Полная производная по времени от сложной функции вида F{r(t);t}, (силовое взаимодействие электрических зарядов с магнитным полем) Опции

[Зиновий]

Дана сложная функция F{r(t);t}, в дальнейшем F
Согласно правилам взятия полной производной сложной функции по параметру t имеем:

 CodeCogsEqn.gif ( 1.52 килобайт ) Кол-во скачиваний: 0


Для выяснения вида (векторное или скалярное) имеющихся произведений П рассмотрим полную производную по времени от векторных полей по определению классической теории поля, согласно теореме единственности векторного анализа - теореме Гельмгольца.

Теорема Гельмгольца
Всякое однозначное и непрерывное векторное поле F, обращающееся в нуль в бесконечности, может быть представлено, и притом единственным образом, в виде суммы градиента некоторой скалярной функции φ и и ротора некоторой векторной функции А, дивергенция которой равна нулю.
F = gradφ + rotA, divA ≡ 0.
Функция φ называется скалярным потенциалом поля F, а функция А - векторным потенциалом этого поля.

В силу аддитивности операции "производная" рассмотрим случай чисто градиентного поля.
Т.е. F = gradφ.
Тогда  CodeCogsEqn_2_.gif ( 1.16 килобайт ) Кол-во скачиваний: 0
.
Но т.к. векторное произведение векторного оператора набла на градиент φ есть ротор градиента, что тождественно равно нулю, то не тождественно нулевое решение будет только от скалярного произведения векторного оператора набла на градиент φ.
Как следствие определилось и второе произведение, как скаляр на вектор.
Окончательно получаем:
 CodeCogsEqn_3_.gif ( 1011 байт ) Кол-во скачиваний: 0
.

Продолжение следует.

Сообщение отредактировал Зиновий - 25.3.2018, 12:02

[Klark]

Согласно правилам дифференцирования сложной функции имеем:
dF{r(t); t}/dt ≡ δF{r(t); t}/δr * dr/dt + δF{r(t); t}/δt ≡ δF{r(t); t}/δr * V + δF{r(t); t}/δt.
Но т.к. мы уже знаем, что δ/δr ≡ ∇,
то dF/dt ≡ ∇F{r(t); t} * V + δF{r(t); t}/δt.

Желательно за основу взять учебник со "стандартной" терминологией и обозначением математических операций. Когда-то в школе преподаватель посоветовал купить трёхтомник Фихтенгольца по ВМ. Все лекции читались с использованием "стандартных" обозначений из этого учебника. Кроме того, настоятельно рекомендовалось записывать изучаемое в конспекты. Весьма полезная и даже необходимая методика. Строки собственноручно записанных выражений служат "реперными" метками для зрительной памяти и позволяют сохранить в памяти информацию практически навсегда.

[Зиновий]

Желательно за основу взять учебник со "стандартной" терминологией и обозначением математических операций. Когда-то в школе преподаватель посоветовал купить трёхтомник Фихтенгольца по ВМ. Все лекции читались с использованием "стандартных" обозначений из этого учебника. Кроме того, настоятельно рекомендовалось записывать изучаемое в конспекты. Весьма полезная и даже необходимая методика. Строки собственноручно записанных выражений служат "реперными" метками для зрительной памяти и позволяют сохранить в памяти информацию практически навсегда.

В данном цикле тем не идёт простое изложение учебника, а устраняются ляпы и фальшивки изложенного в научной и учебной литературе по данным вопросам.

[Klark]

В данном цикле тем не идёт простое изложение учебника, а устраняются ляпы и фальшивки изложенного в научной и учебной литературе по данным вопросам.

В этом случае необходимо указывать область применения информации из Вашего сообщения.

[Зиновий]

В этом случае необходимо указывать область применения информации из Вашего сообщения.

Область применения очевидна, векторный анализ основа классической теории физических полей независимо от их физической природы.

[Зиновий]

Продолжение темы.
Выше мы получили тождественную роспись полной производной по времени от от сложной функции вида F = F{r(t);t}.
А именно:  CodeCogsEqn.gif ( 1.52 килобайт ) Кол-во скачиваний: 0


Это выражение имеет огромное прикладное значение, но именно по нему огромное количество разночтений, как в математической, так и в физической литературе.
Рассмотрим полную производную по времени от векторного потенциала магнитного поля - вектора A = A{r(t);t}:
 CodeCogsEqn.gif ( 1.59 килобайт ) Кол-во скачиваний: 0

Действие векторного дифференциального оператора ∇ на вектор A{r(t);t} может быть скалярным и/или векторным.
Но т.к. нам задано, что вектор магнитной индукции B есть ротор А, а мы ищем величину векторного потенциала A характеризующую именно магнитное поле, то мы должны положить, что скалярное произведение оператора набла на векторный потенциал магнитного поля тождественно равно нулю.
С учётом этого получаем тождественное выражение для отличной от тождественного нуля полной производной по времени от векторного потенциала магнитного поля A{r(t);t}:
 CodeCogsEqn_4_.gif ( 1022 байт ) Кол-во скачиваний: 0


Но учитывая то, что векторное произведение векторного дифференциального оператора набла на вектор есть тождественно ротор вектора, а производная вектора по параметру есть вектор, то получаем окончательное выражение для полной производной векторного потенциала магнитного поля по времени.
 CodeCogsEqn_2_.gif ( 810 байт ) Кол-во скачиваний: 0


Далее.
Прикладное значение полученного выражения.
Продолжение следует.

Сообщение отредактировал Зиновий - 25.3.2018, 11:22

[vps137]

Продолжение темы.
Выше мы получили тождественную роспись полной производной по времени от от сложной функции вида F = F{r(t);t}.
А именно:
dF{r(t);t}/(dt)≡∂F{r(t);t}/(∂r) * v+∂F{r(t);t}/(∂t) ≡ ∇F{r(t);t}*v + ∂F{r(t);t}/(∂t).

Это выражение имеет огромное прикладное значение, но именно по нему огромное количество разночтений, как в математической, так и в физической литературе.

Чтобы было меньше разночтений, Ваше выражение лучше переписать так.
[dmath]\frac {d \textbf{F}}{dt}=( \textbf v \cdot \nabla) \textbf F+\frac {\partial \textbf F} {\partial t}[/dmath]

В такой записи видно, что набла не действует на вектор непосредственно, что привело бы к матрице Якоби, а вместе с вектором v. Первый член в компонентах запишется поэтому так [imath] \sum_k v_k \partial_k F_i[/imath] или [imath] \sum_{k=1}^3 v_k \frac {\partial F_i} {\partial r_k}[/imath]для i-той компоненты.

Сообщение отредактировал vps137 - 18.3.2018, 17:49

[Зиновий]

Чтобы было меньше разночтений, Ваше выражение лучше переписать так.
[dmath]\frac {d \textbf{F}}{dt}=( \textbf v \cdot \nabla) \textbf F+\frac {\partial \textbf F} {\partial t}[/dmath]

В такой записи видно, что набла не действует на вектор непосредственно, что привело бы к матрице Якоби, а вместе с вектором v. Первый член в компонентах запишется поэтому так [imath] \sum_k v_k \partial_k F_i[/imath] или [imath] \sum_{k=1}^3 v_k \frac {\partial F_i} {\partial r_k}[/imath]для i-той компоненты.

Я Вам очень признателен за то, что Вы отобразили ту путаницу, что имеет место в официальной научной и учебной литературе при росписи полной производной по времени сложной функции.
Набла именно действует на вектор согласно правилу взятия полной производной по времени от сложной функции.
А то, что Вы написали противоречит правилу и является широко распространённой ошибкой, целью которой было замазать возникшую неопределённость действия оператора набла на неопределённый вектор.
Тогда как вектор строго определён теоремой единственности векторного анализа - теоремой Гельмгольца.

Сообщение отредактировал Зиновий - 18.3.2018, 18:53

[vps137]

Я Вам очень признателен за то, что Вы отобразили ту путаницу, что имеет место в официальной научной и учебной литературе при росписи полной производной по времени сложной функции.
Набла именно действует на вектор согласно правилу взятия полной производной по времени от сложной функции.
А то, что Вы написали противоречит правилу и является широко распространённой ошибкой, целью которой было замазать возникшую неопределённость действия оператора набла на неопределённый вектор.
Тогда как вектор строго определён теоремой единственности векторного анализа - теоремой Гельмгольца.

Я не вижу противоречия. Ведь тот член мы можем записать и так [imath] \sum_{k=1}^3 \frac {\partial F_i} {\partial r_k} v_k [/imath], где [imath]v_k=\frac {\partial x_k}{\partial t}[/imath].
В Вашей записи, конечно, тоже можно, но тогда надо иметь в виду, что эти производные [imath]\frac {\partial F_i} {\partial r_k} [/imath] образуют матрицу Якоби 3х3, которая по правилам для матриц умножается на вектор-столбец {v_i}.

Сообщение отредактировал vps137 - 18.3.2018, 19:35

[Зиновий]

Я не вижу противоречия. Ведь тот член мы можем записать и так [imath] \sum_{k=1}^3 \frac {\partial F_i} {\partial r_k} v_k [/imath], где [imath]v_k=\frac {\partial x_k}{\partial t}[/imath].
В Вашей записи, конечно, тоже можно, но тогда надо иметь в виду, что эти производные [imath]\frac {\partial F_i} {\partial r_k} [/imath] образуют матрицу Якоби 3х3, которая по правилам для матриц умножается на вектор-столбец {v_i}.

Я специально в начальном выражении не указывал вид функции скалярная или векторная.
Чтобы много не писать несущественного по обсуждаемому вопросу рассмотрим функцию Ф[r(t)]
Так для скалярной функции имеем:
dФ[r(t)]/(dt) ≡ (∂Φ/(∂r) ⋅ dr/(dt)) ≡ (∂Φ/(∂r) ⋅ v) ≡ (gradΦ⋅v).
Для векторной функции имеем:
а) пусть функция будет градиентом некоего скалярного потенциала и назовём её "gradФ[r(t)]".
Тогда
d{gradФ[r(t)]}/dt ≡ ∂{gradФ[r(t)]}/∂r ⋅ dr/dt ≡ divgradФ[r(t)] ⋅ v,
т.к. rotgrad ≡ 0.
b)Пусть функция будет ротором некоего векторного потенциала и назовём её "rotP[r(t)]".
Тогда
d[rotP[r(t)]/dt ≡ [rotrotP[r(t)] × v],
т.к. divrot ≡ 0.
Все преобразования тождественны, инвариантны (не зависят от выбора системы координат), строго соответствуют фундаментальным положениям векторного анализа, не допускают разночтения и геометрически очевидны.

Сообщение отредактировал Зиновий - 19.3.2018, 0:11