Градиент вектора, что это?, (математическая корректность операции!?) Опции

[vps137]

Градиент по определению есть действие оператора набла на скаляр.
1. Что такое градиент тензора?
2. Что такое градиент вектора?

Это определение градиента тензора приведено в книге Дубровина, Новикова, Фоменко Современная геометрия в самом начале гл. IV. Здесь его приводить из-за громоздкости нет смысла, потому что к нему надо было бы писать две страницы текста пояснений. Достаточно напомнить, наверное, что и скаляр, и вектор являются тоже тензорами.

[Зиновий]

Это определение градиента тензора приведено в книге Дубровина, Новикова, Фоменко Современная геометрия в самом начале гл. IV. Здесь его приводить из-за громоздкости нет смысла, потому что к нему надо было бы писать две страницы текста пояснений. Достаточно напомнить, наверное, что и скаляр, и вектор являются тоже тензорами.

Я очень уважаю указанных вами авторов, "но истина дороже".
И так из определения имеем:
1. Градиентом называется действие векторного оператора набла на скаляр.
gradφ ≡ ∇φ.
2. Действие векторного оператора набла на вектор, согласно правилам векторного анализа возможен только в двух видах.
А именно:
а. Скалярное произведение векторного оператора на вектор есть дивергенция вектора
divF ≡ (∇ ⋅ F);
б. Векторное произведение векторного оператора набла на вектор есть ротор вектора.
rotF ≡ [∇ × F].
А градиент вектора, это как?

Сообщение отредактировал Зиновий - 5.3.2018, 21:28

[Paraligon]

Зиновий, ссылка в посте #2 темы, приведённая vps137 вполне удовлетворительная ... там прямо написана формула градиента для трёхмерного векторного поля (не скалярного!) ...

Упоминая субдифференциал Кларка, я лишь хотел сказать, что это понятие градиента можно написать даже для недифференцируемых полей ... конечно он становится многозначным отображением, но тем не менее сохраняет свои основные свойства в той форме, как они формулируются для таких отображений. В содержательной форме нашего дискурса следует остановиться на варианте приведённом vps137 ... это для того, чтобы я не вздумал объявлять градиент кограничным оператором, действующим на нульмерные дифференциальные формы (скаляры) и переводящим их в одномерные дифференциальные формы некоторого коцепного комплекса ...

Так что скажите, чем вас не устроила формула vps137 (или я уже это пропустил?)?

[Зиновий]

Зиновий, ссылка в посте #2 темы, приведённая vps137 вполне удовлетворительная ... там прямо написана формула градиента для трёхмерного векторного поля (не скалярного!) ...

Упоминая субдифференциал Кларка, я лишь хотел сказать, что это понятие градиента можно написать даже для недифференцируемых полей ... конечно он становится многозначным отображением, но тем не менее сохраняет свои основные свойства в той форме, как они формулируются для таких отображений. В содержательной форме нашего дискурса следует остановиться на варианте приведённом vps137 ... это для того, чтобы я не вздумал объявлять градиент кограничным оператором, действующим на нульмерные дифференциальные формы (скаляры) и переводящим их в одномерные дифференциальные формы некоторого коцепного комплекса ...

Так что скажите, чем вас не устроила формула vps137 (или я уже это пропустил?)?

В связи с ответом vps137 я задал вопрос математикам.
Хотелось бы получить Ваш ответ.
Уточняю, речь идёт о реальных физических полях в физическом пространстве.

[vps137]

В связи с ответом vps137 я задал вопрос математикам.
Хотелось бы получить Ваш ответ.
Уточняю, речь идёт о реальных физических полях в физическом пространстве.

Мне кажется, там теорему разложения Гельмгольца можно выразить более кратко с помощью якобиана.

Как-то так. [dmath] \vec F= \delta \cdot \partial A[/dmath], где [imath]d A=0[/imath], а дельта нужна, чтобы выделить из якобиана вектор.
Док-во за Paraligonom.

Сообщение отредактировал vps137 - 16.2.2018, 5:26

[SBK]

Мне кажется, там теорему разложения Гельмгольца можно выразить более кратко с помощью якобиана.

Как-то так. [dmath] \vec F= \delta \cdot \partial A[/dmath], где [imath]d A=0[/imath], а дельта нужна, чтобы выделить из якобиана вектор.
Док-во за Paraligonom.

Это вот это Вы считаете якобианом, vps137 (№ 4)?
[dmath]\partial \vec A=\frac {\partial (A_1, A_2, A_3)}{\partial (x_1, x_2, x_3)}= \begin{pmatrix}
\partial_1 A_1 & \partial_1 A_2 & \partial_1 A_3 \\
\partial_2 A_1 & \partial_2 A_2 & \partial_2 A_3 \\
\partial_3 A_1 & \partial_3 A_2 & \partial_3 A_3
\end{pmatrix}[/dmath]
А Вы раскрывали этот определитель, чтобы там записать: "След его является дивергенцией вектора А, а недиагональные члены можно представить как ротор вектора А"?
Вот это и есть та самая абстрактная алгебра, основанная на извращении высшей математики.
Я уже не говорю, что у Вас слева стоит частный дифференциал, который равен частной производной.Так можно что угодно с формулами накрутить по внешней похожести в отдельных компонентах.
Тем более, что строгий вывод динамического градиента показывает совсем иную зависимость, а не то, что Вы нафантазировали. А потом ещё и в Гельмгольца суёте... Вот к чему приводит птичий язык.

[vps137]

Это вот это Вы считаете якобианом, vps137 (№ 4)?
[dmath]\partial \vec A=\frac {\partial (A_1, A_2, A_3)}{\partial (x_1, x_2, x_3)}= \begin{pmatrix}
\partial_1 A_1 & \partial_1 A_2 & \partial_1 A_3 \\
\partial_2 A_1 & \partial_2 A_2 & \partial_2 A_3 \\
\partial_3 A_1 & \partial_3 A_2 & \partial_3 A_3
\end{pmatrix}[/dmath]
А Вы раскрывали этот определитель, чтобы там записать: "След его является дивергенцией вектора А, а недиагональные члены можно представить как ротор вектора А"?
Вот это и есть та самая абстрактная алгебра, основанная на извращении высшей математики.
Я уже не говорю, что у Вас слева стоит частный дифференциал, который равен частной производной.Так можно что угодно с формулами накрутить по внешней похожести в отдельных компонентах.
Тем более, что строгий вывод динамического градиента показывает совсем иную зависимость, а не то, что Вы нафантазировали. А потом ещё и в Гельмгольца суёте... Вот к чему приводит птичий язык.

Нет, слева стоит градиент вектора, из-за которого весь сыр-бор, а справа - матрица Якоби, которую я ошибочно называл якобианом (точнее, так в англоязычной литературе называют и матрицу и детерминант).

Динамический градиент - как я уже отвечал, это, по-видимому, то, что называется полной производной.

[SBK]

Нет, слева стоит градиент вектора, из-за которого весь сыр-бор, а справа - матрица Якоби, которую я ошибочно называл якобианом (точнее, так в англоязычной литературе называют и матрицу и детерминант).

Динамический градиент - как я уже отвечал, это, по-видимому, то, что называется полной производной.

Во-первых,
"В частном случае m=n матрица Якоби становится квадратной и тогда ее определитель называется якобианом или определителем Якоби или функциональным определителем системы из n функций {f₁(x₁, ..., x_n) ... f_n(x₁, ..., x_n)} по переменным x₁, ..., x_n

В этом же случае след матрицы Якоби называется дивергенцией вектора (f₁,f₂,...,f_n):"
"В частном случае m_{}=1 матрица Якоби состоит из одной строки: этот вектор в Rⁿ или Cⁿ называется градиентом функции f (в точке (x₁, ..., x_n):

"
Матрица Якоби и якобиан
Во-вторых, я уже Вам показывал, что в общем случае динамический градиент не сводится к Вашей записи. Не появляется там Ваших псевдо роторов и проч. Там другие зависимости.
Так всегда бывает, когда вместо решения задач начинают абстрактную формализацию частных решений.

[vps137]

Во-первых,
"В частном случае m=n матрица Якоби становится квадратной и тогда ее определитель называется якобианом или определителем Якоби или функциональным определителем системы из n функций {f₁(x₁, ..., x_n) ... f_n(x₁, ..., x_n)} по переменным x₁, ..., x_n

В этом же случае след матрицы Якоби называется дивергенцией вектора (f₁,f₂,...,f_n):"
Матрица Якоби и якобиан
Во-вторых, я уже Вам показывал, что в общем случае динамический градиент не сводится к Вашей записи. Не появляется там Ваших псевдо роторов и проч. Там другие зависимости.
Так всегда бывает, когда вместо решения задач начинают абстрактную формализацию частных решений.

По первому замечанию уже было. По сторому - тоже.

[SBK]

По первому замечанию уже было. По сторому - тоже.

И по первому Вы так и не поняли, что есть что и куда совать, и по второму было показано, что не сводится ни к Вашему, ни к ковариантной производной. Более того, показанные диаграммы динамических полей демонстрируют, что там вообще в общем случае нельзя записать подобные уравнения из-за трансцендентных выражений.
Я же говорю, у Вас примитивная формализация частного решения, характерная для ревизионистов. Развитие только при физическом моделировании. Подобная формализация не способна учесть нюансы оригинальных моделей.
Впрочем, это Ваше дело перебирать старые кубики... :-)

[vps137]

И по первому Вы так и не поняли, что есть что и куда совать, и по второму было показано, что не сводится ни к Вашему, ни к ковариантной производной. Более того, показанные диаграммы динамических полей демонстрируют, что там вообще в общем случае нельзя записать подобные уравнения из-за трансцендентных выражений.
Я же говорю, у Вас примитивная формализация частного решения, характерная для ревизионистов. Развитие только при физическом моделировании. Подобная формализация не способна учесть нюансы оригинальных моделей.
Впрочем, это Ваше дело перебирать старые кубики... :-)

Согласен на то, чтобы Вы тоже поставили двойку за мои ответы.

[SBK]

Согласен на то, чтобы Вы тоже поставили двойку за мои ответы.

Я не оценивал Ваш ответ по баллам. То, что делаете Вы, слишком распространено, чтобы выделять в этом Вас.
Я просто сказал и показал, что этот путь тупиковый, но
"Каждый, право, имеет право
На то, что слева и то, что справа.
На черное поле, на белое поле
На вольную волю и на неволю.
В этом мире случайностей нет,
Каждый шаг оставляет след"
(Макаревич)

[vps137]

Я не оценивал Ваш ответ по баллам. То, что делаете Вы, слишком распространено, чтобы выделять в этом Вас.
Я просто сказал и показал, что этот путь тупиковый, но
"Каждый, право, имеет право
На то, что слева и то, что справа.
На черное поле, на белое поле
На вольную волю и на неволю.
В этом мире случайностей нет,
Каждый шаг оставляет след"
(Макаревич)

Поэты всегда в чем-то правы.

Эта тема началась из этого поста. Похоже, здесь мне не удалось никого убедить, поэтому я попытаюсь, наверное, сделать заметку о том, как предполагается брать ротор 4-вектора и т.п.

[SBK]

Поэты всегда в чем-то правы.

Эта тема началась из этого поста. Похоже, здесь мне не удалось никого убедить, поэтому я попытаюсь, наверное, сделать заметку о том, как предполагается брать ротор 4-вектора и т.п.

Смысл продавливать то, что не лезет? ВЫ в трёхмерии не сводите концы с концами, а лезете в четырхмерие.