывает, в правой возрастает.

[imath]\frac {-\delta Y}{-\delta X} =\frac {\delta Y}{\delta X} [/imath]

По времени дифференцируется векторная механика Ньютона в полярных и сферических координатах. Будет похоже на наблу, но не набла.

Например функция U(\vec R,Fi), радиус переменный и угол переменный производная

[imath]\frac {dU}{dt}= \vec V + \vec {\omega R} [/imath]

Векторная сумма радиальной и линейной скоростей.
Если луч, то больше С, или нет?

Нет, это не только статика. Когда гамильтониан не зависит явно от времени, то он, ясно дело, постоянен и равен энергии, которая есть сумма потенциальной и кинетической.
Минимальность действия в механике означает движение системы тел по траекториям ( не обязательно кратчайшим), которые отвечают законам сохранения энергии, импульса и момента.

[Dachnik]

Нет, это не только статика. Когда гамильтониан не зависит явно от времени, то он, ясно дело, постоянен и равен энергии, которая есть сумма потенциальной и кинетической.
Минимальность действия в механике означает движение системы тел по траекториям ( не обязательно кратчайшим), которые отвечают законам сохранения энергии, импульса и момента.

Вы исходите из парадигмы - механики Ньютона
Но гамильтонова механика - Множество симплектоморфизмов, порождаемых гамильтоновым потоком. Она вам нужна?
Никто ей не пользуется и его набла никому не нужна, разве только для лохотронства Максвеллу понадобилась.

В потенциальном скалярном гравитационном поле тело движется исключительно по градиенту поля одного, двух и более гравитирующих тел. То есть по кратчайшему пути.
Не по градиенту, тело движется, если что то не пускает его двигаться по кратчайшему пути.
Например наклонная плоскость. Задача легко решается механикой Ньютона без закона полного перехода потенциальной энергии в кинетическую.
Решение такой задачи, просто подтверждает этот закон.