Полная производная по времени от сложной функции вида F{r(t);t}, (силовое взаимодействие электрических зарядов с магнитным полем) |
|
Здравствуйте, гость ( Вход | Регистрация )
Данный раздел форума предназначен для всевозможных дискуссий и обсуждений тем, касающихся науки и околонаучных вопросов. Ваши мысли, идеи, гипотезы и просто мнения - приветствуются, при условии соблюдения Правил раздела. И не забывайте регистрироваться.
Полная производная по времени от сложной функции вида F{r(t);t}, (силовое взаимодействие электрических зарядов с магнитным полем) |
15.3.2018, 18:46
Сообщение
#1
|
|
Прапорщик Группа: Старожилы Сообщений: 7113 Регистрация: 7.10.2017 Из: г. Москва Пользователь №: 53225 |
Дана сложная функция F{r(t);t}, в дальнейшем F
Согласно правилам взятия полной производной сложной функции по параметру t имеем: CodeCogsEqn.gif ( 1.52 килобайт ) Кол-во скачиваний: 0 Для выяснения вида (векторное или скалярное) имеющихся произведений П рассмотрим полную производную по времени от векторных полей по определению классической теории поля, согласно теореме единственности векторного анализа - теореме Гельмгольца. Цитата Теорема Гельмгольца В силу аддитивности операции "производная" рассмотрим случай чисто градиентного поля.Всякое однозначное и непрерывное векторное поле F, обращающееся в нуль в бесконечности, может быть представлено, и притом единственным образом, в виде суммы градиента некоторой скалярной функции φ и и ротора некоторой векторной функции А, дивергенция которой равна нулю. F = gradφ + rotA, divA ≡ 0. Функция φ называется скалярным потенциалом поля F, а функция А - векторным потенциалом этого поля. Т.е. F = gradφ. Тогда CodeCogsEqn_2_.gif ( 1.16 килобайт ) Кол-во скачиваний: 0 . Но т.к. векторное произведение векторного оператора набла на градиент φ есть ротор градиента, что тождественно равно нулю, то не тождественно нулевое решение будет только от скалярного произведения векторного оператора набла на градиент φ. Как следствие определилось и второе произведение, как скаляр на вектор. Окончательно получаем: CodeCogsEqn_3_.gif ( 1011 байт ) Кол-во скачиваний: 0 . Продолжение следует. Сообщение отредактировал Зиновий - 25.3.2018, 12:02 -------------------- Тот кто не знает и/или не понимает определений физических понятий - не знает физики.
То кто не знает физики - не знает и не понимает жизнь. Природу изучать не формулы тачать. |
|
|
15.3.2018, 20:16
Сообщение
#2
|
|
Рядовой Группа: Пользователи Сообщений: 23 Регистрация: 9.3.2018 Пользователь №: 200265 |
Согласно правилам дифференцирования сложной функции имеем: dF{r(t); t}/dt ≡ δF{r(t); t}/δr * dr/dt + δF{r(t); t}/δt ≡ δF{r(t); t}/δr * V + δF{r(t); t}/δt. Но т.к. мы уже знаем, что δ/δr ≡ ∇, то dF/dt ≡ ∇F{r(t); t} * V + δF{r(t); t}/δt. Желательно за основу взять учебник со "стандартной" терминологией и обозначением математических операций. Когда-то в школе преподаватель посоветовал купить трёхтомник Фихтенгольца по ВМ. Все лекции читались с использованием "стандартных" обозначений из этого учебника. Кроме того, настоятельно рекомендовалось записывать изучаемое в конспекты. Весьма полезная и даже необходимая методика. Строки собственноручно записанных выражений служат "реперными" метками для зрительной памяти и позволяют сохранить в памяти информацию практически навсегда. -------------------- Человеку, которому недоступны методы научного познания, каким бы умным он ни был, ни за что не устоять перед сладкоголосым пением сирен псевдонауки...
Michael Shermer |
|
|
15.3.2018, 22:20
Сообщение
#3
|
|
Прапорщик Группа: Старожилы Сообщений: 7113 Регистрация: 7.10.2017 Из: г. Москва Пользователь №: 53225 |
Желательно за основу взять учебник со "стандартной" терминологией и обозначением математических операций. Когда-то в школе преподаватель посоветовал купить трёхтомник Фихтенгольца по ВМ. Все лекции читались с использованием "стандартных" обозначений из этого учебника. Кроме того, настоятельно рекомендовалось записывать изучаемое в конспекты. Весьма полезная и даже необходимая методика. Строки собственноручно записанных выражений служат "реперными" метками для зрительной памяти и позволяют сохранить в памяти информацию практически навсегда. В данном цикле тем не идёт простое изложение учебника, а устраняются ляпы и фальшивки изложенного в научной и учебной литературе по данным вопросам.-------------------- Тот кто не знает и/или не понимает определений физических понятий - не знает физики.
То кто не знает физики - не знает и не понимает жизнь. Природу изучать не формулы тачать. |
|
|
16.3.2018, 8:32
Сообщение
#4
|
|
Рядовой Группа: Пользователи Сообщений: 23 Регистрация: 9.3.2018 Пользователь №: 200265 |
В данном цикле тем не идёт простое изложение учебника, а устраняются ляпы и фальшивки изложенного в научной и учебной литературе по данным вопросам. В этом случае необходимо указывать область применения информации из Вашего сообщения. -------------------- Человеку, которому недоступны методы научного познания, каким бы умным он ни был, ни за что не устоять перед сладкоголосым пением сирен псевдонауки...
Michael Shermer |
|
|
16.3.2018, 11:27
Сообщение
#5
|
|
Прапорщик Группа: Старожилы Сообщений: 7113 Регистрация: 7.10.2017 Из: г. Москва Пользователь №: 53225 |
В этом случае необходимо указывать область применения информации из Вашего сообщения. Область применения очевидна, векторный анализ основа классической теории физических полей независимо от их физической природы.-------------------- Тот кто не знает и/или не понимает определений физических понятий - не знает физики.
То кто не знает физики - не знает и не понимает жизнь. Природу изучать не формулы тачать. |
|
|
18.3.2018, 12:50
Сообщение
#6
|
|
Прапорщик Группа: Старожилы Сообщений: 7113 Регистрация: 7.10.2017 Из: г. Москва Пользователь №: 53225 |
Продолжение темы.
Выше мы получили тождественную роспись полной производной по времени от от сложной функции вида F = F{r(t);t}. А именно: CodeCogsEqn.gif ( 1.52 килобайт ) Кол-во скачиваний: 0 Это выражение имеет огромное прикладное значение, но именно по нему огромное количество разночтений, как в математической, так и в физической литературе. Рассмотрим полную производную по времени от векторного потенциала магнитного поля - вектора A = A{r(t);t}: CodeCogsEqn.gif ( 1.59 килобайт ) Кол-во скачиваний: 0 Действие векторного дифференциального оператора ∇ на вектор A{r(t);t} может быть скалярным и/или векторным. Но т.к. нам задано, что вектор магнитной индукции B есть ротор А, а мы ищем величину векторного потенциала A характеризующую именно магнитное поле, то мы должны положить, что скалярное произведение оператора набла на векторный потенциал магнитного поля тождественно равно нулю. С учётом этого получаем тождественное выражение для отличной от тождественного нуля полной производной по времени от векторного потенциала магнитного поля A{r(t);t}: CodeCogsEqn_4_.gif ( 1022 байт ) Кол-во скачиваний: 0 Но учитывая то, что векторное произведение векторного дифференциального оператора набла на вектор есть тождественно ротор вектора, а производная вектора по параметру есть вектор, то получаем окончательное выражение для полной производной векторного потенциала магнитного поля по времени. CodeCogsEqn_2_.gif ( 810 байт ) Кол-во скачиваний: 0 Далее. Прикладное значение полученного выражения. Продолжение следует. Сообщение отредактировал Зиновий - 25.3.2018, 11:22 -------------------- Тот кто не знает и/или не понимает определений физических понятий - не знает физики.
То кто не знает физики - не знает и не понимает жизнь. Природу изучать не формулы тачать. |
|
|
18.3.2018, 17:40
Сообщение
#7
|
|
Прапорщик Группа: Старожилы Сообщений: 7257 Регистрация: 12.8.2017 Пользователь №: 97485 |
Продолжение темы. Выше мы получили тождественную роспись полной производной по времени от от сложной функции вида F = F{r(t);t}. А именно: dF{r(t);t}/(dt)≡∂F{r(t);t}/(∂r) * v+∂F{r(t);t}/(∂t) ≡ ∇F{r(t);t}*v + ∂F{r(t);t}/(∂t). Это выражение имеет огромное прикладное значение, но именно по нему огромное количество разночтений, как в математической, так и в физической литературе. Чтобы было меньше разночтений, Ваше выражение лучше переписать так. [dmath]\frac {d \textbf{F}}{dt}=( \textbf v \cdot \nabla) \textbf F+\frac {\partial \textbf F} {\partial t}[/dmath] В такой записи видно, что набла не действует на вектор непосредственно, что привело бы к матрице Якоби, а вместе с вектором v. Первый член в компонентах запишется поэтому так [imath] \sum_k v_k \partial_k F_i[/imath] или [imath] \sum_{k=1}^3 v_k \frac {\partial F_i} {\partial r_k}[/imath]для i-той компоненты. Сообщение отредактировал vps137 - 18.3.2018, 17:49 -------------------- Felix qui potuit rerum cognoscere causas. /Вергилий/
Апейроника - наука будущего? |
|
|
18.3.2018, 18:36
Сообщение
#8
|
|
Прапорщик Группа: Старожилы Сообщений: 7113 Регистрация: 7.10.2017 Из: г. Москва Пользователь №: 53225 |
Чтобы было меньше разночтений, Ваше выражение лучше переписать так. Я Вам очень признателен за то, что Вы отобразили ту путаницу, что имеет место в официальной научной и учебной литературе при росписи полной производной по времени сложной функции.[dmath]\frac {d \textbf{F}}{dt}=( \textbf v \cdot \nabla) \textbf F+\frac {\partial \textbf F} {\partial t}[/dmath] В такой записи видно, что набла не действует на вектор непосредственно, что привело бы к матрице Якоби, а вместе с вектором v. Первый член в компонентах запишется поэтому так [imath] \sum_k v_k \partial_k F_i[/imath] или [imath] \sum_{k=1}^3 v_k \frac {\partial F_i} {\partial r_k}[/imath]для i-той компоненты. Набла именно действует на вектор согласно правилу взятия полной производной по времени от сложной функции. А то, что Вы написали противоречит правилу и является широко распространённой ошибкой, целью которой было замазать возникшую неопределённость действия оператора набла на неопределённый вектор. Тогда как вектор строго определён теоремой единственности векторного анализа - теоремой Гельмгольца. Сообщение отредактировал Зиновий - 18.3.2018, 18:53 -------------------- Тот кто не знает и/или не понимает определений физических понятий - не знает физики.
То кто не знает физики - не знает и не понимает жизнь. Природу изучать не формулы тачать. |
|
|
18.3.2018, 19:33
Сообщение
#9
|
|
Прапорщик Группа: Старожилы Сообщений: 7257 Регистрация: 12.8.2017 Пользователь №: 97485 |
Я Вам очень признателен за то, что Вы отобразили ту путаницу, что имеет место в официальной научной и учебной литературе при росписи полной производной по времени сложной функции. Набла именно действует на вектор согласно правилу взятия полной производной по времени от сложной функции. А то, что Вы написали противоречит правилу и является широко распространённой ошибкой, целью которой было замазать возникшую неопределённость действия оператора набла на неопределённый вектор. Тогда как вектор строго определён теоремой единственности векторного анализа - теоремой Гельмгольца. Я не вижу противоречия. Ведь тот член мы можем записать и так [imath] \sum_{k=1}^3 \frac {\partial F_i} {\partial r_k} v_k [/imath], где [imath]v_k=\frac {\partial x_k}{\partial t}[/imath]. В Вашей записи, конечно, тоже можно, но тогда надо иметь в виду, что эти производные [imath]\frac {\partial F_i} {\partial r_k} [/imath] образуют матрицу Якоби 3х3, которая по правилам для матриц умножается на вектор-столбец {v_i}. Сообщение отредактировал vps137 - 18.3.2018, 19:35 -------------------- Felix qui potuit rerum cognoscere causas. /Вергилий/
Апейроника - наука будущего? |
|
|
18.3.2018, 21:26
Сообщение
#10
|
|
Прапорщик Группа: Старожилы Сообщений: 7113 Регистрация: 7.10.2017 Из: г. Москва Пользователь №: 53225 |
Я не вижу противоречия. Ведь тот член мы можем записать и так [imath] \sum_{k=1}^3 \frac {\partial F_i} {\partial r_k} v_k [/imath], где [imath]v_k=\frac {\partial x_k}{\partial t}[/imath]. Я специально в начальном выражении не указывал вид функции скалярная или векторная.В Вашей записи, конечно, тоже можно, но тогда надо иметь в виду, что эти производные [imath]\frac {\partial F_i} {\partial r_k} [/imath] образуют матрицу Якоби 3х3, которая по правилам для матриц умножается на вектор-столбец {v_i}. Чтобы много не писать несущественного по обсуждаемому вопросу рассмотрим функцию Ф[r(t)] Так для скалярной функции имеем: dФ[r(t)]/(dt) ≡ (∂Φ/(∂r) ⋅ dr/(dt)) ≡ (∂Φ/(∂r) ⋅ v) ≡ (gradΦ⋅v). Для векторной функции имеем: а) пусть функция будет градиентом некоего скалярного потенциала и назовём её "gradФ[r(t)]". Тогда d{gradФ[r(t)]}/dt ≡ ∂{gradФ[r(t)]}/∂r ⋅ dr/dt ≡ divgradФ[r(t)] ⋅ v, т.к. rotgrad ≡ 0. b)Пусть функция будет ротором некоего векторного потенциала и назовём её "rotP[r(t)]". Тогда d[rotP[r(t)]/dt ≡ [rotrotP[r(t)] × v], т.к. divrot ≡ 0. Все преобразования тождественны, инвариантны (не зависят от выбора системы координат), строго соответствуют фундаментальным положениям векторного анализа, не допускают разночтения и геометрически очевидны. Сообщение отредактировал Зиновий - 19.3.2018, 0:11 -------------------- Тот кто не знает и/или не понимает определений физических понятий - не знает физики.
То кто не знает физики - не знает и не понимает жизнь. Природу изучать не формулы тачать. |
|
|
19.3.2018, 4:05
Сообщение
#11
|
|
Прапорщик Группа: Старожилы Сообщений: 7257 Регистрация: 12.8.2017 Пользователь №: 97485 |
Я специально в начальном выражении не указывал вид функции скалярная или векторная. Чтобы много не писать несущественного по обсуждаемому вопросу рассмотрим функцию Ф[r(t)] Так для скалярной функции имеем: dФ[r(t)]/(dt) ≡ (∂Φ/(∂r) ⋅ dr/(dt)) ≡ (∂Φ/(∂r) ⋅ v) ≡ (gradΦ⋅v). Это так, если Ф не зависит явно от t. Иначе будет слагаемое [imath]\frac {\partial Ф}[\partial t}[/imath] Цитата Для векторной функции имеем: а) пусть функция будет градиентом некоего скалярного потенциала и назовём её "gradФ[r(t)]". Тогда d{gradФ[r(t)]}/dt ≡ ∂{gradФ[r(t)]}/∂r ⋅ dr/dt ≡ divgradФ[r(t)] ⋅ v, т.к. rotgrad ≡ 0. Для проверки распишем в компонентах. [imath]\frac {d}{d t} \frac {\partial Ф}{\partial_i x}=\frac {\partial}{\partial t} \frac {\partial Ф}{\partial_i x}+\frac {\partial^2 Ф}{\partial_{ik} x} v_k[/imath]. Т.е. в общем виде имеем[imath]\frac {d} {d t} \nabla Ф=\nabla \dot Ф+(\vec v \cdot \nabla) \nabla Ф[/imath] Точка над символом означает частную производную по времени. Цитата b)Пусть функция будет ротором некоего векторного потенциала и назовём её "rotP[r(t)]". Тогда d[rotP[r(t)]/dt ≡ [rotrotP[r(t)] Ч v], т.к. divrot ≡ 0. Для ротора получим аналогично - [imath]\frac {d} {d t} rot \vec P=rot \dot {\vec P}+(\vec v \cdot grad) rot \vec P[/imath] (Не отображается почему-то. Не пойму где тут ошибка. Анатолий помоги!) Цитата Все преобразования тождественны, инвариантны (не зависят от выбора системы координат), строго соответствуют фундаментальным положениям векторного анализа, не допускают разночтения и геометрически очевидны.
Сообщение отредактировал vps137 - 19.3.2018, 13:48 -------------------- Felix qui potuit rerum cognoscere causas. /Вергилий/
Апейроника - наука будущего? |
|
|
19.3.2018, 13:15
Сообщение
#12
|
|
Прапорщик Группа: Старожилы Сообщений: 7113 Регистрация: 7.10.2017 Из: г. Москва Пользователь №: 53225 |
Это так, если Ф не зависит явно от t. Иначе будет слагаемое [imath]\frac {\partial Ф}[\partial t}[/imath] Внимательней читайте моё предыдущее сообщение.Цитата Чтобы много не писать несущественного по обсуждаемому вопросу рассмотрим функцию Ф[r(t)] Для проверки распишем в компонентах. [imath]\frac {d}{d t} \frac {\partial Ф}{\partial_i x}=\frac {\partial}{\partial t} \frac {\partial Ф}{\partial_i x}+\frac {\partial^2 Ф}{\partial_{ik} x} v_k[/imath]. Т.е. в общем виде имеем[imath]\frac {d} {d t} \nabla Ф=\nabla \dot Ф+(\vec v \cdot \nabla) \nabla Ф[/imath] Вы ошибаетесь в росписи компонент допуская несуществующую операцию.Точка над символом означает частную производную по времени. Для ротора получим аналогично - [imath]\frac {d} {d t} rot \vec P=rot \dot \vec P+(\vec v \cdot grad) rot \vec P[/imath] ................................................................................ -------------------- Тот кто не знает и/или не понимает определений физических понятий - не знает физики.
То кто не знает физики - не знает и не понимает жизнь. Природу изучать не формулы тачать. |
|
|
Текстовая версия | Сейчас: 29.4.2024, 10:08 |